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- 2021-04-21 发布
第2讲 直接证明与间接证明
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·中山调研)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－42＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．
答案 A
2．(2013·金华十校联考)对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中真命题是
( )．
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊂α，n∥α，则m∥n
D．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
解析 对于平面α和共面的直线m，n，真命题是“若m⊂α，n∥α，则m∥n”．
答案 C
3．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明 ( )．
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析 因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
答案 D
4．(2013·四平二模)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是 ( )．
A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤
解析 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是________________________．
解析 “至少有n个”的否定是“最多有n－1个”，故应假设a，b中没有一个能被5整除．
答案 a，b中没有一个能被5整除
6．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．
解析 取a＝2，b＝1，得m0，显然成立．
答案 m