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- 2021-04-22 发布
广西陆川县中学2017年秋季期高三10月月考
理科数学试题
第I卷(选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x｜－x≤0}，B＝{x｜a－1≤x＜a}，若A∩B只有一个元素，则a＝
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．设复数z满足iz＝｜2＋i｜＋2i，则｜z｜＝
A．3 B． C． 9 D．10
3. 已知 为第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4. 若向量 、 满足 ， ，则向量 与 的夹角等于 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知数列{a n }中， ， ，则 等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．-2
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数，则 的最小正周期是（ ）
A．6π B．5π C．4π D．2π
7. 若“ ”是“不等式 成立”的必要而不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为 （ ）
A．2 B． C．1 D．
9. 已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大小关系是 （ ）
A． ＞ ＞ B． ＞ ＞ C． ＞ ＞ D． ＞ ＞
10. 由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．6
11. 在锐角三角形 中， ，则 的取值范围是（ ）
A．（1， ） B．（ ， ） C．（ ，5） D．（ ，5）
12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）
13. 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，a＝3，则b＝ .
14．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.
15．在△ABC中，sinA ：sinB ：sinC＝2 ：3 ：4，则△ABC中最大边所对角的余弦值为___________．
16.已知函数f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数，函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m等于________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、 “小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元
(不足30分钟的部分按30分钟计算)；“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算)．有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次)．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”．
(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．
P
A
B
D
C
18.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.
19. (本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x+a,且当x∈时,f(x)的最小值为2.
(1)求a的值,并求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再将所得图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求方程g(x)=4在区间上所有根之和.
20. (本小题满分12分)设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直.
（1）求的值；
（2）若对任意，都有，求的取值范围.
21. (本小题满分12分)已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，，且对于任意的，，都有成立，求实数的取值范围．
请考生在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。【来源：全,品…中&高*考+网】
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．
（1）将曲线上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线试写出直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点P，使点P到直线的距离最大，并求出此最大值．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的最大值为.
（1）求的值； （2）若，，求的最大值.
理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：1-6 ：C A A D C A；7-12 ：A D D A B A
13.【答案】 2. 14．【答案】
【解析】 由(1＋2ai)i＝1－bi得－2a＋i＝1－bi∴∴∴|a＋bi|＝＝
15. －1/4 16.[答案] －2 [解析] ∵f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m是偶函数， ∴
m2－4＝0，∴m＝±2.
∵g(x)在(－∞，＋∞)内单调递减，∴g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，
则16＋12m≤0，解得m≤－，∴m＝－2.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
解：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为
记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.【来源：全,品…中&高*考+网】
则
答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.................................4分
(Ⅱ)可能取值有2, 2.5， 3, 3.5， 4
； ；
；
................................................................................................................9分
甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为
....................................................................................11分
所以
.....................................12分
18.(本小题满分12分) 解：（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面.
又平面，所以 ………………6分
P
A
B
D
C
M
N
（Ⅱ）解：依题意,知
平面平面，交线为，
过点作，垂足为，则平面.
在平面内过作，垂足为，连,
则⊥平面，所以为二面角
的一个平面角 . ………………9分
∵，,
∴, . ………………10分
又，故. 所以. ………………11分
∴.
即二面角的余弦值为. ………………12分【来源：全,品…中&高*考+网】
19.解 (1)f(x)=2cos2x+2·sin xcos x+a=cos 2x+1+sin 2x+a=2sin+a+1,
∵x∈,∴2x+,
∴f(x)的最小值为-1+a+1=2,解得a=2,
∴f(x)=2sin+3. ………………4分
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). ………6分
(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin+3, ………8分
由g(x)=4可得sin,
∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+(k∈Z), 【来源：全,品…中&高*考+网】
解得x=或x=(k∈Z), ………10分
∵x∈,∴x=或x=,
∴所有根之和为. ………12分
20. 试题解析：（1）曲线在点处的切线斜率为2，所以，
又，即，所以 . ………4分
（2）的定义域为，
，………6分
①若，则，故当时，，在上单调递增.
所以，对任意，都有的充要条件为，即，
解得或 .………8分
②若，则，故当时，；当时，
，在上单调递减，在上单调递增.
所以，对任意，都有的充要条件为，
而在上恒成立，
所以 .………10分
③若，在上递减，不合题意. ………11分
综上，的取值范围是. ………12分
21.解：（1）依题意，，
令，解得，故函数的单调递增区间为．………4分
（2）当，对任意的，都有；
当时，对任意的，都有；
故对恒成立，或对恒成立，
而，设函数，．
则对恒成立，或对恒成立，
， ………7分
①当时，∵,∴，∴恒成立，
∴在上单调递增，，
故在上恒成立，符合题意． ………9分
②当时，令，得，令，得，
故在上单调递减，所以，
而，设函数，，
则，令，则0（）恒成立，
∴在上单调递增，∴恒成立，
∴在上单调递增，∴恒成立，
即，而，不合题意．
综上，故实数的取值范围为. ………12分
22．解（Ⅰ） 由题意知，直线的直角坐标方程为：，………………2分【来源：全,品…中&高*考+网】
∵曲线的直角坐标方程为：，
∴曲线的参数方程为：．………………5分
（Ⅱ） 设点P的坐标，则点P到直线的距离为：
，………………7分
∴当sin（600－θ）=-1时，点P（），此时．………10分
23. (本小题满分10分)
【试题解析】 (1) 由于，………………3分
所以. ………………5分
(2)由已知，有，
因为（当取等号），（当取等号），
所以，即，
故 ………………10分