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- 2021-04-22 发布
2
.
1
函数及其表示
-
2
-
-
3
-
知识梳理
考点自测
1
.
函数与映射的概念
数集
集合
任意
数
x
都有唯一确定
数
f
(
x
)
任意
元素
x
都有唯一确定
元素
y
f
:
A
→
B
f
:
A
→
B
-
4
-
知识梳理
考点自测
2
.
函数的有关概念
(1)
函数的定义域、值域
在函数
y=f
(
x
),
x
∈
A
中
,
x
叫作自变量
,
叫作函数的定义域
;
与
x
的值相对应的
y
值叫作函数值
,___________________
叫作函数的值域
,
显然
,
值域是集合
B
的子集
.
(2)
函数的三要素
:
、
和
.
3
.
函数的表示方法
表示函数的常用方法有
、
和
.
4
.
分段函数
若函数在其定义域内
,
对于
的不同取值区间
,
有着不同的对应关系
,
这样的函数通常叫作分段函数
.
分段函数是一个函数
,
分段函数的定义域是各段定义域的
,
值域是各段值域的
.
x
的取值范围
A
函数值的集合
{
f
(
x
)
|x
∈
A
}
定义域
值域
对应关系
解析法
图像法
列表法
定义域内
并集
并集
-
5
-
知识梳理
考点自测
1
.
映射
:(1)
映射是函数的推广
,
函数是特殊的映射
,
A
,
B
为非空数集的映射就是函数
;
(2)
映射问题允许多对一
,
但不允许一对多
.
2
.
判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致
.
3
.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集
,
其值域等于各段函数的值域的并集
,
分段函数虽由几部分组成
,
但它表示的是一个函数
.
4
.
与
x
轴垂直的直线和一个函数的
图像
至多有
1
个交点
.
-
6
-
知识梳理
考点自测
5
.
函数定义域的求法
-
7
-
知识梳理
考点自测
1
.
判断下列结论是否正确
,
正确的画
“
√
”,
错误的画
“
×
”
.
(1)
函数是其定义域到值域的映射
.
(
)
(2)
函数
y=f
(
x
)
的
图像
与直线
x=
1
有两个交点
.
(
)
(3)
定义域相同
,
值域也相同的两个函数一定是相等函数
.
(
)
(4)
二次函数
y=x
2
-
1
的值域可以表示为
{
y|y=x
2
-
1,
x
∈
R
},
即为
{
y|y
≥
-
1}
.
(
)
(5)
分段函数是由两个或几个函数组成的
.
(
)
√
×
×
√
×
-
8
-
知识梳理
考点自测
D
解析
:
由
4
-x
2
≥
0,
得
A=
[
-
2,2]
.
由
1
-x>
0,
得
B=
(
-∞
,1),
故
A
∩
B=
[
-
2,1)
.
故选
D
.
C
解析
:
由题中表格知
g
(3)
=
1,
故
f
(
g
(3))
=f
(1)
=
3
.
-
9
-
知识梳理
考点自测
4
∴
f
(3)
=f
(9)
=
1
+
log
6
9,
f
(4)
=
1
+
log
6
4,
∴
f
(3)
+f
(4)
=
2
+
log
6
9
+
log
6
4
=
2
+
log
6
36
=
2
+
2
=
4
.
-
10
-
知识梳理
考点自测
5
.
如图表示的是从集合
A
到集合
B
的对应
,
其中
是映射
,
是函数
.
(
只填序号
)
①②④
①②
解析
:
函数与映射都要求对于集合
A
中的任一元素在集合
B
中都有唯一确定的元素与之对应
,
所以
③
不是映射也不是函数
;
①②④
表示的对应是映射
;
①②
是函数
,
由于
④
中的集合
A
,
B
不是数集
,
所以不是函数
.
-
11
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
函数的基本概念
例
1
以下给出的同组函数中
,
表示同一函数的有
.
(
只填序号
)
f
2
(
x
):
③
f
1
(
x
):
y=
2
x
,
f
2
(
x
):
如图所示
.
②③
-
12
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
解析
:
①
不是同一函数
.f
1
(
x
)
的定义域为
{
x
∈
R
|x
≠0},
f
2
(
x
)
的定义域为
R
.
②
是同一函数
,
x
与
y
的对应关系完全相同且定义域相同
,
它们是同一函数的不同表示方式
.
③
是同一函数
.
理由同
②
.
-
13
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
思考
怎样判断两个函数是同一函数
?
解题心得
两个函数是否表示同一函数
,
取决于它们的定义域和对应关系是否相同
,
只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时
,
它们才表示同一函数
.
另外
,
函数的自变量习惯上用
x
表示
,
但也可以用其他字母表示
,
如
:
f
(
x
)
=
2
x-
1,
g
(
t
)
=
2
t-
1,
h
(
m
)
=
2
m-
1
均表示同一函数
.
-
14
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
对点训练
1
(1)
下列四个
图像
中
,
是函数
图像
的是
(
)
A.
①
B.
①③④
C.
①②③
D.
③④
(2)
在下列函数中
,
与函数
y=x
相等的是
(
)
B
B
-
15
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
(3)(2017
福建厦门一模
,
文
3)
如图
,
函数
f
(
x
)
的
图像
是折线段
ABC
,
其中
A
,
B
,
C
的坐标分别为
(0,4),(2,0),(6,4),
则
f
(1)
+f
(3)
=
(
)
A.3 B.0
C.1 D.2
A
解析
:
(1)
①③④
图像
中的每一个
x
的值对应唯一的
y
值
,
因此都是函数
图像
;
②
,
当
x>
0
时
,
每一个
x
的值对应两个不同的
y
值
,
因此不是函数
图像
.
故选
B
.
(2)
观察选项中化简后的函数的对应关系及定义域是否和函数
y=x
相同
,
易得答案为
B
.
(3)
由题中函数
f
(
x
)
的
图像
可得
,
f
(1)
=
2,
f
(3)
=
1,
故
f
(1)
+f
(3)
=
3,
故选
A
.
-
16
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
求函数的定义域及函数值
A
D
-
17
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
18
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
思考
已知函数解析式
,
如何求函数的定义域
?
解题心得
1
.
函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合
,
求解时
,
把自变量的限制条件列成一个不等式
(
组
),
不等式
(
组
)
的解集就是函数的定义域
,
解集要用集合或者区间表示
.
2
.
由实际问题求得的函数的定义域
,
除了要考虑函数解析式有意义外
,
还要使实际问题有意义
.
-
19
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
对点训练
2
(2017
山东淄博月考
)
函数
的定义域是
(
)
A.(0,2) B.(0,1)
∪
(1,2)
C.(0,2] D.(0,1)
∪
(1,2]
D
-
20
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
求函数的解析式
-
21
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
22
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
23
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
思考
求函数解析式有哪些基本的方法
?
解题心得
函数解析式的求法
(1)
待定系数法
:
若已知函数的类型
(
如一次函数、二次函数
),
可用待定系数法
;
(2)
换元法
:
已知复合函数
f
(
g
(
x
))
的解析式
,
可用换元法
,
此时要注意新元的取值范围
;
(3)
方程法
:
已知关于
f
(
x
)
与
或
f
(
-x
)
的表达式
,
可根据已知条件再构造出另外一个等式
,
与其组成方程组
,
通过解方程组求出
f
(
x
);
提醒
:
由于函数的解析式相同
,
定义域不同
,
则为不相同的函数
,
因此求函数的解析式时
,
如果定义域不是
R
,
一定要注明函数的定义域
.
-
24
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
B
2
x+
7
-
25
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
26
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
分段函数
(
多考向
)
考向
1
求分段函数的函数值
思考
求分段函数的函数值如何选取函数的解析式
?
-
27
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
考向
2
由分段函数构成的等式求参数的值
C
思考
求含有参数的分段函数的函数值如何选取函数的解析式
?
-
28
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
考向
3
由分段函数构成的不等式求自变量的取值范围
思考
如何选取由分段函数构成的不等式中函数的解析式
?
-
29
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
解题心得
分段函数问题的求解策略
:
(1)
分段函数的求值问题
,
应首先确定自变量的值属于哪个区间
,
然后选定相应的解析式代入求解
.
(2)
对求含有参数的自变量的函数值
,
如果不能确定自变量的范围
,
应采取分类讨论
.
(3)
解由分段函数构成的不等式
,
一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论
.
-
30
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
log
3
2
2
x|x
≤
-
2
或
x
≥
1
或
x=
0}
-
31
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
32
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
33
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
34
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
-
35
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
思想方法
——
如何求抽象函数的定义域
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数
,
与其有关的问题对同学们来说具有一定难度
,
特别是求其定义域时
,
许多同学解答起来总感觉棘手
,
在高考中一般不会单独考查
,
但从提升能力方面考虑
,
还应有所涉及
.
-
36
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
典例
若函数
y=f
(
x
)
的定义域是
[1,2 018],
则函数
的定义域是
(
)
A.[0,2 017]
B.[0,1)
∪
(1,2 017]
C.(1,2 018]
D.[
-
1,1)
∪
(1,2 017]
点拨
先利用换元法求出函数
f
(
x+
1)
的定义域
,
则函数
g
(
x
)
的定义域为
f
(
x+
1)
的定义域与不等式
x-
1≠0
的解集的交集
.
答案
:
B
-
37
-
考点一
考点二
考点三
学科素养微专题
考点四
解析
:
要使函数
f
(
x+
1)
有意义
,
则有
1
≤
x+
1
≤
2
018,
解得
0
≤
x
≤
2
017,
故函数
f
(
x+
1)
的定义域为
[0,2
017]
.
解得
0
≤
x<
1
或
1