【数学】2020届一轮复习人教B版　极坐标系作业 6页

‎2020届一轮复习人教B版 　极坐标系 作业 ‎1．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点的坐标是(　　)‎ A.　　　　　　　　B. C. D. 解析：选B　在极坐标系中，描点时，先找到角－的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点.直线θ＝就是极角为的那些点的集合．故M关于直线θ＝对称的点为，但选项中没有此点，还可以写成，故选B.‎ ‎2．点M的直角坐标为(－，－1)，化为极坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　∵点M的直角坐标为(－，－1)，∴ρ＝＝2，又点M位于第三象限，且tan θ＝＝，∴可取θ＝，故选B.‎ ‎3．极坐标系中的点A到圆x2＋y2－2x＝0的圆心的距离为(　　)‎ A．2 B．1‎ C．3 D. 解析：选D　点A的极坐标化为直角坐标为(1，)，圆x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为.‎ ‎4．在复平面内，设点P对应的复数为1＋i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，‎ ‎∵点P的直角坐标为(1,1)，‎ ‎∴ρ＝|OP|＝，θ＝，故选A.‎ ‎5．在极坐标系中，作出下列各点：‎ A，B，C，D，E(4，0)，F(2.5，π)．‎ ‎【解】　各点描点如下图．‎ ‎6．极坐标系中，点A的极坐标是(3，)，求点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．‎ ‎【解】　极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)(k∈Z)，利用此，即可写出其中一个为(3，)．‎ ‎7．已知点M的极坐标为，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M的极坐标．‎ ‎【解】　∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，‎ ‎∴(－2，)与(2，)为同一点的极坐标，故点M的极坐标为(2，)．‎ ‎8．在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A、B，那么顶点C的坐标是多少？‎ ‎【解】　如右图，由题设可知A、B两点关于极点O对称，即O是AB 的中点．‎ 又AB＝4，△ABC为正三角形，OC＝2，∠AOC＝，C对应的极角θ＝＋＝或θ＝－＝－，‎ 即C点极坐标为 或.‎ ‎9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．‎ ‎【解】　如图所示，建立极坐标系，使极点O位于抛物线的焦点处，极轴Ox过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝时，ρ ＝30(万千米)．‎ 彗星此时的极坐标有四种情形：(30，)，(30，)，(30，)，(30，)．‎ ‎10．已知A、B两点的极坐标分别是、，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．‎ ‎【解】　求两点间的距离可用如下公式：‎ AB＝ ‎＝＝2.‎ S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|‎ ‎＝|2×4×sin(－)|＝×2×4＝4.‎ ‎11．已知定点P.‎ ‎(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；‎ ‎(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．‎ ‎【导学号：98990005】‎ ‎【解】　(1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO′＝2，OP＝4，∠POx＝，‎ ‎∠O′Ox＝，‎ ‎∴∠POO′＝.‎ 在△POO′中，‎ ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos ＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵＝，‎ ‎∴sin∠OPO′＝·2＝，‎ ‎∴∠OPO′＝.‎ ‎∴∠OP′P＝π－－＝，‎ ‎∴∠PP′x＝.‎ ‎∴∠PO′x′＝.‎ ‎∴P点的新坐标为(2，)．‎ ‎(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，‎ 则ρ＝4，θ＝＋＝.‎ ‎∴P点的新坐标为(4，)．‎ ‎[能力提升]‎ ‎12．已知△ABC三个顶点的极坐标分别是A，B，C，试判断△ABC的形状，并求出它的面积．‎ ‎【解】　∵C(4，)，∠AOB＝－＝，‎ 且AO＝BO，‎ 所以△AOB是等边三角形，‎ AB＝5，‎ BC＝ ＝，‎ AC＝ ＝，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形，‎ AB边上的高为4＋5×＝，‎ ‎∴S△ABC＝×5×＝.‎