海南省文昌中学2019-2020学年高二上学期月考数学试题 19页

‎2019—2020学年度第一学期高二第二次月考试题 数 学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程直接求解．‎ ‎【详解】由抛物线得：，‎ 所以，所以抛物线的焦点坐标是：‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．‎ ‎2.若命题，则命题的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据存在性命题的否定改成全称命题的原则，即可得结论.‎ ‎【详解】命题，则命题的否定是 ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查命题的否定，要注意特称量词和全称量词之间的转化，属于基础题.‎ ‎3.如图，平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量基本原理和向量的线性运算，即可求解.‎ ‎【详解】.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查向量的表示，属于基础题.‎ ‎4.已知点是椭圆上的一点，，是焦点，若取最大时，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵椭圆方程为 ‎ 因此，椭圆的焦点坐标为 ‎ ． 根据椭圆的性质可知当点与短轴端点重合时，取最大值，则此时的面积 ‎ 故选B ‎5.已知双曲线C:,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考查双曲线的基本性质，点到直线的距离公式．‎ 渐近线方程：，的右焦点：，；‎ 不妨取来计算，写成直线一般方程形式：；‎ 根据点到直线的举例公式可得：．‎ 所以答案是选项D．‎ 本题属于基本题，必须会做．这个结论也可以让学生记下来．‎ ‎6.已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C：上，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆方程为：.‎ 故选D.‎ 考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.‎ ‎7.已知,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，不等式，等价与，即，解得或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8.双曲线一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求双曲线的一条渐近线为，再利用直线互相垂直得，代入即可.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线为，渐近线 与直线垂直，‎ 得，即，代入 故选C ‎【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，渐近线方程，属于基础题.‎ ‎9.若抛物线上一点到其焦点的距离为10，则点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由抛物线的标准方程可得其准线方程为，设点P的坐标为，‎ 由抛物线的定义有：，结合抛物线方程可得：，‎ 据此可得点的坐标为.‎ 本题选择C选项.‎ ‎10.如图所示，在正方体中，，分别是棱上的点，若，则的大小是（ ）‎ A. 等于90° B. 小于90° C. 大于90° D. 不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可证平面，可得结论.‎ ‎【详解】由正方体中，‎ 所以，中，‎ 所以，又，‎ ‎，‎ 所以平面，故.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查空间垂直关系，属于基础题.‎ ‎11.在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：‎ ‎①异面直线与所成的角是定值；‎ ‎②三棱锥的体积是定值；‎ ‎③直线与平面所成的角是定值．‎ 其中真命题的个数是( )‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以A点坐标原点，AB,AD,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,‎ 可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0,可得①正确；‎ 由三棱锥的底面面积为定值，且∥,可得②正确；‎ 可得=(t，1，-t)，平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值可得③错误，可得答案.‎ ‎【详解】解:以A点为坐标原点，AB,AD,所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1,0,0),C(1,1,O),D(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），‎ 可得=(1,1,1),=(t-1，1，-t)，可得=0，故异面直线与所的角是定值，故①正确；‎ 三棱锥的底面面积为定值，且∥,点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；‎ 可得=(t，1，-t)，=(0,1,-1),=(-1,1,0),可得平面的一个法向量为=（1，1，1），可得不为定值，故③错误;‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间角的求解及几何体体积的求解，建立直角坐标系，是解题的关键.‎ ‎12.已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（ ）‎ A. 16 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由 可以得到，解得，所以，，故，，选A.‎ 点睛：对于抛物线 ，若且 为焦点弦或焦半径，那么，，其中为焦点.‎ 二、填空题：每题5分，满分20分 ‎13.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四点共面的充要条件即可求出t的值.‎ ‎【详解】P，A，B，C四点共面，且，‎ ‎，解得.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查四点共面，掌握向量共面的充要条件是解题的关键，属于基础题.‎ ‎14.已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.‎ ‎【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必 相交于A，B两点，设，‎ 且弦AB被点P平分，故直线AB的斜率存在，‎ 两式相减得，‎ ‎，‎ 直线AB的方程为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．‎ ‎16.已知圆，抛物线与相交于两点， ，则抛物线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据直线与圆相交的弦长公式可知，解得，设直线的方程为，圆心到直线的距离，解得（舍）或，，解得或，代入抛物线方程，解得，所以抛物线方程为，故答案为.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知；，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出命题q成立的的范围，p是q的充分不必要条件，命题p的取值范围是命题q的范围的真子集，即可求解.‎ ‎【详解】由，即.‎ 由，得，‎ ‎，即.‎ 是的充分不必要条件，.‎ ‎ .‎ 故有，解得，‎ 实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查充分不必要条件，转化为集合间的关系，属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，.‎ ‎（1）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）若点分别在上，且平面，试确定点的位置 ‎【答案】（1）；（2）M为AB的中点，N为PC的中点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．以为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量为，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设 ，利用平面PCD，所以∥，得到的方程，求解即可确定M,N的位置 ‎【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．‎ 以为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系，则 从而 设平面PCD的法向量 则即 不妨取则．‎ 所以平面PCD的一个法向量为． ‎ 设直线PB与平面PCD所成角为所以 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． ‎ ‎（2）设则 设则而 所以．由（1）知，平面PCD的一个法向量为，因为平面PCD，所以∥．‎ 所以解得，．‎ 所以M为AB的中点，N为PC的中点． ‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题 ‎19.已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，长轴长为，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线与椭圆交于点，若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题干中长轴长为，离心率为，得到相应方程，从而得到椭圆方程．（2）联立直线和椭圆得到二次方程，由椭圆的第二定义得到弦长为，进而得到三角形的面积．‎ 解析：‎ ‎（1）所以，椭圆方程为 ‎ ‎（2）设MN的方程为 ‎ ‎ 所以，‎ 所以，.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎20.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，，是的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连接、，证明平面，从而得出；‎ ‎（2）证明出平面，可得出、、两两垂直，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后计算出平面、的法向量，利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取中点，联结、，‎ 为等边三角形，为的中点，.‎ 是的中点，为中点，，，.‎ ‎，平面，‎ 平面，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，则、、两两垂直，‎ 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则、、、、.‎ 设平面的法向量为，，.‎ 由，得，令，得，，‎ 所以，平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，，‎ 由，得，取，得，.‎ 所以，平面的一个法向量为.‎ 则.‎ 结合图形可知，二面角的平面角为锐角，其余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；‎ ‎（2）若，求|AB|．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.‎ ‎【详解】（1）设直线方程为：，，‎ 由抛物线焦半径公式可知： ‎ 联立得：‎ 则 ‎ ‎，解得：‎ 直线的方程为：，即：‎ ‎（2）设，则可设直线方程为：‎ 联立得：‎ 则 ‎ ‎，‎ ‎ ， ‎ 则 ‎【点睛】本题考查抛物线几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，短轴长为2.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求原点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知求得，再由椭圆离心率及隐含条件求得，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得，再由，可得，从而求得的范围，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，则取值范围可求．‎ 试题解析：（1）设焦距为，由已知，，∴，又，解得，∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设，，联立得，依题意，，化简得，①，，，，若，则，即，∴，∴，即 ‎，化简得，②，由①②得，，∵原点到直线的距离，∴，又∵，∴，∴原点到直线的距离的取值范围是 ‎ ‎ ‎ ‎