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- 2021-04-22 发布
第 5 节 天体运动与人造卫星
(1)同步卫星可以定点在北京市的正上方。(×)
(2)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。(√)
(3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(×)
(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。(√)
(5)月球的第一宇宙速度也是 7.9 km/s。(×)
(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√)
(7)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。(√)
突破点(一) 宇宙速度的理解与计算
1．第一宇宙速度的推导
方法一：由 GMm
R2 ＝m v12
R 得
v1＝ GM
R ＝ 6.67 × 10－11 × 5.98 × 1024
6.4 × 106 m/s
＝7.9×103 m/s。
方法二：由 mg＝m v12
R 得
v1＝ gR＝ 9.8 × 6.4 × 106 m/s＝7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运
行周期最短，Tmin＝2π R
g＝5 075 s≈85 min。
2．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s＜v 发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。
(3)11.2 km/s≤v 发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v 发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
[多角练通]
1．(2014·江苏高考)已知地球的质量约为火星质量的 10 倍，地球的半径约为火星半径的
2 倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s
解析：选 A 根据题设条件可知：M地＝10 M 火，R地＝2R 火，由万有引力提供向心力GMm
R2
＝mv2
R，可得 v＝ GM
R ，即v火
v地＝ M火R地
M地R火＝ 1
5，因为地球的第一宇宙速度为 v 地＝7.9
km/s，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率 v 火≈3.5 km/s，选项 A 正
确。
2．(2017·哈尔滨三中模拟)宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面 h 高度处
由静止释放，使其做自由落体运动，经过 t 时间后小球到达星球表面，已知该星球的半径为
R，引力常量为 G，则下列选项正确的是( )
A．该星球的质量为2hR2
Gt2
B．该星球表面的重力加速度为 h
2t2
C．该星球的第一宇宙速度为2hR
t2
D．通过以上数据无法确定该星球的密度
解析：选 A 小球做自由落体运动，则有 h＝1
2gt2，解得该星球表面的重力加速度 g＝
2h
t2 ，故 B 错误；对星球表面的物体，万有引力等于重力，即 GMm
R2 ＝mg，可得该星球的质量
M＝2hR2
Gt2 ，故 A 正确；该星球的第一宇宙速度 v＝ gR＝
2hR
t ，故 C 错误；该星球的
密度 ρ＝ M
4
3πR3
＝ 3h
2πRGt2，故 D 错误。
突破点(二) 卫星运行参量的分析与比较
1．四个分析
“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。
GMm
r2 ＝
{
ma→a＝GM
r2 →a ∝ 1
r2
mv2
r →v＝ GM
r →v ∝ 1
r
mω2r→ω＝ GM
r3 →ω ∝ 1
r3
m4π2
T2 r→T＝ 4π2r3
GM →T ∝ r3}
越高
越慢
2．四个比较
(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用
于无线电通信，故又称通信卫星。
(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近
似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向
心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速
度与同步卫星相等。
[多角练通]
1．(2017·连云港高三检测)我国曾成功发射“一箭 20 星”，在火箭上升的过程中分批释
放卫星，使卫星分别进入离地 200～600 km 高的轨道。轨道均视为圆轨道，下列说法正确的
是( )
A．离地近的卫星比离地远的卫星运动速率小
B．离地近的卫星比离地远的卫星向心加速度小
C．上述卫星的角速度均大于地球自转的角速度
D．同一轨道上的卫星受到的万有引力大小一定相同
解析：选 C 卫星绕地球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律，有：GMm
r2 ＝mv2
r ，解得：
v＝ GM
r ，故离地近的卫星比离地远的卫星运动速率大，故 A 错误；根据牛顿第二定律，
有：GMm
r2 ＝ma，解得：a＝GM
r2 ，故离地近的卫星比离地远的卫星向心加速度大，故 B 错误；
根据牛顿第二定律，有：GMm
r2 ＝mω2r，解得：ω＝ GM
r3 ，同步卫星的角速度等于地球自转
的角速度，同步卫星的轨道离地面高度约为 36 000 千米，卫星分别进入离地 200～600 km 高
的轨道，是近地轨道，故角速度大于地球自转的角速度，故 C 正确；由于卫星的质量不一定
相等，故同一轨道上的卫星受到的万有引力大小不一定相等，故 D 错误。
2．(多选)(2016·江苏高考)如图所示，两质量相等的卫星 A、B 绕
地球做匀速圆周运动，用 R、T、Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周
期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的
有( )
A．TA＞TB B．EkA＞EkB
C．SA＝SB D.RA3
TA2＝RB3
TB2
解析：选 AD 根据开普勒第三定律，RA3
TA2＝RB3
TB2，又 RA＞RB，所以 TA＞TB，选项 A、D
正确；由 GMm
R2 ＝m v2
R得，v＝ GM
R ，所以 vA＜vB，则 EkA＜EkB，选项 B 错误；由 GMm
R2 ＝mR
4π2
T2 得，T＝2π R3
GM，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积 S＝1
TπR2＝ GMR
2 ，可知 SA
＞SB，选项 C 错误。
3．(2017·淮安质检)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在 2
万亿～3 万亿之间。日前在银河系发现一颗类地行星，半径是地球半径
的两倍，质量是地球质量的三倍。卫星 a、b 分别绕地球、类地行星做
匀速圆周运动，它们距中心天体表面的高度均等于地球的半径。则卫星 a、b 的( )
A．线速度之比为 1∶ 3
B．角速度之比为 3∶2 2
C．周期之比为 2 2∶ 3
D．加速度之比为 4∶3
解析：选 B 设地球的半径为 R，质量为 M，则类地行星的半径为 2R，质量为 3M，卫
星 a 的运动半径为 Ra＝2R，卫星 b 的运动半径为 Rb＝3R，万有引力充当向心力，根据公式 G
Mm
r2 ＝mv2
r ，可得 va＝ GM
2R ，vb＝ GM
R ，故线速度之比为 1∶ 2，A 错误；根据公式 GMm
r2 ＝
mω2r，可得 ωa＝ GM
(2R)3，ωb＝ 3GM
(3R)3，故角速度之比为 3∶2 2，根据 T＝2π
ω ，可得周期之
比为 2 2∶3，B 正确，C 错误；根据公式 GMm
r2 ＝ma，可得 aa＝ GM
(2R)2
，ab＝3GM
(3R)2
，故加速
度之比为 3∶4，D 错误。
突破点(三) 卫星变轨问题分析
1．卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所
示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道
Ⅰ上。
(2)在 A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入
椭圆轨道Ⅱ。
(3)在 B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．三个运行物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为 v1、v3，在轨道Ⅱ上过 A 点和 B
点速率分别为 vA、vB。在 A 点加速，则 vA＞v1，在 B 点加速，则 v3＞vB，又因 v1＞v3，故
有 vA＞v1＞v3＞vB。
(2)加速度：因为在 A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过
A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过 B 点加速度也相同。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为 T1、T2、T3，轨道半径分别为 r1、
r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3
T2＝k 可知 T1＜T2＜T3。
[典例] (2017·九江十校联考)我国正在进行的探月工程是高新技术
领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。如
图所示，假设月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g0，飞行器在距
月球表面高度为 3R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的 A 点点火变轨进
入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点 B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
A．飞行器在 B 点处点火后，动能增加
B．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期
C．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过 B 点的加速度大于在轨道Ⅲ上通
过 B 点的加速度
D．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为 2π R
g0
[解析] 在椭圆轨道近地点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞船点火减速，减小所需
的向心力，故点火后动能减小，故 A 错误；设飞船在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间
为 T3，则：mg0＝mR4π2
T32，解得：T3＝2π R
g0，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴 a＝
2.5R，根据开普勒第三定律a3
T2＝k 以及轨道Ⅲ的周期，可求出在轨道Ⅱ上的运行周期，故 B
错误，D 正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过 B 点的加速度与在轨道Ⅲ
上通过 B 点的加速度相等，故 C 错误。
[答案] D
[方法规律]
卫星变轨的实质
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
受力分析 GMm
r2 ＜mv2
r GMm
r2 ＞mv2
r
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨
道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨
道上运动
[集训冲关]
1.(多选)2006 年 10 月 19 日，“神舟十一号”与“天宫二号”成功实现交会对接。如图
所示，交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低圆轨道 1 上运
动，在适当位置经变轨与在圆轨道 2 上运动的“天宫二号”对接。
M、Q 两点在轨道 1 上，P 点在轨道 2 上，三点连线过地球球心，
把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十
一号”变轨过程的描述，正确的有( )
A．“神舟十一号”在 M 点加速，可以在 P 点与“天宫一号”相遇
B．“神舟十一号”在 M 点经一次加速，即可变轨到轨道 2
C．“神舟十一号”经变轨后速度总大于变轨前的速度
D．“神舟十一号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
解析：选 AD “神舟十一号”与“天宫二号”实施对接，需要“神舟十一号”抬升轨
道，即“神舟十一号”开动发动机加速做离心运动，使轨道高度抬高与“天宫二号”实现对
接，故“神舟十一号”在 M 点加速，可以在 P 点与“天宫二号”相遇，故 A 正确；卫星绕
地球做圆周运动向心力由万有引力提供，故有 GMm
r2 ＝mv2
r ，解得：v＝ GM
r ，所以卫星轨
道高度越大线速度越小，“神舟十一号”在轨道 2 的速度小于轨道 1 的速度，所以在 M 点经
一次加速后，还有一个减速过程，才可变轨到轨道 2，故 B、C 错误；根据 GMm
r2 ＝m 4π2r
T2 解
得：T＝2π r3
GM，可知轨道半径越大，周期越大，所以“神舟十号”变轨后的运行周期总大
于变轨前的运行周期，故 D 正确。
2．(2017·宜春检测)我国神舟六号载人飞船圆满完成太空旅程，胜利而归。飞船的升空
和返回特别令人关注，观察飞船运行环节的图片，下列说法正确的是( )
A．飞船抛助推器，使箭、船分离，其作用是让飞船获得平衡
B．飞船返回时要转向 180°，让推进舱在前，返回舱在后，其作用是加速变轨
C．飞船与整流罩分离后打开帆板，其作用是让飞船飞得慢一些
D．飞船的变轨发动机点火工作，使得飞船由椭圆轨道变为圆轨道
解析：选 D 飞船抛助推器，使箭船分离，其作用是减小组合体的质量，减小惯性便于
飞船变轨操作，故 A 错误；飞船返回时要减速降低轨道，所以飞船返回时要转向 180°，让
推进舱在前，使返回舱减速降低轨道以接近地球，故 B 错误；飞船与整流罩分离后打开帆板，
其作用是利用太阳能提供飞船能量，飞船在太空飞行，近乎真空的环境下，飞船几乎不受阻
力作用，故 C 错误；飞船的变轨道发动机工作目的是飞船由椭圆轨道变成圆轨道运动，根据
圆周运动和椭圆轨道运动知，在远地点开动发动机加速使卫星在高轨道上做圆周运动，在近
地点椭圆轨道上开动发动机减速，在半径较小轨道上做圆周运动，故 D 正确。
3.(多选)(2017·衡水检测)同步卫星的发射方法是变轨发射，即
先把卫星发射到离地面高度为 200 km～300 km 的圆形轨道上，这
条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的 P 点时，
末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好
在地球赤道上空约 36 000 km 处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到
达远地点 Q 时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。关于同步卫星及
发射过程，下列说法正确的是( )
A．在 P 点火箭点火和 Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道
上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度
B．在 P 点火箭点火和 Q 点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道
上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能
C．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为 7.9～11.2 km/s
D．所有地球同步卫星的静止轨道都相同
解析：选 BCD 根据卫星变轨的原理知，在 P 点火箭点火和 Q 点开动发动机的目的都
是使卫星加速。当卫星做圆周运动，由 GMm
r2 ＝mv2
r ，得 v＝ GM
r ，可知，卫星在静止轨道
上运行的线速度小于在停泊轨道运行的线速度，故 A 错误；在 P 点火箭点火和 Q 点开动发
动机的目的都是使卫星加速，由能量守恒知，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨
道运行的机械能，故 B 正确；在转移轨道上的速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，
即速度大小范围为 7.9～11.2 km/s，故 C 正确；所有的地球同步卫星的静止轨道都相同，并
且都在赤道平面上，高度一定，故 D 正确。
突破点(四) 宇宙多星模型
在天体运动中彼此相距较近，在相互间的万有引力作用下，围绕同一点做匀速圆周运动
的星体系统称为宇宙多星模型。要充分利用宇宙多星模型中各星体运行的周期、角速度都相
等这一特点，解题模板如下。
(一)宇宙双星模型
(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做
匀速圆周运动的向心力大小相等。
(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相
等的。
(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径 r1 和 r2 与两行星间距 L 的大小关系：r1＋r2＝L。
[典例 1] (多选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做
匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质
量转移的目的。根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为
圆，则在该过程中( )
A．双星做圆周运动的角速度不断减小
B．双星做圆周运动的角速度不断增大
C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小
D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大
[解析] 设质量较小的星体质量为 m1，轨道半径为 r1，质量较大的星体质量为 m2，轨道
半径为 r2。双星间的距离为 L，则 L＝r1＋r2，转移的质量为 Δm。
根据万有引力提供向心力，对 m1：
G
(m1＋Δm)(m2－Δm)
L2 ＝(m1＋Δm)ω2r1①
对 m2：G
(m1＋Δm)(m2－Δm)
L2 ＝(m2－Δm)ω2r2②
由①②得：ω＝ G(m1＋m2)
L3 ，总质量 m1＋m2 不变，两者距离 L 增大，则角速度 ω 变
小。故 A 正确，B 错误；
由②式可得 r2＝G(m1＋Δm)
ω2L2 ，把 ω 的值代入得：
r2＝ G(m1＋Δm)
G(m1＋m2)
L3 L2
＝m1＋Δm
m1＋m2 L，
因为 L 增大，故 r2 增大，即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故 C 错误，D
正确。
[答案] AD
[易错提醒]
通常研究卫星绕地球或行星绕太阳运行问题时，卫星到地球中心或行星到太阳中心间距
与它们的轨道半径大小是相等的，但在宇宙多星问题中，行星间距与轨道半径是不同的，这
点要注意区分。
(二)宇宙三星模型
(1)如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，
另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中
心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：
Gm2
r2 ＋Gm2
(2r)2
＝ma。
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
(2)如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三
角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对
其万有引力的合力来提供。
Gm2
L2 ×2×cos 30°＝ma，其中 L＝2rcos 30°。
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
[典例 2] (多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对
它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：
一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗
星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设
两种系统中三个星体的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引
力常量为 G，则下列说法中正确的是( )
A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 Gm
L
B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 4π L3
5Gm
C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为 2 L3
3Gm
D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为
3Gm
L2
[解析] 在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合
力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有 Gm2
L2＋G m2
(2L)2
＝mv2
L，解得 v＝1
2
5Gm
L ，A
项错误；由周期 T＝2πr
v
知，直线三星系统中星体做圆周运动的周期为 T＝4π L3
5Gm，B 项正
确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有 2Gm2
L2cos 30°＝mω2· L
2cos 30°，解得 ω
＝ 3Gm
L3 ，C 项错误；由 2Gm2
L2cos 30°＝ma 得 a＝ 3Gm
L2 ，D 项正确。
[答案] BD
(三)宇宙四星模型
(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外
接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。
Gm2
L2 ×2×cos 45°＋ Gm2
( 2L)2
＝ma，
其中 r＝ 2
2 L。
四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
(2)如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形
的中心 O 点，三颗行星以 O 点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周
运动。
Gm2
L2 ×2×cos 30°＋GMm
r2 ＝ma。
其中 L＝2rcos 30°。
外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。
[典例 3] 宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常
可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为 m，半径均为 R，四
颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上。已知引力常量为 G。关于宇宙四星系统，
下列说法错误的是( )
A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B．四颗星的轨道半径均为a
2
C．四颗星表面的重力加速度均为Gm
R2
D．四颗星的周期均为 2πa
2a
(4＋ 2)Gm
[解析] 四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对
角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 2
2 a，
故 A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 Gmm′
R2 ＝m′g，解得 g＝
Gm
R2 ，故 C 正确；由万有引力定律和向心力公式得 Gm2
( 2a)2
＋ 2Gm2
a2 ＝m4π2
T2
2a
2 ，T＝2πa
2a
(4＋ 2)Gm
，故 D 正确。
[答案] B
万有引力定律与几何知识的结合
人造卫星绕地球运动，太阳发出的光线沿直线传播，地球或卫星都会遮挡光线，从而使
万有引力、天体运动与几何知识结合起来。
求解此类问题时，要根据题中情景，由光线沿直线传播画出几何图形，通过几何图形找
到边界光线，从而确定临界条件，并结合万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，列式
求解。
1.2014 年 12 月 7 日，中国和巴西联合研制的地球资源卫星“04 星”
在太原成功发射升空，进入预定轨道，已知“04 星”绕地球做匀速圆周运
动的周期为 T，地球相对“04 星”的张角为 θ，引力常量为 G，则地球的
密度为( )
A. 3πG
T2sin3θ
2
B. 3π
GT2sin3θ
2
C. 3π
GT2sin3θ D. 3πG
T2sin3θ
解析：选 B “04 星”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，GMm
r2 ＝m4π2
T2 r，
设地球半径为 R，则由题图知 rsin θ
2＝R，而 M＝4πR3
3 ρ，联立得 ρ＝ 3π
GT2sin3θ
2
，B 对。
2.(2016·石家庄二模)如图所示，人造卫星 A、B 在同一平面内绕地
心 O 做匀速圆周运动，已知 A、B 连线与 AO 连线间的夹角最大为 θ，
则卫星 A、B 的线速度之比为( )
A．sin θ B. 1
sin θ
C. sin θ D. 1
sin θ
解析：选 C 由题图可知，当 AB 连线与 B 所在的圆周相切时 AB 连线与 AO 连线的夹
角 θ 最大，由几何关系可知，sin θ＝rB
rA；根据 GMm
r2 ＝m v2
r 可知，v＝ GM
r ，故vA
vB＝ rB
rA＝ sin θ，
选项 C 正确。
3．(多选)宇宙飞船以周期 T 绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”
过程，如图所示。已知地球的半径为 R，地球质量为 M，引力常量
为 G，地球自转周期为 T0，太阳光可看做平行光，宇航员在 A 点测
出的张角为 α，则( )
A．飞船绕地球运动的线速度为 2πR
Tsinα
2
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为 T
T0
C．飞船每次经历“日全食”过程的时间为αT0
2π
D．飞船周期为 T＝2πR
sinα
2
R
GMsinα
2
解析：选 AD 由题意得，飞船绕地球做匀速圆周运动的线速度 v＝2πr
T ，由几何关系得 sin
α
2＝R
r，故 v＝ 2πR
Tsinα
2
，A 正确；又GMm
r2 ＝m4π2
T2 r，得 T＝2πR
sinα
2
R
GMsinα
2
，D 正确；飞船每次
经历“日全食”过程的时间等于飞船相对地球转过 α 角的时间，即 α
2πT，C 错误；地球自转
一圈的时间为 T0，飞船绕地球一圈的时间为 T，飞船绕一圈会经历一次日全食，所以每过时
间 T 就有一次日全食，一天内飞船经历“日全食”的次数为T0
T ，B 错误。
对点训练：宇宙速度的理解与计算
1．(2017·南平质检)某星球直径为 d，宇航员在该星球表面以初速度 v 0 竖直上抛一个物
体，物体上升的最大高度为 h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为( )
A.v0
2 B．2v0 d
h
C.v0
2 h
d D.v0
2 d
h
解析：选 D 星球表面的重力加速度为：g＝v02
2h，根据万有引力定律可知：G Mm
(
d
2 )2
＝m
v2
d
2
，解得 v＝ 2GM
d ；又 G Mm
(
d
2 )2
＝mg，解得：v＝v0
2 d
h，故选 D。
2.(多选)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入
椭圆轨道Ⅰ，然后在 Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步
轨道Ⅱ，则( )
A．该卫星在 P 点的速度大于 7.9 km/s，且小于 11.2 km/s
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于 7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在 P 点的速度大于在 Q 点的速度
D．卫星在 Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析：选 CD 由于卫星的最大环绕速度为 7.9 km/s，故 A 错误；环绕地球做圆周运动
的人造卫星，最大的运行速度是 7.9 km/s，故 B 错误；P 点比 Q 点离地球近些，故在轨道Ⅰ
上，卫星在 P 点的速度大于在 Q 点的速度，C 正确；卫星在 Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进
入轨道Ⅱ，故 D 正确。
3．(2017·黄冈中学模拟)已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度
为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
解析：选 B 根据 mg＝m v2
R得，第一宇宙速度 v＝ gR。因为该星球和地球的第一宇宙
速度相同，表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则星球的半径是地球半径的 2
倍。根据 GMm
R2 ＝mg 得，M＝gR2
G ，知星球的质量是地球质量的 2 倍。根据 ρ＝M
V＝ M
4
3πR3
知，
星球的平均密度与地球平均密度的比值为 1∶4，故 B 正确，A、C、D 错误。
对点训练：卫星运行参量的分析与比较
4.(2015·山东高考)如图，拉格朗日点 L1 位于地球和月球连
线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与
月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗
日点 L1 建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以 a1、a2 分别表示该空间站和月球向
心加速度的大小，a3 表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )
A．a2＞a3＞a1 B.a2＞a1＞a3
C．a3＞a1＞a2 D．a3＞a2＞a1
解析：选 D 空间站和月球绕地球运动的周期相同，由 a＝(
2π
T )2r 知，a2＞a1；对地
球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMm
r2 ＝ma，可知 a 3＞a2，则
a3>a2>a1，故选项 D 正确。
5．(多选)(2017·北京朝阳区高三检测)GPS 导航系统可以为陆、海、空三大领域提供实时、
全天候和全球性的导航服务，它是由周期约为 12 小时的卫星群组成。则 GPS 导航卫星与地
球同步卫星相比( )
A．地球同步卫星的角速度大
B．地球同步卫星的轨道半径大
C．GPS 导航卫星的线速度大
D．GPS 导航卫星的向心加速度小
解析：选 BC GPS 导航卫星周期小于同步卫星的周期，根据 r3
T2＝k 可知，同步卫星的
轨道半径较大，周期较大，角速度较小，A 错误，B 正确；根据 v＝ GM
r ，可知同步卫星
的线速度较小，C 正确；根据 a＝GM
r2 可知，GPS 导航卫星的向心加速度较大，D 错误。
6．(多选)(2017·淄博二模)“超级地球”是指围绕恒星公转的类地行星。科学家发现有两
颗未知质量的不同“超级地球”环绕同一颗恒星公转，周期分别为 T1 和 T2。根据上述信息
可以计算两颗“超级地球”的( )
A．角速度之比 B．向心加速度之比
C．质量之比 D．所受引力之比
解析：选 AB 根据 ω＝2π
T 得，ω1
ω2＝T2
T1，所以可以计算角速度之比，故 A 正确；根据开
普勒第三定律r3
T2＝k 得r1
r2＝
T12
3
T22
3
，由 a＝ω2r 得a1
a2＝
T22T12
3
T12T22
3
，所以能求向心加速度之比，故 B 正
确；设“超级地球”的质量为 m，恒星质量为 M，轨道半径为 r，根据万有引力提供向心力，
有：GMm
r2 ＝m4π2
T2 r 得：M＝4π2r3
GT2 ，“超级地球”的质量同时出现在等号两边被约掉，故无法
求“超级地球”的质量之比，故 C 错误；根据万有引力定律 F＝GMm
r2 ，因为无法知道两颗“超
级地球”的质量比，所以无法求所受引力之比，故 D 错误。
7．(2017·襄阳模拟)暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物
理学的革命。为了探测暗物质，我国已成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星。
已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间 t(t 小于其运动周
期)，运动的弧长为 s，与地球中心连线扫过的角度为 β(弧度)，引力常量为 G，则下列说法
中正确的是( )
A．“悟空”的线速度大于第一宇宙速度
B．“悟空”的环绕周期为2πt
β
C．“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．“悟空”的质量为 s3
Gt2β
解析：选 B 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：GMm
r2 ＝mv2
r ，
得 v＝ GM
r ，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，
故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故 A 错误；“悟空”的环绕周期
为 T＝2π
β
t
＝2πt
β ，故 B 正确；由 GMm
r2 ＝ma 得加速度 a＝GM
r2 ，则知“悟空”的向心加速度大
于地球同步卫星的向心加速度，故 C 错误；“悟空”绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供
向心力，即：GMm
r2 ＝mrω2，ω＝β
t，s＝βr，联立解得：地球的质量为 M＝ s3
Gt2β，不能求出“悟
空”的质量，故 D 错误。
对点训练：卫星变轨问题分析
8．(多选)(2017·唐山模拟)如图所示，地球卫星 a、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，
椭圆轨道在远地点 A 处与圆形轨道相切，则( )
A．卫星 a 的运行周期比卫星 b 的运行周期短
B．两颗卫星分别经过 A 点处时，a 的速度大于 b 的速度
C．两颗卫星分别经过 A 点处时，a 的加速度小于 b 的加速度
D．卫星 a 在 A 点处通过加速可以到圆轨道上运行
解析：选 AD 由于卫星 a 的运行轨道的半长轴比卫星 b 的运行轨道半长轴短，根据开
普勒定律，卫星 a 的运行周期比卫星 b 的运行周期短，选项 A 正确；两颗卫星分别经过 A 点
处时，卫星 a 通过加速可以到圆轨道上运行，所以卫星 a 的速度小于卫星 b 的速度，选项 B
错误 D 正确；两颗卫星分别经过 A 点处时，由万有引力定律及牛顿第二定律得 GMm
r2 ＝ma，
即卫星 a 的加速度等于卫星 b 的加速度，选项 C 错误。
9．(多选)(2017·宜春检测)航天技术的不断发展，为人类探索宇宙创造了条件。1998 年 1
月发射的“月球勘探者号”空间探测器，运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球
重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得了重大成果。探测器在一些环形山中央发现了质
量密集区，当飞越这些区域时( )
A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大
B．探测器运行的轨道半径将变大
C．探测器运行的速率将变大
D．探测器运行的速率将变小
解析：选 AC 探测器在飞越月球上一些环形山中央的质量密集区上空时，月球的重心
上移，探测器轨道半径减小，根据 F＝GMm
r2 ，探测器受到的月球对它的万有引力将变大，
故 A 正确，B 错误；根据万有引力提供向心力 GMm
r2 ＝mv2
r ，解得 v＝ GM
r ，r 减小，则 v
增大。故 C 正确，D 错误。
10.(2016·天津高考)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞
船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，
为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两
者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两
者速度接近时实现对接
解析：选 C 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万
有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项 A 错误；同理，空间实验
室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心
运动，也不能实现对接，选项 B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船
做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项 C 正确；当飞船在比空间实验室半径
小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项 D 错误。
对点训练：宇宙多星模型
11.(多选)(2017·聊城模拟)如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的
三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为 R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均 为
M，万有引力常量为 G，则( )
A．甲星所受合外力为5GM2
4R2
B．乙星所受合外力为GM2
R2
C．甲星和丙星的线速度相同
D．甲星和丙星的角速度相同
解析：选 AD 甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F甲＝GM2
R2 ＋GM2
(2R)2
＝
5GM2
4R2 ，A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为 0，B
错误；由于甲、丙位于同一直线上，甲、丙的角速度相同，由 v＝ωR 可知，甲、丙两星的线
速度大小相同，但方向相反，故 C 错误，D 正确。
12．(多选)(2017·永州三模)如图所示，两星球相距为 L，质量比为 mA∶mB＝1∶9，两星
球半径远小于 L。从星球 A 沿 A、B 连线向 B 以某一初速度发射一探测器。只考虑星球 A、
B 对探测器的作用，下列说法正确的是( )
A．探测器的速度一直减小
B．探测器在距星球 A 为L
4处加速度为零
C．若探测器能到达星球 B，其速度可能恰好为零
D．若探测器能到达星球 B，其速度一定大于发射时的初速度
解析：选 BD 探测器从 A 向 B 运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的
速度先减小后增大，故 A 错误；当探测器合力为零时，加速度为零，则有：GmmA
rA2 ＝GmmB
rB2 ，
因为 mA∶mB＝1∶9，则 rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球 A 的距离为 x＝L
4，故 B 正确；探
测器到达星球 B 的过程中，由于 B 的质量大于 A 的质量，从 A 到 B 万有引力的总功为正功，
则动能增加，所以探测器到达星球 B 的速度一定大于发射时的初速度，故 C 错误，D 正确。
考点综合训练
13.2014 年 10 月 24 日，“嫦娥五号”T1 试验器发射升空，为计
划于 2017 年左右发射的“嫦娥五号”探路，并在 8 天后以“跳跃式返
回技术”成功返回地面。“跳跃式返回技术”指航天器在关闭发动机后进
入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气
层。如图所示，虚线为大气层的边界。已知地球半径为 R，地心到 d
点距离为 r，地球表面重力加速度为 g。下列说法正确的是( )
A．“嫦娥五号”在 b 点处于完全失重状态
B．“嫦娥五号”在 d 点的加速度小于gR2
r2
C．“嫦娥五号”在 a 点速率大于在 c 点的速率
D．“嫦娥五号”在 c 点速率大于在 e 点的速率
解析：选 C “嫦娥五号”沿 abc 轨迹做曲线运动，曲线运动的合力指向曲线弯曲的内
侧，所以在 b 点合力向上，即加速度向上，因此“嫦娥五号”在 b 点处于超重状态，故 A 错
误；在 d 点，“嫦娥五号”的加速度 a＝
GMm
r2
m ＝GM
r2 ，又 GM＝gR2，所以 a＝gR2
r2 ，故 B 错
误；“嫦娥五号”从 a 点到 c，万有引力不做功，由于大气阻力做负功，则 a 点速率大于 c
点速率，故 C 正确；从 c 点到 e 点，没有大气阻力，机械能守恒，则 c 点速率和 e 点速率相
等，故 D 错误。
14．(多选)(2017·安徽六校教育研究会质检)如图 1 是 2015 年 9 月 3 日北京天安门大阅兵
我军展示的东风41 洲际弹道导弹，它是目前我国军方对外公布的战略核导弹系统中的最先
进系统之一。如图 2 所示，从地面上 A 点发射一枚中远程地对地导弹，在引力作用下沿 ACB
椭圆轨道飞行击中地面目标 B，C 为轨道的远地点，距地面高度为 h。已知地球半径为 R，
地球质量为 M，引力常量为 G，不计空气阻力。下列结论中正确的是( )
A．导弹在运动过程中只受重力作用，做匀变速曲线运动
B．导弹在 C 点的加速度等于 GM
(R＋h)2
C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点
D．导弹从 A 点到 B 点的时间可能比近地卫星的周期小
解析：选 BCD 导弹在运动过程中所受重力的方向一直在变，不是做匀变速曲线运动，
故 A 错误；导弹在 C 点受到的万有引力 F＝G Mm
(R＋h)2
，所以 a＝F
m＝ GM
(R＋h)2
，故 B 正确；导
弹沿椭圆轨道运动，地球球心位于椭圆的焦点上，故 C 正确；导弹的轨迹长度未知，运动时
间可能小于近地卫星的周期，故 D 正确。
15．(多选)(2017·淄博诊考)为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在 2050
年前建造成太空升降机，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开
绳，升降机能到达地球上，科学家可以控制卫星上的电动机把升降机拉到卫星上。已知地球
表面的重力加速度 g＝10 m/s2，地球半径 R＝6 400 km，地球自转周期为 24 h。某宇航员
在地球表面测得体重为 800 N，他随升降机沿垂直地面方向上升，某时刻升降机加速度为 10
m/s2，方向竖直向上，这时测得此宇航员的体重为 850 N，忽略地球公转的影响，根据以上
数据( )
A．可以求出升降机此时所受万有引力的大小
B．可以求出此时宇航员的动能
C．可以求出升降机此时距地面的高度
D．如果把绳的一端搁置在同步卫星上，可知绳的长度至少有多长
解析：选 CD 因为不知道升降机的质量，所以求不出升降机所受的万有引力，故 A 错
误；根据地球表面宇航员的体重 G 宇＝800 N 和地球表面重力加速度 g＝10 m/s2，可知宇航员
的质量为 m＝G宇
g ＝80 kg。由于升降机不一定做匀加速直线运动，不能由运动学公式 v2＝2ah
求出此时宇航员的速度 v，则不能求得宇航员的动能，故 B 错误；根据牛顿第二定律：N－
mg′＝ma，求出重力加速度 g′，再根据万有引力等于重力：G Mm
(R＋h)2
＝mg′，可求出高
度 h，故 C 正确；根据万有引力提供向心力：G Mm
(R＋h)2
＝m(R＋h)·(
2π
T )2，GM＝gR2，可
求出同步卫星离地面的高度，高度等于绳的最小长度，故 D 正确。
[真题集训· 章末验收] 高考真题集中演练——把脉命题规律和趋势
题点一：抛体运动
1.(2010·全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为 θ 的斜面上
时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示。小球在竖直
方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
A．tan θ B．2tan θ
C. 1
tan θ D. 1
2tan θ
解析：选 D 小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位
移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上时的速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平
方向夹角为π
2－θ，由平抛运动结论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与
水平方向夹角正切值的 2 倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比
为 1
2tan(
π
2－θ )＝ 1
2tan θ，D 项正确。
2．(多选)(2012·全国卷Ⅰ)如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖
直方向。图中画出了从 y 轴上沿 x 轴正向抛出的三个小球 a、b 和 c
的运动轨迹，其中 b 和 c 是从同一点抛出的。不计空气阻力，则
( )
A．a 的飞行时间比 b 的长
B．b 和 c 的飞行时间相同
C．a 的水平速度比 b 的小
D．b 的初速度比 c 的大
解析：选 BD 平抛运动在竖直方向上的分运动为自由落体运动，由 h＝1
2gt2 可知，飞行
时间由高度决定，hb＝hc>ha，故 b 与 c 的飞行时间相同，均大于 a 的飞行时间，A 错，B 对；
由题图可知 a、b 的水平位移满足 xa>xb，由于飞行时间 tb>ta，根据 x＝v0t 得 v0a>v0b，C 错；
同理可得 v0b>v0c，D 对。
3．(2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别
为 L1 和 L2，中间球网高度为 h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧
不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h。不计空气的作用，重力加速度大小为
g。若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧
台面上，则 v 的最大取值范围是( )
A.L1
2 g
6h