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- 2021-04-22 发布
内蒙古赤峰市宁城县 2018-2019 学年度上学期期末素质测试
试卷
高二数学（理科卷）
（全卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟）
注意事项：
1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）
1．已知集合 { }2 2 3 0|P x x x= - - ³ ， { }2 4| ＜ ＜Q x x= ，则 QP
（A） 32， （B） 43， （C） 21， （D） 31，
2. 下列选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是( )
（A）p：x＝1，q：x2＝x （B）p：|a|＞|b|，q：a2＞b2
（C）p：a＋c＞b＋d，q：a＞b 且 c＞d （D）p：x＞a2＋b2，q：x＞2ab
3．在等比数列{an}中，a3＝7，前 3 项之和 S3＝21，则公比 q 的值为
（A） 1
2
（B） 1
2
（C）1 或 1
2
（D）1 或 1
2
4．曲线 lny x x 在 1x 处的切线方程为
(A) 1y x (B) 2 2y x (C) y x (D) 1y x
5．已知|a|＝1，|b|＝2，a·(b－a)＝0，则向量 a 与 b 的夹角为( )
（A）π
6 （B）π
4 （C）π
3 （D）π
2
6．曲线
2 2
125 9
x y 与曲线
2 2
125 9
x y
k k
（k<9）的
（A）长轴长相等 （B）焦距相等 （C）短轴长相等 （D）离心率相等
7．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若S4
12
－S3
9
＝1，则公差 d 为
（A）2 （B）4 （C）5 （D）6
8．设 F 为抛物线 2: 4C y x 的焦点，过 F 作倾斜角为 60°的直线交曲线 C 于 A，B，则|AB|=
（A）8 （B） 8
3
（C）16 （D）16
3
9. 如图是函数 y＝f(x)的导函数 ( )y f x＝ 的图象，则下面判断正确的是
（A）在(－2，1)上 f(x)是增函数
（B）在(1，3)上 f(x)是减函数
（C）当 x＝2 时，f(x)取极大值
（D）当 x＝4 时，f(x)取极大值
10．用一个平面去截正方体，则截面的形状可以是：①直角三角形；②正五边形；③正六边
形；④梯形.正确结论的序号为
（A）②③ （B）③④ （C）①②③ （D）②③④
11．已知 A(-1,0),B 是圆 2 2: 2 11 0F x x y （F 为圆心）上一动点，线段 AB 的垂直
平分线交 BF 于点 P，则动点 P 的轨迹方程为
（A）
2 2
13 2
x y （B）
2 2
136 35
x y （C）
2 2
13 2
x y （D）
2 2
112 11
x y
12.设函数 f(x)(x∈R)是奇函数,其导函数为 /f x ，f(－1)＝0，当 x>0 时，
( ) ( ) 0xf x f x － ，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是
(A)(－∞，－1)∪(0，1) (B)(－1，0)∪(1，＋∞)
(C)(－∞，－1)∪(－1，0) (D)(0，1)∪(1，＋∞)
2018-2019 学年度上学期期末素质测试试卷
高二数学（理科卷）
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，满分 20 分）
13．已知 ABC 中， 2AB ， 45C ，则 ABC 外接圆的半径为_________.
14.若 yx、 满足约束条件 ，
04
0
01
yx
yx
x
则
x
y 的最大值是________.
15.在数列 na 中，已知 1 1a ， 1
1
1 n
n
a a
，记 Sn 为数列 na 的前 n 项和，则 S2019＝ .
16. 如图，树顶 A 离地面 9.5 米，树上另一点 B 离地面 3.5 米，欲使小明从离地面 1.5 米处（即
点 C 距离地面 1 米）看 A，B 两点的视角最大，则他应离此树
______米．
三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）
17. （本题满分 10 分）
在 ABCD 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a（2 - c）cosB= bcosC .
（1）求角 B；
（2）若 ABCD 的面积为 3 ， 2 6a c+ = ，求 A Csin sin 的值.
18.（本题满分 12 分）
设{ }na 是公比为正数的等比数列，若 a1=2，且 2a2，a3，8 成等差数列.
(1)求{ }na 的通项公式；
（2）设 2
2n
n na b n n= +
，求证：数列{ }nb 的前 n 项和 1nT < .
19.（本题满分 12 分）
某渔业公司年初用 81 万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为 1 万元，以后每年都增加 2
万元，每年捕鱼收益 30 万元.
（1）问第几年开始获利？
（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以 46 万元出售该渔船；
方案二：总纯收入获利最大时，以 10 万元出售该渔船.问：哪一种方案合算？请说明理由.
20. （本题满分 12 分）
已知直线 l 与抛物线 2: 2C y x 交于点 A，B 两点，与 x 轴交于点 M，直线 OA，OB
的斜率之积为 1
2
.
(1)证明：直线 AB 过定点；
(2)以 AB 为直径的圆 P 交 x 轴于 E，F 两点，O 为坐标原点，求 OE OF 的值.
21．（本题满分 12 分）
在四棱锥 E-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，AE⊥平面 CDE.已知 AE=DE=2，F 为线段 DE
的中点.
(1)求证:CD⊥平面 ADE；
(2)求二面角 C-BD-E 的平面角的的余弦值.
22．（本题满分 12 分）
已知函数 ( ) sin cosf x x x x ， [0, ]2x .
（1）求证： ( ) 0f x ；
（2）若 sin xa bx
在 (0, )2
上恒成立，求 a 的最大值与b 的最小值.
2018-2019 学年度上学期期末素质测试试卷
高二数学（理科卷）参考答案
一、选择题：BCDA CBDD CBAA
二、填空题：13、 ；14、3；15、 （等价答案 ）；16、4 米.
三、（注：以下各题每步得分为累计得分）
17．
20．解：(1)设直线 ，A(x1，y1)，B(x2，y2)
由 消去 得， ----------------1 分
--------------------------2 分
， 则 ，--------------------4 分
那么 满足Δ=4m2+8n>0
即 ，即 AB 过定点(4，0),----------------------6 分
(2)∵以 为直径端点的圆的方程为
------8 分
设 ，则 是方程
即 的两个实根----------------10 分
∴有 -----------------11 分
∴ .--------------------------12 分
21.解：(Ⅰ) 平面 ， 平面 ，
，
为正方形， ，
平面 ，
平面
(Ⅱ) 平面 ， ------4 分
以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ， -----------------6 分
平面 ， 平面 ，
，
为正方形， ，
由 为正方形可得： ，
设平面 的法向量为
，
由 ，令 ，则
设平面 的法向量为 ，
，
由 ，令 ，则 ，
---------------8 分
设二面角 的平面角的大小为 ，则
二面角 的平面角的余弦值为
-----------------12 分
22. 解：(1)证明：由 f(x)＝sin x－xcos x 得
f′(x)＝cos x+xsin x－cos x＝xsin x. ――――――――――――2 分
因为在区间
π
2 上 f′(x)＝xsin x>0，所以 f(x)在区间
π
2 上单调递增．―――3 分
从而 f(x)≥f(0)＝0.――――――――――――4 分
(2)∵ ∴“
sin x
x >a”等价于“sin x－ax>0”，
“
sin x
x 0 对任意 x∈
π
2 恒成立． ――――――――6 分
当 k≥1 时，∵对任意 x∈
π
2 ，g′(x)＝cos x－k<0，
∴g(x)在区间
π
2 上单调递减，
从而 g(x)g(0)＝0.
要使“g(x)>0 对任意 x∈
π
2 恒成立”当且仅当 g
π
2 ＝1－
π
2 k≥0，即 00 对任意 x∈
π
2 恒成立；当且仅当 k≥1 时，g(x)<0
对任意 x∈
π
2 恒成立．
所以，若 a<
sin x
x