2020届二轮复习构造法教案（全国通用） 11页

‎【例1】已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式.‎ ‎【点评】（1）已知，一般可以利用待定系数法构造等比数列，其公比为（2）注意数列的首项为，不是对新数列的首项要弄准确.‎ ‎【反馈检测1】已知数列{}中，=2，= ，求{}的通项公式.‎ 类型二 构造法二 使用情景 已知数列 解题步骤 一般利用待定系数法构造等比数列求通项.‎ ‎【例2 】已知数列满足，求数列的通项公式.‎ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则.‎ ‎【点评】本题解题的关键是把递推关系式转化为，其中要用到待定系数法，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式. #‎ ‎【反馈检测2】 在数列{}中，，=6 ，求通项公式.‎ 类型三 构造法三 使用情景 已知 解题步骤 一般利用待定系数法构造等比或等差数列求通项.‎ ‎【例3 】已知数列满足，求数列的通项公式.‎ ‎【点评】（1）本题的一个关键是先要把变成,这样才便于后面构造数列,否则不方便构造. （2）换元之后原等式变成，即型，又可以利用前面的构造方法构造一个等比数列求数列通项.‎ ‎【反馈检测3】已知数列满足，，求数列的通项公式.‎ ‎【例4】 已知数列满足，，求数列的通项公式.‎ ‎【点评】（1）本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列 的通项公式.（2）已知，有时可以构造等比数列，有时可以构造等差数列，本题是构造等比数列，此时的系数和指数函数的底数相同.‎ ‎【反馈检测4】数列{}满足且.‎ 求、、； 是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由.‎ 类型四 构造法四 使用情景 已知 解题步骤 一般利用待定系数法构造等比数列求通项.‎ ‎【例5】 数列中，，求数列的通项公式.‎ ‎【解析】‎ 比较系数得 ‎ 若取 ‎【点评】（1）递推式为时，可以设，其待定系数求出，从而得到一个等比数列.（2）这种特征的构造一般要结合其它方法才能得出结果.此题就结合了累差法.‎ ‎【反馈检测5】在数列{}中，，当， ① 求通项公式.‎ 类型五 构造法五 使用情景 已知 解题步骤 一般利用倒数构造等差数列求数列的通项.‎ ‎【例6】已知数列满足求数列的通项公式.‎ ‎【解析】取倒数 ‎ ‎ ∴‎ ‎【点评】（1）形如递推式，考虑函数倒数关系有 型.（2）对于形如 的也可以在方程的两边同时除以，再构造等差数列. #‎ ‎【反馈检测6】 已知数列{}中，其中，且当时，，求通项公式.‎ 类型六 构造法六 使用情景 已知 解题步骤 一般利用取对数构造等比数列.‎ ‎【例7】若数列{}中，=3且（是正整数），求它的通项公式是.‎ ‎ 【反馈检测7】已知数列满足，，求数列的通项公式.‎ ‎【反馈检测8】设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有 ,,. (e是自然对数的底数，e=2.71828……）‎ ‎ (1)求数列、的通项公式；‎ ‎ (2)求数列的前项和；‎ ‎ (3)试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若 存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ 高中数常见题型解法归纳及反馈检测第37讲：‎ 数列通项的求法二（构造法）参考答案 ‎【反馈检测1答案】=‎ ‎【反馈检测2答案】‎ ‎【反馈检测2详细解析】 ①式可化为：‎ ‎ ② ‎ 比较系数可得：=-6，，② 式为 是一个等比数列，首项，公比为.∴‎ 即 故.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】在原等式两边同除以，得 ‎【反馈检测4答案】（1）=5；（2）=.‎ ‎【反馈检测5答案】‎ ‎【反馈检测5详细解析】①式可化为：‎ 比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：‎ 则是一个等比数列，首项=2-2（-1）=4，公比为3.‎ ‎∴.利用上题结果有：.‎ ‎【反馈检测6答案】‎ ‎【反馈检测6详细解析】将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.‎ ‎【反馈检测7答案】‎ ‎【变式演练7详细解析】因为，所以.在式两边取常用对数得 ①‎ 设 ②‎ 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则.‎ ‎【反馈检测8答案】（1），；（2）；（3）时，原 不等式恒成立. #‎ ‎（2）由（1）知，， ‎ 所以，③‎ ‎，④‎ 由③-④得， ‎ 所以. （3）‎ 由，得，‎ 由可得，‎ 即使得对于任意且，不等式恒成立等价于使得对于任意且，不等式恒成立. ‎ ‎. ‎ ‎（或用导数求在上的最大值.）‎ 解得,所以当时，取最小值，最小值为,‎ 所以时，原不等式恒成立. ‎ ‎ ‎