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- 2021-04-21 发布
北京京新学道临川学校第三次月考数学理科试卷
一､选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若命题“”为假，且“”为假，则
A. 或为假 B. 真 C. 假 D. 不能判断的真假
【答案】C
【解析】
试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.
考点：本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.
点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.
2.如果椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离
A. 6 B. 10 C. 12 D. 14
【答案】D
【解析】
由椭圆知椭圆长轴长为设椭圆另一个焦点为，根据椭圆定义得：故选D
3.根据一组数据(24,25),(26,25),(26,26),(26,27),(28,27),用最小二乘法建立的回归直线方程为=kx+13,则k=( )
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得样本中心点，代入回归直线方程，由此求得的值.
【详解】依题意，所以样本中心点为，代入回归直线方程得.
故选：C.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.
4. 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
D
试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
5.定积分的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：=.故选C.
考点：1.微积分基本定理；2.定积分的计算.
6.执行如图所示的程序框图，若，则输出的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：依次运行框图中程序后可得结果．
详解：依次运行程序框图中的程序可得：
①，满足条件，继续运行；
②，满足条件，继续运行；
③，不满足，停止运行．输出4．
故选B．
点睛：对于判断程序框图的输出结果的问题，首先要弄清程序框图的功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．
7.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值（ ）
A. 2 个 B. 1 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数与导函数的关系以及极小值的定义，若为函数f（x）的极小值，则，且在左负右正，结合图像可得解.
【详解】根据函数与导函数的关系以及极小值的定义，
若为函数f（x）的极小值，则，且在左负右正.
结合图像可知满足条件的有1个.
故选：B
【点睛】本题考查了利用导函数图像判断函数极小值的个数，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于中档题.
8.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.
9.若复数z=（x2-4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
分析：先通过复数的基本概念，求出“为纯虚数”的最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义，即可得到结论.
详解：“为纯虚数”的充要条件为，即，
因为成立推不出城，反之若成立，则成立，
所以“为纯虚数”是“”的必要不充分条件，故选B.
点睛：本题主要考查了充要条件的判定，以及复数的基本概念，其中熟记复数的基本概念即应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.
10. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，共有种方法；其中恰有一个红球的方法为种，因此恰有一个红球的概率为，故选C.
考点：古典概型及其概率的计算.
11.设是上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为所以当时，，即在上单调递增，且又因为所以如图所示，所以的解集为故选D.
考点：1、应用导数求单调性．
【思路点晴】本题主要考查的是应用导数求函数的单调性，属于难题.由是奇函数可知，图像关于原点对称，只需做出时的图像，则整个图像就可以做出来.时，在上单调递增.图像上有一点这样的大致图像就如图所示，的解集就是分布在三四象限的图像对于的x的集合.
12.已知F是双曲线的右焦点,P是C左支上一点.,当最小时,在x轴上找一点Q,使最小,最小值为( )
A. B. 10 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据最小，判断出点的位置，求得点坐标，再求得关于轴对称点的坐标，即的最小值.
【详解】设双曲线左焦点的坐标为，根据双曲线的定义可知，所以最小时，最小，此时三点共线.直线的方程为，与双曲线方程联立，消去
并化简得，解得，或（舍去），所以，故.关于轴的对称点为，连接，交轴于，此时取得最小值，且最小值为.
故选：A
【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查双曲线中的最值问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.把命题“”的否定写在横线上______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据特称命题是全称命题的知识填写出结果.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，原命题的否定为：
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查特称命题否定，属于基础题.
14.复数___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的乘方和除法运算，化简表达式.
【详解】依题意，原式.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查复数乘方和除法运算，属于基础题.
15.过抛物线焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，则等于___________．
【答案】8
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为，设所作直线为，联立方程整理得
，方程为
考点：直线与抛物线相交问题
点评：过抛物线焦点的弦与抛物线交于，则焦点弦长为
16.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀∈，∈[2,3]都有,则实数a的取值范围是__________
【答案】
【解析】
【分析】
分别求得在区间上的最小值、在区间上的最大值，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于时，，当且仅当，即时等号成立，也即在区间上的最小值为.由于时，单调递增，所以最大值为
由于对，都有，所以，解得.所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，考查函数最值的求法，属于中档题.
三､解答题:,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间与极值．
【答案】(1) (2) 在(0,5)内为减函数；在(5，＋∞)内为增函数． 极小值f(5)＝－ln 5.无极大值．
【解析】
试题分析：（1）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线可得
，可求出a的值；（2）根据（1）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．
试题解析：（1）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得．
（2）由（1）知，则，
令，解得或．因为不在的定义域内，故舍去．
当时，，故在上为减函数；
当时，，故在上为增函数．
由此知函数在时取得极小值，．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
18.某初级中学共有学生2000名,各年级男生､女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率是0.19.
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样法全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级女生比男生多的概率.
【答案】（1）；（2）名；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用 “全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率”列方程，解方程求得的值.
（2）利用分层抽样的抽样比，计算出在初三年级学生中抽取的人数.
（3）利用列举法和古典概型概率计算公式，计算出初三年级女生比男生多的概率.
【详解】（1）依题意，所以.
（2）由初一、初二学生人数为，所以初三学生人数为人，故用分层抽样法在全校抽取名学生,问应在初三年级学生中抽取名.
（3）由（2）可知，而，所以初三女生和男生人数的可能取值有：共种，其中女生比男生多的为共种，故初三年级女生比男生多的概率为.
【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查古典概型的计算，属于基础题.
19.已知函数.
（1）若是的极值点,求及在上的最大值;
（2）若函数是上的单调递增函数,求实数的取值范围.
【答案】（1），在上的最大值为15;
（2）实数的取值范围为：.
【解析】
试题分析：（1）先对函数求导，再把代入导函数使之为0，即解得的值，进一步可求；令导函数为0，列表可求在上的最大值；(2)函数是上的单调递增函数可转化为在R上恒成立,即可求出实数的取值范围.
试题解析：（1），令，即∴.
∴4分
令，解得或(舍去).
当变化时,，,的变化情况如下表:
1
(1,3)
3
(3,5)
5
0
+
1
单调递减↘
9
单调递增↗
15
因此,当时,在区间[1,5]上有最大值是. 8分
(2)是R上的单调递增函数转化为在R上恒成立, 10分
从而有，由，解得12分
考点：导函数的应用、恒成立问题、函数与方程思想.
20.已知离心率为 的椭圆(a>b>0)过点M(,1).
(1)求椭圆的方程.
(2)已知与圆x2+y2=相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A,B,O为坐标原点,求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率、点的坐标以及列方程组，解方程求得，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，结合直线与圆相切，计算出的值.
【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为，所以煤核儿，所以椭圆方程为.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，直线与椭圆交于不同的两点，由直线与圆相切得，即，所以①.联立直线的方程和椭圆方程得，消去并化简得，则，即.由根与系数关系得.从而.所以，将①代入上式得.
当直线斜率不存在时，由于直线与圆相切，所以直线的方程为，此时直线与椭圆的两个交点为，或，满足.
综上所述，.
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
21.已知函数 ，
(1)求 的图象在 处的切线方程并求函数 的单调区间；
(2)求证： .
【答案】（1）切线方程为： ，单调增区间为，单调减区间是（2）见解析
【解析】
试题分析：
(1)由函数的导函数可得切线的斜率为2，据此可得切线方程为： ，单调增区间为，单调减区间是；
(2)构造新函数，结合函数的性质即可证得题中的结论.
试题解析：
(1) ，∴，
所以切线方程为：
单调增区间为，单调减区间是
(2)设，.
∵在上单调递增，且，.
∴存在唯一的零点，使得，
即
∴在上单调递减，在单调递增，
∴
=，
又，∴上式等号不成立，∴，即
22.已知椭圆C:()的短轴长为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程
(2)若过点M(2,0)的引斜率为的直线与椭圆C相交于两点G､H,设P为椭圆C上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围?
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率、短轴长以及列方程组，解方程求得，由此求得椭圆方程.
（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出判别式和韦达定理.计算出弦长，由，求得的一个取值范围.利用求得关于的表达式，根据的取值范围，求得的取值范围.
【详解】（1）由于椭圆的短轴长为，离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设，设直线的方程为，由消去并化简得，，化简得.且.
，由弦长公式得
，两边平方并化简得，解得.
所以.
设，则由得，所以，根据，得.所以，代入椭圆方程并化简得.由于，所以，，所以，所以.
【点睛】本小题主要考查椭圆的方程，考查向量的坐标运算，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查运算求解能力，属于难题.