2018届二轮复习二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件（文）（江苏专用） 73页

§7.3 　二元一次不等式 ( 组 ) 与简单 的 线性规划 问题 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 二元一次不等式表示的平面区域 (1) 一般地，二元一次不等式 Ax ＋ By ＋ C >0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 某一侧所有点组成 的 . 我们把直线画成虚线以表示 区域 边界 直线 . 当我们在坐标系中画不等式 Ax ＋ By ＋ C ≥ 0 所表示的平面区域时，此区域 应 边界 直线，则把边界直线画 成 . (2) 由于对直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同一侧的所有点 ( x ， y ) ，把它的坐标 ( x ， y ) 代入 Ax ＋ By ＋ C ，所得的符号 都 ， 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 ( x 0 ， y 0 ) 作为测试点，由 Ax 0 ＋ By 0 ＋ C 的 即 可判断 Ax ＋ By ＋ C >0 表示的直线是 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 哪一侧的平面区域 . 知识梳理 平面区域 不包括 包括 实线 相同 符号 2. 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x ， y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x ， y 的 不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组 目标函数 欲求 或 的 函数 线性目标函数 关于 x ， y 的 解析 式 一次 最大值 最小值 一次 可行解 满足 的 解 可行域 所有 组成 的集合 最优解 使目标函数 取得 或 的 可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数 的 或 ______ 问题 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 3. 重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1) 直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2) 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0,1) 或 (1,0) 来验证 . 知识 拓展 1. 利用 “ 同号上，异号下 ” 判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于 Ax ＋ By ＋ C >0 或 Ax ＋ By ＋ C <0 ，则有 (1) 当 B ( Ax ＋ By ＋ C )>0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方； (2) 当 B ( Ax ＋ By ＋ C )<0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下方 . 2. 最优解和可行解的关系： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解 . 最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集 .( 　　 ) (2) 不等式 Ax ＋ By ＋ C >0 表示的平面区域一定在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方 . ( 　　 ) (3) 点 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )>0 ，异侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )<0.( 　　 ) √ × √ (4) 第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy <0 表示 .( 　　 ) (5) 线性目标函数的最优解是唯一的 .( 　　 ) (6) 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 .( 　　 ) ( 7) 目标函数 z ＝ ax ＋ by ( b ≠ 0) 中， z 的几何意义是直线 ax ＋ by － z ＝ 0 在 y 轴上的截距 .( 　　 ) √ × √ × 考点自测 1.( 教材改编 ) 已知点 A (1,0) ， B ( － 2 ， m ) ，若 A ， B 两点在直线 x ＋ 2 y ＋ 3 ＝ 0 的 同侧，则 m 的取值集合是 __________. 答案 解析 因为 A ， B 两点在直线 x ＋ 2 y ＋ 3 ＝ 0 的同侧 ， 所以 把点 A (1,0) ， B ( － 2 ， m ) 代入可得 x ＋ 2 y ＋ 3 的符号相同， 即 (1 ＋ 2 × 0 ＋ 3)( － 2 ＋ 2 m ＋ 3)>0 ，解得 m > . 2.( 教材改编 ) 如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是 __________. 答案 解析 不等式 y ≤ 2 x ＋ 1 表示直线 y ＝ 2 x ＋ 1 下方的平面区域及直线上的点，不等式 x ＋ 2 y >4 表示直线 x ＋ 2 y ＝ 4 上方的平面区域 ， 所以这两个平面区域的公共部分 就是 所 表示的平面区域 . 3.(2016· 北京改编 ) 若 x ， y 满足 则 2 x ＋ y 的最大值为 ____. 答案 解析 4 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 . 令 z ＝ 2 x ＋ y ，则 y ＝－ 2 x ＋ z ，作 直线 2 x ＋ y ＝ 0 并平移 ， 当 直线过点 A 时，截距最大，即 z 取得最大值， 所以 A 点坐标为 (1,2) ，可得 2 x ＋ y 的最大值为 2 × 1 ＋ 2 ＝ 4. 几何画板展示 4.( 教材改编 ) 若 则 z ＝ x － y 的最大值为 ______. 答案 解析 1 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示 ( 含边界 ). 令 z ＝ 0 ，作直线 l ： y － x ＝ 0 . 当 直线 l 向下平移时，所对应的 z ＝ x － y 的函数值随之增大，当直线 l 经过可行域的顶点 M 时， z ＝ x － y 取得最大值 . 顶点 M 是直线 x ＋ y ＝ 1 与直线 y ＝ 0 的交点， 解方程组 得顶点 M 的坐标为 (1,0) ，代入 z ＝ x － y ，得 z max ＝ 1 . 几何画板展示 5.( 教材改编 ) 投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米；投资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米 . 现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则上述要求 可用 不等式组表示 为 ( 用 x ， y 分别表示生产 A ， B 产品 的 吨数， x 和 y 的单位是百吨 ). 答案 解析 用表格列出各数据   A B 总数 产品吨数 x y   资金 200 x 300 y 1 400 场地 200 x 100 y 900 所以不难看出， x ≥ 0 ， y ≥ 0,200 x ＋ 300 y ≤ 1 400,200 x ＋ 100 y ≤ 900 . 题型分类　深度剖析 题型一　二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 命题点 1 　不含参数的平面区域问题 例 1 　 (1) 不等式组 所表示的平面区域的面积等于 ____. 答案 解析 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分 ， A (0 ， ) ， B (1,1) ， C (0,4) ， 则 △ ABC 的面积为 (2)( 教材改编 ) 画出二元一次不等式 组 表示 的平面区域 . 解答 先画出直线 x － y ＋ 5 ＝ 0( 画成虚线 ) ， ∴ 原点不在 x － y ＋ 5<0 表示的平面区域内， 即 x － y ＋ 5<0 表示直线 x － y ＋ 5 ＝ 0 左上方点的集合， 同理可得： x ＋ y ≥ 0 表示直线 x ＋ y ＝ 0 上及其右上方 点 的 集合， x ≤ 3 表示直线 x ＝ 3 上及其左边的点的集合 . 故此二元一次不等式组表示的 平面区域 为图中 阴影 部分 所示 . 取 O (0,0) 代入 x － y ＋ 5 ＝ 5>0 ， 命题点 2 　含参数的平面区域问题 例 2 　 (1)(2015· 重庆改编 ) 若不等式 组 表示 的平面区域 为 三角形 ，且其面积 等于 ， 则 m 的值为 ____. 答案 解析 1 不等式组表示的平面区域如图， 则图中 A 点纵坐标 y A ＝ 1 ＋ m ， B 点纵坐标 y B ＝ ， C 点横坐标 x C ＝－ 2 m ， 又 ∵ 当 m ＝－ 3 时，不满足题意，应舍去， ∴ m ＝ 1. ∴ m ＝ 1 或 m ＝－ 3 ， (2) 若不等式 组 所 表示的平面区域被直线 y ＝ kx ＋ 分为面积 相等 的两部分 ，则 k 的值是 _____. 答案 解析 不等式组表示的平面区域如图所示 . 由于直线 y ＝ kx ＋ 过定点 . 因此 只有直线过 AB 中点时，直线 y ＝ kx ＋ 能 平分平面区域 . 因为 A (1,1) ， B (0,4) ，所以 AB 中点 D . (1) 求平面区域的面积： ① 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； ② 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 ( 如平行四边形或梯形 ) ，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可 . (2) 利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1) 不等式 组 表示 的平面区域为 Ω ，直线 y ＝ kx － 1 与 区域 Ω 有公共点，则实数 k 的取值范围为 __________. 答案 解析 [3 ，＋ ∞ ) 直线 y ＝ kx － 1 过定点 M (0 ，－ 1) ， 由 图可知 ， 当 直线 y ＝ kx － 1 经过直线 y ＝ x ＋ 1 与直 线 x ＋ y ＝ 3 的交点 C (1,2) 时， k 最小 ， 此时 k CM ＝ ＝ 3 ， 因此 k ≥ 3 ，即 k ∈ [3 ，＋ ∞ ). (2)(2016· 江苏徐州四校模拟 ) 若不等式 组 表示 的平面区域 是 一 个三角形及其内部，则 a 的取值范围是 _______. 答案 解析 [5,7) 不等式 x － y ＋ 5 ≥ 0 和 0 ≤ x ≤ 2 表示的平面区域如图所示 . 因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知 5 ≤ a <7 . 题型二　求目标函数的最值问题 命题点 1 　求线性目标函数的最值 例 3 　 (2016· 全国丙卷 ) 若 x ， y 满足 约束条件 则 z ＝ x ＋ y 的 最 大 值为 ____. 答案 解析 满足约束条件 的可行域 为以 A ( － 2 ，－ 1) ， B (0,1) ， 为 顶点 的 三角形 内部及边界， 则 y ＝－ x ＋ z 过 点 时 取得最大 值 . 命题点 2 　求非线性目标函数的最值 解答 例 4 　 实数 x ， y 满足 (1) 若 z ＝ ， 求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围 ； 几何画板展示 由 作出 可行域， 如图中阴影部分所示 . z ＝ 表示 可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 ， 因此 的 范围为直线 OB 的斜率到直线 OA 的斜率 ( 直线 OA 的斜率不存在，即 z max 不存在 ). 由 得 B (1,2) ， ∴ k OB ＝ ＝ 2 ，即 z min ＝ 2 ， ∴ z 的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ). (2) 若 z ＝ x 2 ＋ y 2 ，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围 . 解答 z ＝ x 2 ＋ y 2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 . 因此 x 2 ＋ y 2 的最小值为 OA 2 ，最大值为 OB 2 . 由 得 A (0,1) ， ∴ z 的取值范围是 [1,5]. 引申 探究 1. 若 z ＝ ， 求 z 的取值范围 . 解答 z ＝ 可以 看作过点 P (1,1) 及 ( x ， y ) 两点的直线的斜率 . ∴ z 的取值范围是 ( － ∞ ， 0]. 2. 若 z ＝ x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 3. 求 z 的最大值、最小值 . 解答 z ＝ x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＋ 1 ， 而 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 表示点 P (1,1) 与 Q ( x ， y ) 的距离的平方 PQ 2 ， ＝ (0 － 1) 2 ＋ (2 － 1) 2 ＝ 2 ， ∴ z max ＝ 2 ＋ 1 ＝ 3 ， z min ＝ ＋ 1 ＝ . 命题点 3 　求参数值或取值 范围 例 5 　 (1)(2015· 山东改编 ) 已知 x ， y 满足 约束条件 若 z ＝ ax ＋ y 的 最大 值为 4 ，则 a 的值为 ____. 答案 解析 2 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 . 易知 A (2,0) ， 由 得 B (1,1). 由 z ＝ ax ＋ y ，得 y ＝－ ax ＋ z . 当 a <0 时， z ＝ ax ＋ y 在 O (0,0) 处取得最大值 ， z ＝ 0 ，不满足题意； 当 a >0 时， z ＝ ax ＋ y 在 A (2,0) 处取得最大值 ， z ＝ 2 a ＝ 4 ， a ＝ 2 ，满足题意 . 当 a ＝ 0 时，显然不满足题意； (2) 已知 a >0 ， x ， y 满足 约束条件 若 z ＝ 2 x ＋ y 的最小值为 1 ， 则 a ＝ ___. 答案 解析 作出不等式组表示的可行域，如图 ( 阴影部分 ). 易知直线 z ＝ 2 x ＋ y 过交点 A 时， z 取最小值， ∴ z min ＝ 2 － 2 a ＝ 1 ，解得 a ＝ . (1) 先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 . (2) 当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义 ： ① 表示 点 ( x ， y ) 与原点 (0,0) 的距离 ， 表示 点 ( x ， y ) 与点 ( a ， b ) 的距离 ； ② 表示 点 ( x ， y ) 与原点 (0,0) 连线的斜率 ， 表示 点 ( x ， y ) 与点 ( a ， b ) 连线的斜率 . (3) 当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1)(2016· 江苏大港中学质检 ) 设 m >1 ，在 约束条件 下 ，目标函数 z ＝ x ＋ 5 y 的最大值为 4 ，则 m 的值为 ____. 答案 解析 3 作出可行域 . 把目标函数化为 y ＝ ， 显然只有 y ＝ 在 y 轴上的截距最大时 z 值最大，根据图形， 目标函数 在点 A 处取得最大值 ， 代入目标函数， 解得 m ＝ 3. (2)(2016· 江苏天一中学月考 ) 已知 x ， y 满足 约束条件 如果 (2 ， ) 是 z ＝ ax － y 取得最大值时的最优解，则实数 a 的取值范围是 __________. 答案 解析 画出可行域如图，将目标函数化为直线的斜截式方程 y ＝ ax － z ， 当目标函数的斜率大于等于 3 y － x ＝ 2 的斜率时 ， 直线 y ＝ ax － z 在点 (2 ， ) 处截距最小 ， 即 a ≥ 时 ， (2 ， ) 是目标函数 z ＝ ax － y 取得 最大 值时的最优解 . 题型三　线性规划的实际应用问题 例 6 　 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时 . 若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元 . (1) 试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω ( 元 ) ； 解答 依题意每天生产的伞兵个数为 100 － x － y ， 所以利润 ω ＝ 5 x ＋ 6 y ＋ 3(100 － x － y ) ＝ 2 x ＋ 3 y ＋ 300 . (2) 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解答 约束条件为 整理得 作 初始直线 l 0 ： 2 x ＋ 3 y ＝ 0 ，平移 l 0 ，当 l 0 经过点 A 时 ， ω 有最大值， 故 每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元 . ∴ 最优解为 A (50,50) ，此时 ω max ＝ 550 元 . 目标函数为 ω ＝ 2 x ＋ 3 y ＋ 300 ，作出可行域，如图所示， 解线性规划应用问题的一般步骤 (1) 审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系 . (2) 设元：设问题中起关键作用 ( 或关联 较多 ) 的量为未知量 x ， y ，并列出相应的不等式组和目标函数 . (3) 作图：准确作出可行域，平移找点 ( 最优解 ). (4) 求解：代入目标函数求解 ( 最大值或最小值 ). (5) 检验：根据结果，检验反馈 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (2016· 全国乙卷 ) 某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 . 生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg ，乙材料 1 kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元 . 该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 ________ 元 . 答案 解析 216 000 目标函数 z ＝ 2 100 x ＋ 900 y . 作出可行域为图中的四边形及其内部，包括边界，顶点为 (60,100) ， (0,200) ， (0,0) ， (90,0) ，在 (60,100) 处取得最大值， z max ＝ 2 100 × 60 ＋ 900 × 100 ＝ 216 000( 元 ). 设生产 A 产品 x 件， B 产品 y 件 ， 根据 所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件 ， 得 线性约束条件为 典例 　 (1) 在直角坐标系 xOy 中，若不等式 组 表示 一个 三角 形 区域，则实数 k 的取值范围是 ____________________________. ( 2) 已知 x ， y 满足 约束条件 若 z ＝ ax ＋ y 的最大值为 4 ，则 a ＝ ___. 含 参数的线性规划问题 现场纠错系列 7 现场纠错 纠错心得 错 解展示 解析 　 (1) 如图，直线 y ＝ k ( x － 1) － 1 过点 (1 ，－ 1) ， 作出直线 y ＝ 2 x ， 当 k < － 1 或 0< k <2 或 k >2 时 ， 不等式 组表示一个三角形区域 . (2) 由不等式组表示的可行域 ， 可知 z ＝ ax ＋ y 在点 A (1,1) 处取到最大值 4 ， ∴ a ＋ 1 ＝ 4 ， ∴ a ＝ 3. 答案 　 (1)( － ∞ ，－ 1) ∪ (0,2) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 　 (2)3 返回 解析　 (1) 直线 y ＝ k ( x － 1) － 1 过定点 (1 ，－ 1) ， 当这条直线的斜率为负值时，该直线与 y 轴的交点必须在坐标原点上方， 即直线的斜率为 ( － ∞ ，－ 1) ，只有此时可构成三角形区域 . (2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 . 由 得 A (1,1). z ＝ ax ＋ y 等价于 y ＝－ ax ＋ z ， 因为 z 的最大值为 4 ，即直线 y ＝－ ax ＋ z 的纵截距最大为 4. 若 z ＝ ax ＋ y 在 A (1,1) 处取得最大值 ， 则纵截距必小于 2 ， 故 只有直线 y ＝－ ax ＋ z 过点 (2,0) 且－ a <0 时符合题意， ∴ 4 ＝ a × 2 ＋ 0 ，即 a ＝ 2. 答案 　 (1)( － ∞ ，－ 1) 　 ( 2)2 返回 ( 1) 含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答 . (2) 目标函数含参的线性规划问题，要根据 z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号 . 返回 课时作业 1. 已知点 ( － 3 ，－ 1) 和点 (4 ，－ 6) 在直线 3 x － 2 y － a ＝ 0 的两侧，则 a 的取值范围为 _____ _ __. 由 [3×( － 3) － 2×( － 1) － a ]·[3×4 － 2×( － 6) － a ]<0 ， 得 ( a ＋ 7)( a － 24)<0 ， ∴ － 7< a <24 . 答案 解析 ( － 7,24) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(2016· 江苏苏州暑期检测 ) 已知变量 x ， y 满足约束条件 则目标函数 z ＝ 2 x － y 的最大值是 _____. 答案 解析 7 作出可行域，如图 ： 由图可知，当目标函数过点 A (5,3) 时 ， z 取最大值，所以 z max ＝ 2 × 5 － 3 ＝ 7 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 与不等式 组 表示 的平面区域的公共点有 ___ 个 . 答案 解析 1 由不等式组画出可行域的平面区域如图 ( 阴影部分 ). 直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 恰过点 A (5,0) ， 且 其斜率 k ＝－ 2< k AB ＝ ， 即 直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 与平面区域仅有一个公共点 A (5,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 若不等式 组 表示 的平面区域是一个三角形，则 a 的 取值 范围 是 ___________ __ ___. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不等式 组 表示 的平面区域如图 ( 阴影部分 ) ， 求 A ， B 两点的坐标分别 为 和 (1,0) ， 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形， 则 a 的取值范围是 0 ＜ a ≤ 1 或 a ≥ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(2016· 天津改编 ) 设变量 x ， y 满足 约束条件 则目标函数 z ＝ 2 x ＋ 5 y 的最小值为 ____. 答案 解析 6 由约束条件作出可行域如图所示， 目标函数可化为 y ＝ ， 在图中画出直线 y ＝ ， 平移该直线，易知经过点 A 时 z 最小 . 又知点 A 的坐标为 (3,0) ， ∴ z min ＝ 2 × 3 ＋ 5 × 0 ＝ 6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 设 x ， y 满足 约束条件 则 z ＝ 2 x － y 的最大值为 _____. 答案 解析 8 画出可行域如图所示 . 由 z ＝ 2 x － y ，得 y ＝ 2 x － z ，欲求 z 的最大值 ， 可 将直线 y ＝ 2 x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在 y 轴上的截距－ z 最小时 ， 即得 z 的最大值，如图，可知当过点 A 时 z 最大 ， 即 A (5,2) ，则 z max ＝ 2 × 5 － 2 ＝ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(2016· 江苏 ) 已知实数 x ， y 满足 则 x 2 ＋ y 2 的取值 范围 是 ________. 答案 解析 已知不等式组所表示的平面区域 如图 . x 2 ＋ y 2 表示原点到可行域内的点的距离的平方 . 解 方程组 得 A (2,3). 由图可知 ( x 2 ＋ y 2 ) min ＝ ， ( x 2 ＋ y 2 ) max ＝ OA 2 ＝ 2 2 ＋ 3 2 ＝ 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.( 2017· 苏北三市质检 ) 若实数 x ， y 满足 约束条件 | 3 x － 4 y － 10 | 的 最大值为 ____. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出实数 x ， y 在约束条件下的平面区域 ( 如图所示 ) ， 令 z ＝ 3 x － 4 y － 10 ， 则平移直线 3 x － 4 y ＝ 0 经过点 A (1,0) 时， z max ＝ 3 － 10 ＝－ 7 ； 平移直线 3 x － 4 y ＝ 0 经过点 B ( ) 时， z min ＝ － 3 － 10 ＝ ， 即 ≤ z ＝ 3 x － 4 y － 10 ≤ － 7 ， 从而 7 ≤ |3 x － 4 y － 10| ≤ ， 所求的 |3 x － 4 y － 10| 的最大值 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. x ， y 满足 约束条件 若 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一 ， 则 实数 a 的值为 ________. 答案 解析 2 或－ 1 如图，由 y ＝ ax ＋ z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距 ， 故当 a >0 时，要使 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a ＝ 2 ； 当 a <0 时，要使 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a ＝－ 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(2016· 浙江改编 ) 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在 直线 l 上的投影 . 由区域 中 的点在直线 x ＋ y － 2 ＝ 0 上 的 投影 构成的线段记为 AB ，则 AB ＝ _____. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知不等式组表示的平面区域如图中 △ PMQ 所示 . 因为 l 与直线 x ＋ y ＝ 0 平行 . 所以区域内的点在直线 x ＋ y － 2 上的投影构成线段 AB ，则 AB ＝ PQ . 由 解 得 P ( － 1,1) ， 由 解 得 Q (2 ，－ 2). 所以 AB ＝ PQ ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 不等式 组 的 解集记为 D . 有下面四个命题： p 1 ： ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ － 2 ， p 2 ： ∃ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ 2 ， p 3 ： ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≤ 3 ， p 4 ： ∃ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≤ － 1. 其中的真命题是 ________. 答案 解析 p 1 ， p 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不等式 组 表示 的平面区域 D 如图中阴影区域所示 ( 含边界 ). 设 z ＝ x ＋ 2 y ，作出直线 l 0 ： x ＋ 2 y ＝ 0 ， 经 平移可知直线 l ： z ＝ x ＋ 2 y 经过 点 A (2 ，－ 1) 时 z 取得最小值 0 ，无最大值 . 对于 命题 p 1 ：由于 z 的最小值为 0 ， 所以 ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ 0 恒成立 ， 故 x ＋ 2 y ≥ － 2 恒成立 ， 因此 命题 p 1 为真命题 ； 由于 ∀ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ 0 ，故 ∃ ( x ， y ) ∈ D ， x ＋ 2 y ≥ 2 ， 因此 命题 p 2 为真命题 ；由于 z ＝ x ＋ 2 y 的最小值为 0 ，无最大值 ， 故 命题 p 3 与 p 4 错误 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 若实数 x ， y 满足 x 2 ＋ y 2 ≤ 1 ，则 |2 x ＋ y － 2| ＋ |6 － x － 3 y | 的最小值是 ____. 答案 解析 3 ∵ x 2 ＋ y 2 ≤ 1 ， ∴ 6 － x － 3 y >0 ， 当 2 x ＋ y － 2 ≥ 0 时， t ＝ x － 2 y ＋ 4 . 点 ( x ， y ) 可取区域 Ⅰ 内的点 ( 含边界 ). 通过作图可知，当直线 t ＝ x － 2 y ＋ 4 过点 A ( ) 时 ， t 取最小值 ， 令 t ＝ |2 x ＋ y － 2| ＋ |6 － x － 3 y | ， ∴ t min ＝ ＋ 4 ＝ 3. 当 2 x ＋ y － 2<0 时， t ＝ 8 － 3 x － 4 y ，点 ( x ， y ) 可取区域 Ⅱ 内的点 ( 不含线段 AB ). 通过作图可知，此时 t >8 － 3 × － 4 × ＝ 3. 综上， t min ＝ 3 ，即 |2 x ＋ y － 2| ＋ |6 － x － 3 y | 的最小值是 3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 *13. 给定区域 D ： 令 点集 T ＝ {( x 0 ， y 0 ) ∈ D | x 0 ， y 0 ∈ Z ， ( x 0 ， y 0 ) 是 z ＝ x ＋ y 在 D 上取得最大值或最小值的点 } ，则 T 中的点共确定 _____ 条不同的直线 . 答案 解析 6 作出图形可知， △ ABF 所围成的区域即为区域 D ，其中 A (0,1) 是 z 在 D 上取得最小值的点， B ， C ， D ， E ， F 是 z 在 D 上取得最大值的点 ， 则 T 中的点共确定 AB ， AC ， AD ， AE ， AF ， BF 共 6 条不同的直线 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 已知 D 是以点 A (4,1) ， B ( － 1 ，－ 6) ， C ( － 3 ， 2) 为 顶点 的 三角形区域 ( 包括边界与内部 ). 如图所示 . (1) 写出表示区域 D 的不等式组 ； 解答 直线 AB ， AC ， BC 的方程分别为 7 x － 5 y － 23 ＝ 0 ， x ＋ 7 y － 11 ＝ 0,4 x ＋ y ＋ 10 ＝ 0 . 原点 (0,0) 在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 设点 B ( － 1 ，－ 6) ， C ( － 3,2) 在直线 4 x － 3 y － a ＝ 0 的 异 侧，求 a 的取值范围 . 解答 根据题意有 [4 × ( － 1) － 3 × ( － 6) － a ][4 × ( － 3) － 3 × 2 － a ]<0 ， 即 (14 － a )( － 18 － a )<0 ， 解得－ 18< a <14. 故 a 的取值范围是 ( － 18,14). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次 . A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元 / 辆和 2 400 元 / 辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆 . 若每天运送人数不少于 900 ，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设 A 型、 B 型车辆分别为 x 、 y 辆，相应营运成本为 z 元 ， 则 z ＝ 1 600 x ＋ 2 400 y . 由 题意，得 x ， y 满足 约束条件 作可行域如图所示 ， 可行域的三个顶点坐标分别为 P (5 ， 12) ， Q (7,14) ， R (15,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知，当直线 z ＝ 1 600 x ＋ 2 400 y 经过可行域的点 P 时 ， 直线 z ＝ 1 600 x ＋ 2 400 y 在 y 轴上的 截距 最小， 即 z 取得最小值 . 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆 ， 可以 满足公司从甲地去乙地的营运成本最小 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(2016· 天津 ) 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A ， B ， C 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示 ： 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨 . 在此基础上生产甲、乙两种肥料 . 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元 . 分别用 x ， y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 . (1) 用 x ， y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域 ； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知， x ， y 满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域 为 图 ① 中的阴影部分 . 图 ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？ 并求出此最大利润 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设利润为 z 万元，则目标函数为 z ＝ 2 x ＋ 3 y . 考虑 z ＝ 2 x ＋ 3 y ，将它变形为 y ＝ ， 它的图象是斜率 为 ， 随 z 变化的一族平行直线 ， 为 直线在 y 轴上的截距， 当 取 最大值时， z 的值最大 . 根据 x ， y 满足的约束条件， 由图 ② 可知 ， 当直线 z ＝ 2 x ＋ 3 y 经过可行域上的点 M 时 ， 截距 最大 ，即 z 最大 . 图 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解方程组 得点 M 的坐标为 (20,24) ， 所以 z max ＝ 2 × 20 ＋ 3 × 24 ＝ 112 . 答 　生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16