【数学】2019届文科一轮复习人教A版7-1空间几何体的结构及其三视图和直观图教案 11页

第章　立体几何初步 第一节　空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．‎ ‎(对应学生用书第91页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．简单多面体的结构特征 ‎ (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；‎ ‎ (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；‎ ‎ (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．‎ ‎2．旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 ‎3. 空间几何体的三视图 ‎ (1)三视图的名称 ‎ 几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．‎ ‎ (2)三视图的画法 ‎ ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．‎ ‎ ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．‎ ‎4．空间几何体的直观图 ‎ 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 ‎ (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎ (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．底面是梯形的四棱柱，侧放后易被误认为是四棱台．‎ ‎2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下．‎ S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)‎ ‎ (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)‎ ‎ (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.(　　)‎ ‎ (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)如图711，长方体ABCDA′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)‎ 图711‎ ‎ A．棱台　　　　　　 B．四棱柱 ‎ C．五棱柱 D．简单组合体 ‎ C　[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]‎ ‎3．(2018·兰州模拟)如图712，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ ‎ 【导学号：79170224】‎ ‎ ‎ 图712‎ ‎ A．三棱锥 ‎ B．三棱柱 ‎ C．四棱锥 ‎ D．四棱柱 ‎ B　[由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，‎ ‎ 经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．]‎ ‎4．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图713所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)‎ 图713‎ ‎ B　[由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，‎ ‎ 故其侧(左)视图为图②.]‎ ‎5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．‎ ‎ 2π　[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，‎ ‎ 所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]‎ ‎(对应学生用书第92页)‎ 空间几何体的结构特征 ‎　(1)下列说法正确的是(　　)‎ ‎ A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 ‎ B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 ‎ C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 ‎ D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 ‎ (2)以下命题：‎ ‎ ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；‎ ‎ ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；‎ ‎ ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；‎ ‎ ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．‎ ‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ ‎ A．0　　　　　 B．1　　　　　‎ ‎ C．2　　　　　 D．3‎ ‎ (1)B　(2)B　[(1)如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．‎ ‎①　　　　　②‎ ‎ 根据棱台的定义，可知C，D不正确．‎ ‎ (2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．]‎ ‎ [规律方法]　　1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．‎ ‎ 2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．‎ ‎ 3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．‎ ‎[变式训练1]　下列结论正确的是(　　)‎ ‎ 【导学号：79170225】‎ ‎ A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ‎ B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 ‎ C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 ‎ D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 ‎ D　[如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．‎ ‎①　　　　　　　②‎ ‎ C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．‎ ‎ 由母线的概念知，选项D正确．]‎ 空间几何体的三视图 角度1　由空间几何体的直观图判断三视图 ‎　(1)(2018·肇庆模拟)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(　　)‎ ‎ (2)(2018·秦皇岛模拟)如图714，在图(1)的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E、F分别为CD、BC的中点，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为(　　) 【导学号：79170226】‎ 图714‎ ‎ (1)C　(2)D　[(1)由题意该四棱锥的直观图如下图所示：‎ ‎ 则其三视图如图：‎ ‎ (2)依次找出图(2)中各顶点在投影面上的正投影，可知该几何体的侧视图为]‎ 角度2　已知三视图，判断几何体 ‎　(1)某四棱锥的三视图如图715所示，该四棱锥最长棱棱长为 ‎(　　)‎ 图715‎ ‎ A．1　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D．2‎ ‎ (2)(2018·内江模拟)如图716，已知三棱锥PABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝，侧面PAB⊥底面ABC，AB＝PA＝PB＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是(　　)‎ 图716‎ ‎ A．，1， B．，1,1‎ ‎ C．2,1， D．2,1,1‎ ‎ (1)C　(2)B　[(1)由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD.‎ ‎ 又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，‎ ‎ 所以PC为最长棱．‎ ‎ 连接AC，则PC＝＝＝.‎ ‎ (2)由题意知，x是等边△PAB边AB上的高，x＝2sin 60°＝，‎ ‎ y是边AB的一半，y＝AB＝1，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z＝AB＝1；‎ ‎ ∴x，y，z分别是，1,1.]‎ ‎ [规律方法]　　1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．‎ ‎ 2．根据三视图还原几何体．‎ ‎ (1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．‎ ‎ (2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．‎ ‎ (3)根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎ 易错警示：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．‎ 空间几何体的直观图 ‎　(1)(2017·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)‎ ‎ A．a2　　 B．a‎2　　‎ ‎ ‎ C．a2　　 D.a2‎ ‎ (2)(2018·广安模拟)如图717所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________. ‎ ‎【导学号：79170227】‎ 图717‎ ‎ (1)D　(2)2＋　[(1)如图①②所示的实际图形和直观图，‎ ‎ 由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，‎ ‎ 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a，‎ ‎ 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.‎ ‎ (2)根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD＝1，高AB＝‎2A′B′＝2，下底为BC＝1＋，‎ ‎ ∴×2＝2＋.]‎ ‎ [规律方法]　　1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．‎ ‎ 2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2018·南昌模拟)如图718，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是(　　)‎ 图718‎ ‎ A．4 B．6‎ ‎ C．8 D．10‎ ‎ (2)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________． 【导学号：79170228】‎ ‎ (1)D　(2)　[(1)以C为原点，以CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，在x轴上取点A，使得CA＝C′A′＝6，‎ ‎ 在y轴上取点B，使得BC＝2B′C′＝8，则AB＝＝10.‎ ‎ (2)如图所示：‎ ‎ 因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F＝，‎ ‎ 则直观图A′B′C′D′的面积S′＝×＝.]‎