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- 2021-04-22 发布
蚌埠铁路中学2019-2020学年第一学期期中考试
高二数学试卷（理科）
卷面满分：150分 考试时间：120分钟
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列说法中正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
2.直线的倾斜角是( )
A.30° B.120° C.60° D.150°
3．在空间直角坐标系中，点B是点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )
A. B. C．2 D.
4．两直线3x+y﹣3＝0与6x+my+1＝0平行，则它们之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
5．已知α,β为平面，A,B,M,N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
6.给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0
8．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ( )
A．6π B．4π C．33π D．3π
9．已知球的直径SC＝4，A,B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥SABC的体积为( )
A. B. C. D.
10.直三棱柱ABC- A1B1C1，∠BCA=，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
11．动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
12．若对圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1上任意一点P（x，y），|3x﹣4y+a|+|3x﹣4y﹣9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣4 B．﹣4≤a≤6 C．a≤﹣4或a≥6 D．a≥6
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．如图所示，Rt△A'B'C'为水平放置的△ABC的直观图，其中A'C'⊥B'C'，B'O'=O'C'= 1，则△ABC的面积为_________．
14. 已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为，则其体积为 .
15.以原点O为圆心，被直线x﹣y+1＝0所得的弦长为的圆的方程____________．
16．将边长为，有一内角为的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体A-BCD,
点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是
（将正确的命题序号全填上）：
①EF∥AB； ②EF与异面直线AC、BD都垂直；
③当四面体ABCD的体积最大时，AC=6； ④AC垂直于截面BDE.
三.解答证明题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分10分)一几何体按比例绘制的三视图如图(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
18．（本小题满分12分)已知两条直线l1 :3+mx+4y=5-3m,l2:2x+5+my=8. 当m分别为何值时，l1与 l2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？
19.（本小题满分12分)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC．
求证：(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
20.（本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．
求证：(1)AC⊥BC1.(2)AC1∥平面B1CD.
21(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥V－ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.
(1)求证：AB⊥平面VAD；
(2)求平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值的大小．
22．((本小题满分12分)已知：以点Ct,2t为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M,N,若|OM|＝|ON|,求圆C的方程．
高二数学理科答案
一.选择题 CDBD CBAD CABD
二.填空题 （13）2，（14）112，（15）x2+y2＝2，（16）②③④
三.解答题
17(1)直观图如图①.
(2)解法一：由三视图可知该几何体是由长方体截去一个角而得到的，且该几何体的体积是以A1A、A1D1，A1B1为棱的长方体的体积的，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E，如图②，
则四边形AA1EB是正方形，∴AA1＝BE＝1 m.在Rt△BEB1中，BE＝1 m，EB1＝1 m，∴BB1＝ m.
∴几何体的表面积S＝S正方形AA1D1D＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＝1＋2××(1＋2)×1＋1×＋1＋1×2＝(7＋) m2，
几何体的体积V＝×1×2×1＝ m3.
∴该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.
解法二：该几何体可看成以四边形AA1B1B为底面的直四棱柱，其表面积求法同解法一，
V直四棱柱D1C1CD－A1B1BA＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝ m3.
∴该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.
18.解
19.证明：(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC．所以GHBD，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC．所以GHBD，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形，
设两腰EG，FH相交于一点T. 因为EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
20证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，
BC1⊂平面BCC1B1所以AC⊥BC1.
(2)设BC1与B1C的交点为O，连接OD，因为BCC1B1为平行四边形，所以O为B1C的中点，又D是AB的中点，所以OD是△ABC1的中位线，OD∥AC1，又因为AC1⊄平面B1CD，OD⊂平面B1CD，
所以AC1∥平面B1CD.
21 (1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD.∵平面VAD⊥底面ABCD，平面VAD∩底面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB⊂底面ABCD，
∴AB⊥平面VAD.
(2)取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∴AE⊥VD，AE＝AD.∵AB⊥平面VAD，VD⊂平面VAD，∴AB⊥VD.
又AB∩AE＝A，∴VD⊥平面ABE.∵BE⊂底面ABE，∴VD⊥BE，
∴∠ABE就是平面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角．
在Rt△BAE中，tan∠BEA＝＝＝.
∴平面VAD与平面VDB所成的二面角的正切值为.
22．：(1)证明：由题意知圆C过原点O.|OC|2＝t2＋，则圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.
∴S△OAB＝|OA|×|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值．
(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN＝－2，∴kOC＝，∴直线OC的方程为y＝x，∵C在直线OC上，∴＝t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，∴圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，应舍去．