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- 2021-04-22 发布
高一数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据集合中的元素，依次检验四个选项即可.
【详解】由题：集合，所以，，，
是一个集合，应该.
故选：A
【点睛】此题考查元素与集合的关系，容易混淆概念，元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系.
2.观察下图所示的“集合”的知识结构图，把“①描述法，②包含关系，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ③①② C. ②③① D. ①③②
【答案】A
【解析】
【分析】
根据结构图结合集合、集合的基本关系、集合的运算等相关知识进行判断可得答案.
【详解】解：因集合的表示包括两种：列举法和描述法，故M处为①；
集合的基本关系包括；包含和相等，故M处为②；
集合之间的交、并和补集属于集合的运算，故P为③；
故选A.
【点睛】本题考查集合的知识网络和结构图.其中集合的表示包括两种：列举法和描述法；集合的基本关系包括；包含和相等；集合之间的交、并和补集属于集合的运算，对于结构图问题，需要掌握所涉及的部分有哪些主要的知识模块，它们之间是何关系.
3.函数与的图象（ ）
A. 关于原点对称 B. 关于轴对称 C. 关于轴对称. D. 关于直线对称
【答案】D
【解析】
试题分析：同底数的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称.
考点：本题考查互为反函数的两个函数的图象的性质．
点评：对于此类题目，学生应该掌握如何判断两个函数是否为反函数，而且互为反函数的两个函数图象关于直线对称.
4.如图所示，C1，C2，C3为三个幂函数y＝xk在第一象限内的图像，则解析式中指数k的值依次可以是（ ）
A. －1，，3 B. －1，3，
C. ，－1，3 D. ，3，－1
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，根据幂函数的图象与性质可知，，所以解析式中指数的值依次可以是，故选A．
考点：幂函数的图象与性质．
5.若，，则
A. 11 B. 13 C. 30 D. 40
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中，，我们根据指数式与对数式的转化方法，可得，，进而根据指数的运算性质，，，可计算出的值．
【详解】，，
，
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是对数的运算性质，及指数的运算性质，其中根据指数式与对数式的转化方法，将已知转化为，，将问题转化为指数运算，是解答本题的关键．
6.已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
偶函数定义域必关于原点对称，且即可求解.
【详解】由题：定义域为，所以，且解得：，
又对任意，
，恒成立，
即恒成立，
即恒成立，得：，
所以.
故选：C
【点睛】此题考查函数奇偶性概念辨析，判断函数奇偶性，必须定义域关于原点对称，再讨论关系方可求解.
7.已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（ ）
A. （0，1） B. （-1，-1） C. （-1，1） D. （1，-1）
【答案】B
【解析】
【分析】
当，即时，所以定点为（-1，-1）
【详解】当，即时，所以定点为（-1，-1）
考点：指数函数性质
8.根据表格中的数据， 可以判定函数的一个零点所在的区间为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数，满足.
由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.
故选D.
点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.
9.下列函数中，值域为的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数函数对数函数幂函数性质依次检验即可求解.
【详解】根据指对幂函数性质：
，值域为；
，值域为；
，值域为；
，值域为.
故选：C
【点睛】此题考查指数函数对数函数幂函数的图象性质，熟记函数图象对于解题能起到事半功倍作用.
10.已知函数,则（ ）
A. -1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式，依次求值即可求解.
【详解】由题：，所以，
所以.
故选：D
【点睛】此题考查分段函数求值，关键在于读懂题意，正确判定所求自变量取值在哪一个区间，易错点在于判错范围用错解析式，导致求值错误.
11.函数y＝的定义域是 ( )．
A. [－，－1)∪(1，] B. (－，－1)∪(1，)
C. [－2，－1)∪(1,2] D. (－2，－1)∪(1,2)
【答案】A
【解析】
∵⇔⇔⇔⇔－≤x＜－1或1＜x≤.∴y＝的定义域为[－，－1)∪(1，]．
12.函数为定义在上的偶函数，且满足，当 时，则（ ）
A. -1 B. C. 2 D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，可得函数周期为2，
结合解析式可求得
【详解】由题：，必有，
所以，即函数周期，
当 时，
则.
故选：C
【点睛】此题考查函数周期性的辨析，对函数的代换要求较高，需要在平常的学习中积累常见函数周期的特征，另外，此题作为填空题，可以考虑计算出特殊值依次观察规律猜测周期，大题慎用.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.求值： ________
【答案】
【解析】
由题意结合对数、指数的运算法则有：
.
14.函数定义域为________________．
【答案】
【解析】
【分析】
要使函数有意义应满足：且，解不等式即可
【详解】要使函数有意义应满足：且，所以函数的定义域为．
考点：函数的定义域．
15.已知函数，若，则实数的值等于__________．
【答案】
【解析】
由题意知，，又，故．
答案：2
16.如果二次函数 在区间 上是减函数，那么 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
在区间 上是减函数，则 ，所以 .
三.解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知集合， ，求A∩B，A∪B
【答案】,
【解析】
【分析】
先对集合进行化简，然后与集合分别取交集和并集即可．
【详解】由题得：集合，而集合，
所以，.
【点睛】本题考查了集合的交集与并集，以及不等式的求解运算，属于基础题．
18.计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）12；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据指数幂性质化简每一个指数幂即可计算；
（2）根据指数幂乘积的运算性质依次化简求值即可得解.
【详解】（1）；
（2）=464
【点睛】此题考查根据指数幂的性质进行指数幂的基本运算，属于基础题，需要熟练掌握运算性质，对计算能力要求较高，考查基本素质.
19.已知函数 ，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上最大值及最小值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进行证明； (Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．
试题解析：(Ⅰ) 设，且,则
∴ ∴，∴
∴
∴，即
∴在上是增函数.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知在上是增函数
∴当时，
∴当时，
综上所述，在上的最大值为，最小值为.
20.已知函数．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1），，；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别将代入对应解析式求值即可；
（2）分别代入解析式解方程，且满足该段取值范围即可.
【详解】（1）∵函数．；，；
（2）当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：；
综上可得：若，则．
【点睛】此题考查分段函数求值和根据函数值求解参数，易错点在于漏掉检验分段函数每段自变量的取值范围.
21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求出函数的解析式.
【答案】.
【解析】
【分析】
设，求出的表达式，利用奇函数的定义得出在
上的解析式，由此可得出函数的解析式.
【详解】当时，，是定义域在上的奇函数，
当时，，，可得，
所以.
【点睛】本题考查奇函数解析式的求解，一般利用奇偶对称法来求解，解题时要熟悉这种方法的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.
22.（1）已知，求的取值范围．
（2）已知求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）根据对数型函数单调性解不等式；
（2）对进行分类讨论，根据对数函数单调性解不等式.
【详解】（1）由，得，解得．的取值范围是；
（2）由，得．
若，则，∴；
若，则，．
综上，的取值范围是．
【点睛】此题考查对数函数基本性质的应用，利用单调性解不等式，要求熟练掌握底数的取值对单调性的影响，本题易错点在于漏掉考虑对数的真数大于零这一隐藏条件，以及第二问漏掉对的讨论.