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- 2021-04-22 发布
2018 年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何
第九节 圆锥曲线的综合问题
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求
的．）
1.【2016 高考天津】已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的方程为（ ）
（A）
（B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】由题意得 ，选 A.
2.【浙江省温州市 2017 届高三 8 月模拟】点 到图形 上所有点的距离的最小值称为点 到图形 的
距离，那么平面内到定圆 的距离与到圆 外的定点 的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
【答案】C.
3.【2017 届广东省广雅中学、江西省南昌二中高三下联考】自圆 ： 外一点
引该圆的一条切线，切点为 ，切线的长度等于点 到原点 的长，则点 轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得 ,所以 ，即 ，选 D.
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x 52
02 =+ yx
14
2
2
=− yx 14
2
2 =− yx
15
3
20
3 22
=− yx 120
3
5
3 22
=− yx
2 215, 2, 1 12 4 1
b x yc a ba
= = ⇒ = = ⇒ − =
P C P C
C C A
4.【2018 届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知两点 ，
（ ），若曲线 上存在点 ，使得 ，则正实数 的取值范
围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5.【2017 届江西省抚州市临川区第一中学高三 4 月模拟】已知 、 为单位圆上不重合的两个定点，
为此单位圆上的动点，若点 满足 ，则点 的轨迹为（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
【答案】D
【解析】设 ， ， ， ，设单位圆圆心为 ，则根据
可有： ，所以点 为 的重心，根据重心坐标公式有
，整理得 ，所以点 的轨迹为圆，故选择 D.
6.【2017 届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知直线
上总存在点 ，使得过 点作的圆 ：
的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是（ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】C
( ),0A a ( ),0B a−
0a > 2 2 2 3 2 3 0x y x y+ − − + = P 90APB∠ = ° a
( ]0,3 [ ]1,3 [ ]2,3 [ ]1,2
B C
A P AP PB PC= + P
( ),P x y ( )cos ,sinA θ θ ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y O
AP PB PC= + 0PA PB PC+ + = P ABC∆
1 2
1 2
cos
3{ sin
3
x xx
y yy
θ
θ
+ +=
+ +=
2 2
1 2 1 2 1
3 3 9
x x y yx y
+ + − + − = P
( ) ( ): 2 1 4 4 0l m x m y m+ + − + − = M M C
2 2 2 4 3 0x y x y+ + − + = m
1m ≤ 2m ≥ 2 8m≤ ≤ 2 10m− ≤ ≤ 2m ≤ − 8m ≥
【解析】
7.【2016 高考天津理数】已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的
圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、B、C、D 四点，四边形的 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为
（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设 A 在第一象限， ，∴ ，
∴ ，故双曲线的方程为 ，故选 D.
8.【2017 届河北省石家庄市二模】已知动点 在椭圆 上，若点 的坐标为 ，点 满
足 ， ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2
2
2
4 =1x y
b
−
22
44
3 =1yx −
22
34
4 =1yx −
2
2
2
4 =1x y
b
−
22
24 =11
x y−
( , )A x y
2 2
2
2
4
4 4
4
2 24
xx y b
b by x y
b
= + = + ⇒ = = ⋅ +
2
2
16 124 2 2
b bxy bb
= ⋅ = ⇒ =+
2 2
14 12
x y− =
P
2 2
136 27
x y+ = A ( )3,0 M
1AM = 0PM AM⋅ = PM
2 3 2 2 3
【解析】 ，
9.【2018 届广西钦州市高三上学期第一次检测】抛物线 的焦点为 ，点 为该抛物线上的动点，
点 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由题意可知，抛物线的准线方程为 x=﹣1，A（﹣1，0），
过 P 作 PN 垂直直线 x=﹣1 于 N，
0PM AM PM AM⋅ = ∴ ⊥
由抛物线的定义可知 PF=PN，连结 PA，当 PA 是抛物线的切线时， 有最小值，则∠APN 最大，即
∠PAF 最大，就是直线 PA 的斜率最大，
设在 PA 的方程为：y=k（x+1），所以 ，
解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，
所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得 k=±1，
所以∠NPA=45°，
=cos∠NPA= ．
故选 B．
10. 设圆 的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平
分线与 CQ 的连线交于点 ，则 的轨迹方程为 （ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
11.【2018 届云南省昆明一中高三第一次摸底】设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线
（ ）上任意一点， 是线段 上的点，且 ，则直线 的斜率的最大值为
（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】由题意可得 ，设 ，则
( )2 21 25x y+ + =
M M
2 24 4 125 21
x y+ =
2 24 4 121 25
x y+ =
2 24 4 125 21
x y− =
2 24 4 121 25
x y− =
O P F 2 2y px=
0p > M PF 2PM MF= OM
2
2
2
3
3
3
,02
pF
2
0
0 0, ,( 0)2
yP y yp
>
，可得
．当且仅当 时取得等号，选 A.
12.【2017 届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考（五）】已知抛物线 的焦点为 ，准线为，
抛物线的对称轴与准线交于点 ， 为抛物线上的动点， ，当 最小时，点 恰好在以 为焦
点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
二、填空题
13.【2018 届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校联考】已知 是抛物
线 的焦点，过 的直线 与直线 垂直，且直线 与抛物线 交于 ， 两
点，则 __________．
【答案】
【解析】 是抛物线 的焦点，∴ ，又过 的直线 与直线 垂直
∴直线 的方程为： ，带入抛物线 ，易得：
设 ， ，
。
故答案为：
( ) 2
0 01 1 1 2 ,3 3 3 3 6 3 3
y ypOM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p
= + = + = + − = + = +
2
00 0
0 0
1 1 23
2226 3 2
k y py p y p
p yp p y
= = ≤ =
++
0
02
y p
p y
=
F
2: 16C y x= F l 3 1 0x y+ − = l C A B
AB =
64
3
F 2: 16C y x= ( )4,0F F l 3 1 0x y+ − =
l ( )y 3 4x= − 2: 16C y x= 23 40 48 0x x− + =
( )1 1A x y= ， ( )2 2B x y= ， 1 2 1 2
40 163x x x x+ = =，
( )2
1 2 1 2
641 3 4 3AB x x x x= + + − =
64
3
14.【2017 届山西省太原市高三三模】已知过点 的直线与 相交于点 ，过点 的直
线与 相交于点 ，若直线 与圆 相切，则直线 与 的交点 的轨迹方程为
__________.
【答案】
直线 CD 的方程为： ，
整理可得：
直线与圆相切，则： ，
据此可得： ，
由于： ，
两式相乘可得：
即直线 与 的交点 的轨迹方程为 .
15.已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，若
为边长是 的等边三角形，则此抛物线方程为 .
【答案】
【解析】 为等边三角形， ，由抛物线的定义得 抛物线的准线，设
，
( )2,0A − 2x = C ( )2,0B
2x = − D CD 2 2 4x y+ = AC BD M
( )2
2 1 04
x y y+ = ≠
( )( )1 1 24 2y k k k x− = + −
( ) ( )1 2 1 22 0k k x y k k+ − + − =
( )
( )
1 2
2
1 2
2
2
1
k k
k k
−
=
− +
1 2
1
4k k = −
( ) ( )1 22 , 2y k x y k x= + = −
( )2 2 2
1 2
14 14y k k x x= − = − +
AC BD M ( )2
2 1 04
x y y+ = ≠
2 2 ( 0)y px p= > F P M
FPM∆ 12
xy 122 =
FPM∆ PMPF = ⊥PM
mp
mP ,2
2
则点 ，焦点 ，由于 是等边三角形， ，得
，
因此抛物线方程 .
16.【2017 届浙江省杭州高级中学高三 2 月模拟】设圆 与抛物线 相交于 两
点， 为抛物线的焦点，若过点 且斜率为 的直线与抛物线和圆交于四个不同的点，从左至右依次
为 ，则 的值__________ ，若直线 与抛物线相交于 两点，且与圆相
切，切点 在劣弧 上，则 的取值范是__________.
【答案】
【解析】如图所示，联立圆与抛物线的方程可得交点坐标为：
∵点 F 坐标为(0,1),∴kFB= ,∴kl>kFB，
− mpM ,2
0,2
pF FPM∆
=+
+
=+
1222
1222
2
2
2
mpp
p
p
m
=
=
6
1082
p
m
xy 122 =
2 2 12x y+ = 2 4x y= ,A B
F F 1
1 2 3 4, , ,P P P P 1 2 3 4PP P P+ m ,M N
D AB MF NF+
5 2 2 4 3,22 +
( ) ( )2 2,2 , 2 2,2A B−
2
4
∴ ，
所以|P1P2|+|P3P4|的值等于 .
设直线 m 的方程为 y=k+b(b>0)，
代入抛物线方程得 x2−4kx−4b=0，
设点 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=4k，
则 y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k2+2b，
∵直线 m 与该圆相切,∴ ,即 ，
又|MF|=y1+1,|NF|=y2+1，
∴ ，
∵ ,∴分别过 A. B 的圆的切线的斜率为 .
∴k∈[ ],∴0⩽k2⩽2,∴ ，
∵b>0,∴b∈[ ]
所以|MF|+|NF|的取值范围为 .
三、解答题
17. 已知抛物线 .
（1）若直线 与抛物线 相交于 两点，求 弦长；
（2）已知△ 的三个顶点在抛物线 上运动.若点 在坐标原点， 边过定点 ，点 在
上且 ，求点 的轨迹方程.
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 1 4 3 2 4 1 32 2 5 2PP P P x x x x x x x x + = − + − = + − + =
5 2
2
12
1
b
k
=
+
2
2 112
bk = −
( )22
1 2
12 4 2 2 3 53MF NF y y k b b+ = + + = + + = + −
2 2,2 2OA OBk k= − = 2, 2−
2, 2−
2
0 1 1212
b −
2 3,6
2 4 3,22 +
2: 4E x y=
1y x= + E ,P Q PQ
ABC E A BC (0,2)N M
BC 0AM BC⋅ = M
【答案】（1） ；（2） （ ） .
（注：用其他方法也相应给分）
（2）设点 的坐标为 ，由 边所在的方程过定点 ，
所以 , 即 （ ）
18.【2018 届河南省师范大学附属中学高三 8 月开学】已知椭圆 的右焦点为 ，
为椭圆的上顶点， 为坐标原点，且 是等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线交椭圆于 两点，且使 为 的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，
求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） （2）
试题解析：
（1）由△OMF 是等腰直角三角形得 b=1，a =
故椭圆方程为
8 2 2 2 0x y y+ − = 0y ≠
M ( , )x y BC (0,2)N
( , )AM x y= ( ,2 )MN x y= − −
0AM BC⋅ =
0AM MN∴ ⋅ =
(2 ) 0x x y y− ⋅ + − = 2 2 2 0x y y+ − = 0y ≠
（2）假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，且使 F 为△PQM 的垂心
设 P（ , ）,Q（ , ）
因为 M（0,1），F（1,0），故 ，故直线 l 的斜率
于是设直线 l 的方程为
由 得
由题意知△＞0，即 ＜3，且
由题意应有 ，又
故
解得 或
经检验，当 时，△PQM 不存在，故舍去 ；
当 时，所求直线 满足题意
综上，存在直线 l，且直线 l 的方程为
19.【江苏省苏州市 2017 届高三暑假自主测试】已知抛物线 C 的方程为 ，点 在抛
物线 C 上．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）过点 Q（1,1）作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A，B．若直线 AR,BR 分别交直线
于 M,N 两点，求线段 MN 最小时直线 AB 的方程．
2 2 ( 0)y px p= > (1,2)R
: 2 2l y x= +
【答案】（1） （2）
，所以 ……5 分
设 ： ，
由 得 ，而
可得 ，同理
所以 ……8 分
令 ，则
2 4y x= 2 0x y+ − =
2 4 4( 1) 0y my m− + − = 1 2 1 24 , 4( 1)y y m y y m+ = = −
AR 1( 1) 2y k x= − +
1( 1) 2
2 2
y k x
y x
= − +
= +
1
1 2M
kx k
= −
1 1
1 2
11 1
2 2 4
1 214
y yk yx y
− −= = =− +−
1
2
Mx y
= −
2
2
Nx y
= −
2 1| | 5 | | 2 5 | 1|M N
m mMN x x m
− += − = −
1 ( 0)m t t− = ≠ 1m t= +
所以
此时 ， 所在直线方程为： ……10 分
20. 【2017 届宁夏石嘴山一中高三第二次模拟】已知椭圆 ： ，斜率为 的动直线 l 与椭圆
交于不同的两点 、 .
（1）设 为弦 的中点，求动点 的轨迹方程；
（2）设 、 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆在第一象限上一点，满足 ，求 面积
的最大值.
【答案】（1） ， （2）
试题解析：
解：（Ⅰ）设 ， （1） （2）
（1）-（2）得： ，即
又由中点在椭圆内部得 ，
所以 点的轨迹方程为 ,
（Ⅱ）由 ，得 点坐标为 ，
设直线的方程为 ，代入椭圆方程中整理得：
，由 得
则
，
21 1 3| | 5 | | 2 5 ( ) 152 4M NMN x x t
= − = + + ≥
1m = − AB 2 0x y+ − =
所以
，当 时，
21.【2018 届广东省汕头市金山中学高三上学期期中】在平面直角坐标系 中，设点 (1，0)，直线
: ，点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点, 异于点 R 的点 Q 满足： ，
.
（1）求动点 的轨迹的方程；
（2） 记 的轨迹的方程为 ，过点 作两条互相垂直的曲线
的弦 . ，设 . 的中点分别为 ．
问直线 是否经过某个定点？如果是，求出该定点，
如果不是，说明理由．
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)以直线 恒过定点 ．
试题解析：(Ⅰ)依题意知，直线 的方程为： ．点 是线段 的中点，
且 ⊥ ，∴ 是线段 的垂直平分线．
∴ 是点 到直线 的距离．
xoy F
l 1x = − P l R PF y RQ FP⊥
PQ l⊥
Q
Q E F E
AB CD AB CD M N，
MN
2 4 ( 0)y x x= > MN R ( )3,0
l 1x = − R FP
RQ FP RQ FP
PQ Q l
∵点 在线段 的垂直平分线，∴ ．
故动点 的轨迹 是以 为焦点， 为准线的抛物线，
其方程为： ．
(Ⅱ) 设 ， ，
由 AB⊥CD，且 AB、CD 与抛物线均有两个不同的交点，故直线 AB、CD 斜率均存在，设直线 AB 的方程为
则
（1）—（2）得 ，即 ，
代入方程 ，解得 ．所以点Ｍ的坐标为 ．
同理可得： 的坐标为 ．
直线 的斜率为 ，方程为
，整理得 ，
显然，不论 为何值， 均满足方程，所以直线 恒过定点 ．
22.【2018 届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】设点 是 轴上的一个定点，其横坐标为
（ ），已知当 时，动圆 过点 且与直线 相切，记动圆 的圆心 的轨迹为 ．
（Ⅰ）求曲线 的方程；
（Ⅱ）当 时，若直线 与曲线 相切于点 （ ），且 与以定点 为圆心的动圆
Q FP PQ QF=
Q E F l
2 4 ( 0)y x x= >
( ) ( ), , ,A A B BA x y B x y ( ) ( ), ,M M N NM x y N x y，
( )1y k x= −
( )
( )
2
2
4 1{ 4 2
A A
B B
y x
y x
=
=
4
A By y k
+ = 2
My k
=
( )1y k x= −
2
2 1Mx k
= +
2
2 21,k k
+
N ( )22 1, 2k k+ −
MN 21
M N
MN
M N
y y kk x x k
−= =− −
( )2
22 2 11
ky k x kk
+ = − −− ( ) ( )21 3y k k x− = −
k ( )3,0 MN R ( )3,0
M x a
a R∈ 1a = N M 1x = − N N C
C
2a > l C ( )0 0,P x y 0 0y > l M M
也相切，当动圆 的面积最小时，证明： 、 两点的横坐标之差为定值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
试题解析：
（Ⅰ）因为圆 与直线 相切，所以点 到直线 的距离等于圆 的半径，
所以，点 到点 的距离与到直线 的距离相等.
所以，点 的轨迹为以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以圆心 的轨迹方程，即曲线 的方程为 ．
（Ⅱ）由题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
又 ，所以 ，
因为直线 与曲线 相切，所以 ，解得 ．
所以，直线 的方程为 ．
动圆 的半径即为点 到直线 的距离 .
当动圆 的面积最小时，即 最小，而当 时；
.
当且仅当 ，即 时取等号，
M M P
2 4y x=
N 1x = − N 1x = − N
N ( )1,0M 1x = −
N ( )1,0M 1x = −
N C 2 4y x=
l l ( )0 0y y k x x− = −
( )0 0
2
,{
4 ,
y y k x x
y x
− = −
=
2
0 0 04
k y y kx y− − + =
2
0 04y x= 2 2
0 0 04 4
k ky y y y− − + =
l C 2
0 01 04
kk y y ∆ = − − + = 0
2k y
=
l 2
0 04 2 0x y y y− + =
M ( ),0M a l
2
0
2
0
4
16 4
a y
d
y
+
=
+
M d 2a >
2 2
0 0
2 2
0 0
4 4
16 4 2 4
a y y ad
y y
+ += =
+ +
2
0
2
0
4 4 4
2 4
y a
y
+ + −=
+
2
0
2
0
4 4 4 2 12 2 4
y a a
y
+ −= + ≥ −
+
2
0 4 8y a= − 0 2x a= −
所以当动圆 的面积最小时， ，
即当动圆 的面积最小时， 、 两点的横坐标之差为定值.
M 0 2a x− =
M M P