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- 2021-04-22 发布
四川省宜宾市第四中学2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试题
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．已知集合A＝{﹣3，1}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝
A．{1} B．（﹣3，1） C．{﹣3，1} D．（﹣3，3）
2．＝
A．﹣3﹣i B．3﹣i C．3+i D．﹣3+i
3.右图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5名同学在一次数学小测试中的选择题总
成绩（每道题5分，共8道题）．已知两组数据的中位数相同，则m的值为
A、0 B、2 C、3 D、5
4.“a＝b＝1”是“直线ax－y+1＝0与直线x－by－1＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.直线l：x＋y－2＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，O是坐标原点，则∠AOB等于
A、 B、 C、 D、
6.下列判断正确的是
A.“”是“”的充分不必要条件
B.函数的最小值为2
C.当时，命题“若,则”的逆否命题为真命题
D.命题“,”的否定是“,”
7.已知函数,若,,,则的大小关系是
A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
8.在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中,已知M是棱BB1的中点,N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为
A. B. 1 C. D.
9.为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的名学生中选派名学生参加，且当这名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（ ）
A． B． C. D．
10.在的展开式中，项的系数等于，则等于（ ）
A． B． C. D．
11．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，，则三棱锥的体积为
A. B. C. D.
12．若关于的不等式≤成立，则的最小值是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题,满分20分。
13.已知双曲线的右焦点为,则点到双曲线的一条渐近线的距离为_____.
14．已知实数x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值为 ．
15．若f（x)＝，则满足不等式f()十f(2)＞0的x的取值范围是 ．
16．已知直线与抛物线交于两点，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，为坐标原点，若，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）
在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程是（θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线θ＝与直线l交于点M，与曲线C交于P，Q两点，已知
｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求t的值。
18..设函数,曲线过,且在点处的切线斜率为.
（1）求的值;
（2）证明: .
19.（本大题满分12分）
“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的人（男、女各人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步量
性别
0~2000
2001~5000
5001~8000
8001~10000
>10000
男
1
2
3
6
8
女
0
2
10
6
2
（1）已知某人一天的走路步数超过步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
积极型
懈怠型
总计
男
女
总计
附：，
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
（2）若小王以这位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选人，其中每日走路不超过步的有人，超过步的有人，设，求的分布列及数学期望.
20．（本大题满分12分）
如图，四边形是菱形，平面，，平面，是中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，
求二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知F1、F2分别为椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点,且离心率为，点椭圆C上。
(1)求椭圆C的方程；
(2) 是否存在斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由。
22.（本小题满分12分）
已知
(1)求的单调区间;
(2)设，为函数的两个零点，求证：.
理科数学试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1.A 2.C 3.D 4.A 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 10.A 11.D 12.D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.1 14.4 15． 16.
三．解答题
17解：（1）由曲线C的参数方程，可得曲线C的普通方程为，
即． ……………………………………………………… 2分
∵ ，，
故曲线C的极坐标方程为． ………………………4分
（2）将代入中，得，则．
∴ |OM|=． ………………………………………………………6分
将代入中，得．
设点P的极径为，点Q的极径为，则．
所以|OP||OQ|=5． …………………………………………………………… 9分
又|OM||OP||OQ|=10，则5=10．
∴ t=或． ………………………………………………………10分
18解：（1）. . ……………………2分
由已知条件得即……………………4分
解得.……………………5分
（2） 的定义域为,
由1知.
设,则
. ……………………7分
当时, ;当时, .……………………8分
所以在单调递增,在单调递减. ……………………10分
而,故当时, ,即.……………………12分
19.解：（1）
积极型
懈怠型
总计
男
14
6
20
女
8
12
20
总计
22
18
40
故没有95%以上的把握认为二者有关；……………………6分
（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过步的概率为，超过步的概率为，且当或时，，；当，或，时，，；当，或，时，，……………………10分
即的分布列为：
……………………11分
.……………………12分
20.(1) 证明：设连接
是菱形，是的中点
是中点， ，
平面 平面
平面，平面平面
平面，平面，
平面平面
平面 ……………………6分
(2) 由(Ⅰ)知
底面，， 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，设，
，则
设平面的法向量得，可取
……………………10分
……………………11分
二面角的余弦值 ……………………12分
21.解：(1) 由已知得：，，结合，可解得： ，……………………4分
……………………6分
由已知直线F2M与F2N的倾斜角互补,
得 ……………………8分
化简,得
整理得 …………………………………………10分
直线MN的方程为, ……………………11分
因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)……………………12分
22.解：（1）∵，∴……………………1分
当时，∴，……………………2分
即的单调递增区间为，无减区间；……………………3分
当时，∴，……………………4分
由，得，
时，，
时，，……………………5分
∴时，易知的单调递增区间为，
单调递减区间为，……………………6分
（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，
不妨设，由条件知，即
构造函数，与图象两交点的横坐标为
由可得
而，∴
知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可知
欲证，只需证，即证，
考虑到在上递增，只需证
由知，只需证
令，
则
，
所以为增函数，又，
结合知，即成立，
即成立.……………………12分