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- 2021-04-22 发布
专题4：导数及其应用（两课时）
班级 姓名
一、前测训练
1．（1）曲线y＝x3上在点(－1，－1)的切线方程为 ．
（2）曲线y＝x3－3x2＋2x过点(0，0)的切线方程为 ．
答案：（1）y＝3x＋2．
（2）y＝2x或y＝－x．
解析：（1）y ′＝3x，则切线的斜率是3×（－1），再利用点斜式
(2) y ′＝3x－6x＋2，设切点为（x，x3－3x2＋2x）,则切线的斜率为3x－6x＋2.
切线方程为y－（x3－3x2＋2x）＝（3x－6x＋2）（x－x），（0，0）代入，得x的值，从而得到切线方程
2．（1）函数f(x)＝2x2－lnx的减区间为 ．
（2）函数f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为 ．
答案：（1）(0，)．（2）a≤．
解析：（1）定义域为（0，＋∞）；求导，f ′(x)＝4x－，令f ′(x)＜0，解不等式
(2) f(x)＝x3－ax2－4在(3，＋∞)上是增函数，则f ′(x)＝x－2ax≥0对x∈(3，＋∞)恒成立
∴2a≤x，∴2a≤3
3．求下列函数极值(或最值)：
（1） f(x)＝xlnx （2）f(x)＝sinx－x，x∈[－，]
答案：（1）当x＝时，f(x)取极小值－．
（2）当x＝－时，f(x)取最小值－．当x＝时，f(x)取最大值－．
解析：（1）f ′(x)＝lnx＋1，令f ′(x)＝0，则x＝，列表格得到单调性，求出极小值
(2)f ′(x)＝cosx－，令f ′(x)＝0，则x＝±，列表格得到单调性，求出极小值极大值
4．已知函数f(x)＝ax2－lnx－1(a∈R)，求f(x)在[1，e]上的最小值．
答案：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．
当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln2a－1)．
当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．
解析： 解：f ′(x)＝2ax－＝，
当a≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在[1，e]上为减函数，所以f(x)的最大值为f（1），最小值为f（e）＝ae2－2．
当a＞0时，令f（x）＝0得2ax2＝1，①
由①得x＝，
（1）若≤1，即a≥时，f ′(x)≥0，f(x)在[1，e]上为增函数，
∴最小值为f（1）＝a－1
（2）若1＜＜e，即＜a＜时，f(x)在（1，）上为减函数，在（，e）上为增函数，
∴当x＝，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f（）＝(ln2a－1)．
（3）若≥e，即a≤时，f(x)在（1，e）上为减函数，最小值为f(e)＝ae2－2．
综上得：当a≤时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(e)＝ae2－2．
当＜a＜时，f(x)在[1，e]上的最小值为f()＝(ln2a－1)．
当a≥时，f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)＝a－1．
5．若不等式ax2＞lnx＋1对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
答案：a＞
解析：ax2＞lnx＋1∴a＞，令f(x)＝，只要a＞f(x)max
解答：若不等式ax2＞lnx+1对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∵f ′(x)＝－，（x＞0），
令f ′(x)=0得x＝，易知当x∈(0，)时，f ′(x)＞0；当x∈(，+∞)时，f ′(x)＜0．
故f(x)在(0，]上递增，在(，+∞)上递减．
所以f(x)max＝f()＝．
故要使原不等式恒成立，只需a＞，
6．已知f (x)＝ax2，g(x)＝lnx＋1，若y＝f(x)与y＝g(x)的图象有两个交点，求实数a的取值范围．
答案：(0，)
解析：ax2＝lnx＋1有两个根，则ax2－lnx－1＝0有两解。令f(x)＝ax2－lnx－1，则f ′(x)＝2ax－＝，
当a≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在（0，＋∞）上为减函数，不合题意
当a＞0时，令f ′(x)＝0得2ax2＝1，①
由①得x＝，f(x)在（0，）上为减函数，在（，＋∞）上为增函数，
∴当x＝，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f（）＝(ln2a－1)．
∴只要(ln2a－1)＜0，∴a∈(0，)
二、方法联想
1．切线方程
涉及函数图象的切线问题，如果已知切点利用切点求切线；如果不知切点，则先设切点坐标求出切线方程的一般形式再来利用已知条件．
注意 (1)“在”与“过”的区别：“在”表示该点为切点，“过”表示该点不一定为切点．
(2)切点的三个作用：①求切线斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
变式1
函数上一点处的切线方程为，求的值
答案：a＝2，b＝1
（已知切线方程求参数）
变式2
题目：在平面直角坐标系中，直线与曲线和均相切，
切点分别为和,则的值是
答案 ．
解析：由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1 x－x12，
函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3 x22 x－2x23．
所以，解之得：x1＝，x2＝．
所以 ＝．
（已知两曲线的公共切线，求切点）
变式3
曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 .
答案：1
（求两曲线的公切线条数）
变式4
已知函数，若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围
答案：
解：设切点坐标，切线斜率为，则有
切线方程为：
因为切线过，所以将代入直线方程可得：
所以问题等价于方程，令
即直线与有三个不同交点
令解得 所以在单调递减，在单调递增
所以若有三个交点，则
所以当时，过点存在3条直线与曲线相切
（已知公切线条数，研究参数的范围）
2．函数单调性
(1)如果在某个区间上f ′(x)＞0，那么f(x)为该区间上的增函数；
如果在某个区间上f ′(x)＜0，那么f(x)为该区间上的减函数．
(2)如果f(x)在某个区间为增函数，那么在该区间f ′(x)≥0；
如果f(x)在某个区间为减函数，那么在该区间f ′(x)≤0．
注意 求单调区间前优先求定义域；单调区间不能用“∪”，用“，”或“和”．
变式1、已知f(x)＝2ax－－(2＋a)ln x(a≥0)．当a＞0时，讨论f(x)的单调性．
答案：f′(x)＝2a＋－(2＋a)＝＝.
①当0＜a＜2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；
②当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
③当a＞2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数．
（已知导数等于0的两个根，求单调性）
变式2、若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围_______________
答案：
（不单调，求参数的范围）
变式3、定义在上的函数满足：则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．
答案：
(确定函数单调性)
3．函数极值(或最值)
①求函数的定义域；②求f ′(x)＝0在区间内的根；③讨论极值点两侧的导数的正负确定极大值或极小值．④将求得的极值与两端点处的函数值进行比较，得到最大值与最小值．
变式1、已知函数f(x)的导函数f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是_____．
答案：(－1,0)
解答：因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f ′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f ′(x)＞0，右边f ′(x)＜0，所以导函数f ′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．
（已知极大（小）值点，求参数范围）
变式2、已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．
答案 (，2)
解答：由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，
所以根据导函数图象可又a>0，解得