九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系习题课件新版北师大版 12页

﹡ 5 　 一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程根与系数的关系 : 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0): 当 b 2 -4ac≥0 时 , 则 综上可知 : 如果方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 有两个实数根 x 1 ,x 2 , 那么 x 1 +x 2 =_____,x 1 x 2 =_______. 2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件 : 一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程 _________, 即 Δ___0. 有实数根 ≥ 【 思维诊断 】 ( 打“√”或“ ×”) 1. 一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方 程 . 　 ( ) 2. 一元二次方程的两根之和一定是负数 . 　 ( ) 3. 一元二次方程 x 2 +2x+3=0 的两根之积等于 3. 　 ( ) 4. 一元二次方程 -2x 2 +3x+6=0 的两根之积等于 -3. ( ) × × × √ 知识点 一元二次方程根与系数的关系及应用 【 示范题 】 (2013 · 孝感中考 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 -(2k+1)x+k 2 +2k=0 有两个实数根 x 1 ,x 2 . (1) 求实数 k 的取值范围 . (2) 是否存在实数 k 使得 x 1 · x 2 - x 1 2 -x 2 2 ≥0 成立 ? 若存在 , 请求出 k 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 . 【 思路点拨 】 (1) 有两个实数根→ Δ≥0→k 的取值范围 . (2) 根与系数的关系→ x 1 +x 2 =2k+1,x 1 · x 2 =k 2 +2k→k 的值→验证得结论 . 【 自主解答 】 (1)∵ 原方程有两个实数根 ,∴[-(2k+1)] 2 -4(k 2 +2k)≥0, ∴4k 2 +4k+1-4k 2 -8k≥0.∴1-4k≥0, ∴k≤ .∴ 当 k≤ 时 , 原方程有两个实数根 . (2) 假设存在实数 k 使得 x 1 · x 2 -x 1 2 -x 2 2 ≥0 成立 . ∵x 1 ,x 2 是原方程的两根 ,∴x 1 +x 2 =2k+1,x 1 · x 2 =k 2 +2k. 由 x 1 · x 2 -x 1 2 -x 2 2 ≥0, 得 3x 1 · x 2 -(x 1 +x 2 ) 2 ≥0. ∴3(k 2 +2k)-(2k+1) 2 ≥0, 整理得 :-(k-1) 2 ≥0, ∴ 只有当 k=1 时 , 上式才能成立 . 由 (1) 知 k≤ ,∴ 不存在实数 k 使得 x 1 · x 2 -x 1 2 -x 2 2 ≥0 成立 . 【 想一想 】 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a>0) 的两根符号相同 , 那么系数 b,c 的符号是什么 ? 提示 : 两根同正 ,b<0,c>0, 两根同负 ,b>0,c>0. 【 备选例题 】 (2013 · 玉林中考 ) 已知关于 x 的方程 x 2 +x+n=0 有两个实数根 -2,m, 求 m,n 的值 . 【 解析 】 ∵ 关于 x 的方程 x 2 +x+n=0 有两个实数根 -2,m, ∴ 解得即 m,n 的值分别是 1,-2. 【 微点拨 】 1. 应用一元二次方程根与系数的关系的前提是 : 方程是一元二次方程 , 且有实数根 . 所以必须满足二次项系数 a≠0, 判别式 b 2 -4ac≥0 的条件 . 2. 关于 x 的方程 x 2 +px+q=0 的两根为 x 1 ,x 2 , 则有 x 1 +x 2 =-p, x 1 · x 2 =q. 【 方法一点通 】 根与系数的关系的应用 1. 已知一个根 , 求方程的另一个根 . 2. 已知方程的根 , 确定方程中的未知系数 . 3. 求与方程的两个根有关的代数式的值 . 4. 证明等式或不等式 . 5. 根据方程的根 , 求符合要求的一元二次方程 .