2018届二轮复习（文）转化与化归思想课件（全国通用） 18页

二、转化与化归思想 - 2 - 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位 , 数学问题的解决 , 离不开转化与化归 , 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等 . - 3 - 1 . 转化与化归思想的含义 转化与化归的思想方法 , 就是在研究和解决有关数学问题时 , 采用某种手段将问题通过变换使之转化 , 进而得到解决的一种思想方法 . 2 . 转化与化归的原则 (1) 熟悉化原则 ;(2) 简单化原则 ;(3) 直观化原则 ;(4) 正难则反原则 ;(5) 等价性原则 . 3 . 常见的转化与化归的方法 (1) 直接转化法 ;(2) 换元法 ;(3) 数形结合法 ;(4) 构造法 ;(5) 坐标法 ;(6) 类比法 ;(7) 特殊化方法 ;(8) 等价问题法 ;(9) 补集法 . - 4 - 应用 一 应用二 应用三 应用四 应用一 　 特殊与一般的转化   - 5 - 应用 一 应用二 应用三 应用四 思维升华 1 . 当问题难以入手时 , 应先对特殊情形进行观察、分析 , 发现问题中特殊的数量或关系 , 再推广到一般情形 , 以完成从特殊情形的研究到一般问题的解答的过渡 , 这就是特殊化的化归策略 . 2 . 数学题目有的具有一般性 , 有的具有特殊性 , 解题时 , 有时需要把一般问题化归为特殊问题 , 有时需要把特殊问题化归为一般问题 . - 6 - 应用 一 应用二 应用三 应用四 突破训练 1 在定圆 C : x 2 +y 2 = 4 内过点 P ( - 1,1) 作两条互相垂直的直线与 C 分别交于 A , B 和 M , N , 则 的 取值范围 是 . - 7 - 应用一 应用二 应用三 应用四 应用二 　 命题的等价转化   例 2 若函数 f ( x ) = (1 -x 2 )( x 2 +ax+b ) 的图象关于直线 x=- 2 对称 , 则 f ( x ) 的最大值为 16 　 .  转化一 若只根据 f ( x ) 图象关于直线 x=- 2 对称 , 得零点对称 , 条件转化为 f ( - 1) =f ( - 3) =f (1) =f ( - 5), 解得 a= 8, b= 15, 其余由求导完成 , 恐有因式分解的障碍 . 转化二 由于函数 y=f ( x ) 的图象关于 y 轴对称 , 当 x 取一对相反数时 , 函数值不变 , 将函数 y=f ( x ) 的图象向左平移 2 个单位 , 得函数 y=f ( x+ 2) 的图象关于直线 x=- 2 对称 , 当 ( x+ 2) 取一对相反数时 , 函数值不变 , 于是 , 函数的解析式只能含 ( x+ 2) 的偶次方 . - 8 - 应用一 应用二 应用三 应用四 解析 : ( 法一 ) ∵ 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x=- 2 对称 , ∴ f ( - 1) =f ( - 3) =f (1) =f ( - 5), ∴ f ( x ) =-x 4 - 8 x 3 - 14 x 2 + 8 x+ 15 . 由 f' ( x ) =- 4 x 3 - 24 x 2 - 28 x+ 8 = 0, f ( - 2) = [1 - ( - 2) 2 ][( - 2) 2 + 8 × ( - 2) + 15] =- 3(4 - 16 + 15) =- 9 . - 9 - 应用一 应用二 应用三 应用四 故 f ( x ) 的最大值为 16 . ( 法二 ) 据已知可设 f ( x ) =- ( x+ 2) 4 +m ( x+ 2) 2 +n , 据 f (1) =f ( - 1) = 0, 解出 m= 10, n=- 9, 则 f ( x ) =- ( x+ 2) 4 + 10( x+ 2) 2 - 9 =- [( x+ 2) 2 - 5] 2 + 16, 故最大值为 16 . 思维 升华 将已知条件进行转换 , 有几种转换方法就有可能得出几种解题方法 . - 10 - 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练 2 若关于 x 的方程 9 x + (4 +a )·3 x + 4 = 0 有解 , 则实数 a 的取值范围是 ( -∞ , - 8] 　 .  解析 : ( 法一 ) 设 t= 3 x , 则原命题等价于关于 t 的一元二次方程 t 2 + (4 +a ) t+ 4 = 0 有正解 , 所以 a ≤ - 8, 即实数 a 的取值范围是 ( -∞ , - 8 ] . - 11 - 应用一 应用二 应用三 应用四 ( 法二 ) 设 t= 3 x , 得 t 2 + (4 +a ) t+ 4 = 0 . 所以 a ≤ - 8, 即实数 a 的取值范围是 ( -∞ , - 8 ] . - 12 - 应用一 应用二 应用三 应用四 应用三 　 常量与变量的转化   例 3 已知函数 f ( x ) =x 3 + 3 ax- 1, g ( x ) =f' ( x ) -ax- 5, 其中 f' ( x ) 是 f ( x ) 的导函数 . 对满足 - 1 ≤ a ≤ 1 的一切 a 的值 , 都有 g ( x ) < 0, 则实数 x 的取值 范围 为 .   - 13 - 应用一 应用二 应用三 应用四 解析 : 由题意 , 知 g ( x ) = 3 x 2 -ax+ 3 a- 5, 令 φ ( a ) = (3 -x ) a+ 3 x 2 - 5, - 1 ≤ a ≤ 1 . 对 - 1 ≤ a ≤ 1, 恒有 g ( x ) < 0, 即 φ ( a ) < 0, 思维升华 在处理多变量的数学问题时 , 当常量 ( 或参数 ) 在某一范围取值时 , 求变量 x 的范围时 , 经常进行常量与变量之间的转化 , 即可以选取其中的参数 , 将其看做是变量 , 而把变量看做是常量 , 从而达到简化运算的目的 . - 14 - 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练 3 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数 , 若 f (1 -ax-x 2 ) ≤ f (2 -a ) 对任意 a ∈ [ - 1,1] 恒成立 , 则 x 的取值范围为 ( - 1,3) 　 .  解析 : 因为 f ( x ) 是 R 上的增函数 , 所以 1 -ax-x 2 ≤ 2 -a , a ∈ [ - 1,1] . ( * ) ( * ) 式可化为 ( x- 1) a+x 2 + 1 ≥ 0 对 a ∈ [ - 1,1] 恒成立 . 令 g ( a ) = ( x- 1) a+x 2 + 1, 解得 x ≥ 0 或 x ≤ - 1, 即实数 x 的取值范围是 ( -∞ , - 1] ∪ [0, +∞ ) . - 15 - 应用一 应用二 应用三 应用四 应用四 　 函数、方程与不等式之间的转化   例 4 关于 x 的不等式 x + - 1 -a 2 + 2 a> 0 对 x ∈ (0, +∞ ) 恒成立 , 则实数 a 的取值范围为 ( -∞ , - 1] ∪ [0, +∞ ) 　 .  思维升华 函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系 , 解决方程、不等式的问题需要函数帮助 , 解决函数的问题需要方程、不等式的帮助 , 因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简 , 常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题 ; 将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题 ; 将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题等 . - 16 - 应用一 应用二 应用三 应用四 突破训练 4 已知函数 f ( x ) = 3e |x| . 若存在实数 t ∈ [ - 1, +∞ ), 使得对任意的 x ∈ [1, m ], m ∈ Z , 且 m> 1, 都有 f ( x+t ) ≤ 3e x , 求 m 的最大值 . 解 因为当 t ∈ [ - 1, +∞ ), 且 x ∈ [1, m ] 时 , x+t ≥ 0, 所以 f ( x+t ) ≤ 3e x ⇔ e x+t ≤ e x ⇔ t ≤ 1 + ln x-x. 所以原命题等价转化为 : 存在实数 t ∈ [ - 1, +∞ ), 使得不等式 t ≤ 1 + ln x-x 对任意 x ∈ [1, m ] 恒成立 . 所以函数 h ( x ) 在 [1, +∞ ) 内为减函数 . 又 x ∈ [1, m ], 所以 h ( x ) min =h ( m ) = 1 + ln m-m. 所以要使得对任意 x ∈ [1, m ], t 值恒存在 , 只需 1 + ln m-m ≥ - 1 . - 17 - 应用一 应用二 应用三 应用四 且函数 h ( x ) 在 [1, +∞ ) 内为减函数 , 所以满足条件的最大整数 m 的值为 3 . - 18 - 1 . 在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时 , 没有一个统一的模式 , 它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换 . 2 . 转化与化归思想在解题中的应用 (1) 在三角函数和解三角形中 , 主要的方法有公式的 “ 三用 ”( 顺用、逆用、变形用 ) 、角度的转化、函数的转化、通过正弦、余弦定理实现边角关系的相互转化 . (2) 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时 , 常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化 . (3) 在解决数列问题时 , 常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解 . (4) 在利用导数研究函数问题时 , 常将函数的单调性、极值 ( 最值 ) 、切线问题 , 转化为其导函数 f' ( x ) 构成的方程、不等式问题求解 .