浙江省2014届理科数学复习试题选编30：椭圆（教师版） 43页

浙江省2014届理科数学复习试题选编30：椭圆 一、选择题 ．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）已知椭圆:和圆:,过椭圆上一点引圆的两条切线,切点分别为. 若椭圆上存在点,使得,则椭圆离心率的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D解析:∵ ·=0PA⊥P B．又PA,PB为圆O切线,∴ OA⊥PA,OB⊥P B． ‎ ‎∴ 四边形OAPB为正方形.∴ OP=b≤a,即a2≥2b2=2(a2-c2)a2≤‎2c2,∴ ≤e<1. ‎ ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）在直角坐标平面中,的两个顶点 （　　）‎ A．B的坐标分别为A(-1,0),B(1,0),平面内两点G.M同时满足下列条件:(1) (2)(3)则的顶点C的轨迹方程为 （　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是,则这一椭圆离心率 的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ ．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）椭圆M:长轴上的两个顶点为、,点P为椭圆M上除、外的一个动点,若且,则动点Q在下列哪种曲线上运动 （　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【答案】B ‎ ．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）如图,等腰梯形中,且,设,,以、为焦点,且过点的双曲线的离心率为;以、为焦点,且过点的椭圆的离心率为,则 ‎ ‎ （　　）‎ A．当增大时,增大,为定值 B．当增大时,减小,为定值 ‎ C．当增大时,增大,增大 D．当增大时,减小,减小 ‎【答案】B ‎ ‎ ‎ ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）设是椭圆的左.右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）是椭圆(的两个顶点,是它的左焦点,线段被椭圆截得的弦长等于线段的中点到的距离,则椭圆离心率为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点,且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列,则 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ．（浙江省重点中学协作体2013届高三摸底测试数学（理）试题）已知椭圆,则当在此椭圆上存在不同两点关于直线对称时 的取值范围为 （　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点A是椭圆的一个短轴端点,如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率的取值范围是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知椭圆,过右焦点F 做不垂直于x轴的弦交椭圆于 （　　）‎ A．B两点,AB的垂直平分线交x轴于N,则 ‎ （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）设点是椭圆上一点,分别是椭圆的左、右焦点,为的内心,若,则该椭圆的离心率是 ‎ ‎（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,‎ 则的周长的最大值是________. ‎ ‎【答案】 16 ‎ ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）已知,是椭圆的两个焦点,满足的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是______.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点.,当的周长最大时,的面积是____________.‎ ‎【答案】3 ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）过椭圆左焦点且不垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,AB的垂直平分线交x轴于点,则________;‎ ‎【答案】 解:特值法:当AB为长轴时,AB=6, NF=2 ‎ ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知椭圆C:的右焦点为F(3,0),且点在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为______.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为________________.‎ ‎【答案】+=1 【解析】 设椭圆方程为+=1(a>b>0), ‎ ‎ ‎ 因为离心率为,所以=,解得=,即a2=2b2. ‎ 又△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=‎2a+‎2a=‎4a,,所以‎4a=16,a=4,所以b=2,所以椭圆方程为+=1. ‎ ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）椭圆的内接平行四边形ABCD的各边所在直线的斜率都存在,则直线 AB与直线BC斜率乘积为__________. ‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题 ．（浙江省稽阳联谊学校2013届高三4月联考数学(理)试题（word版） ）已知离心率为的椭圆上有一点,直线与此椭圆交于两点(如图), 若 ‎(I)证明:四边形的对角线不可能垂直; ‎ ‎(II)若直线与的倾斜角互补,记短轴端点到的距离为,求的值.‎ ‎【答案】(I)解:设, ‎ 当时,,所以椭圆方程为,联立直线 ‎ 可得 ‎ 由韦达定理可得,所以 ‎ ‎,, ‎ ‎,故 ‎ 所以四边形OABP的对角线不可能垂直 ‎ ‎(II)与直线OP的倾斜角互补,则有,即,故 ‎ 因为在椭圆上,代入有:,故 ‎ 短轴端点到的距离 ‎ ‎ ‎ 即, ‎ ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,且经过点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点(点与点不重合),‎ 求的值;‎ 当为等腰直角三角形时,求直线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本小题满分15分)[来源:Z、xx、k.Com][来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 如图,已知椭圆,P1、P2是椭圆E的长轴的两个端点(P2位于P1右侧),点F是椭圆E的右焦点,点Q是x轴上位不动声色P2右侧的一点且满足.‎ ‎(1)求椭圆E的方程以及点Q的坐标;‎ ‎(2)过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点,连接AF并延长交椭圆于点C,连结AF并延长交椭圆于点D.[来源:学科网]‎ ‎①求证:B、C关于x轴对称;‎ ‎②当四边形ABCD的面积取得最大值时,求直线l的方程;‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知圆O:,直线l:与椭圆C:相交于P、Q两点,O为原点.‎ ‎(Ⅰ)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A、B两点,且,求直线l的方程;‎ ‎(Ⅱ)如图,若重心恰好在圆上,求m的取值范围.‎ ‎（第21题）‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word版） ）已知椭圆的离心率,是椭圆的右焦点,若不经过原点的直线与椭圆相交于不同的两点、,记直线的斜率分别为,且.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:直线的斜率为定值,并求面积的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）如图,椭圆上的点到左焦点为的最大距离是,已知点 在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交椭圆于、两点,其中在第一象限,它在轴上的 射影为点,直线交椭圆于另一点.‎ 证明:对任意的,点恒在以线段为直径的圆内.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省丽水市2013届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点(2,3),且它的离心率.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 ‎ 由已知得: 解得 ‎ 所以椭圆的标准方程为: ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ‎ ‎(Ⅱ) 因为直线:与圆相切 ‎ 所以, ‎ 把代入并整理得: ‎ ‎ ‎ 设,则有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为, ‎ 所以, ‎ 又因为点在椭圆上, ‎ 所以, ‎ ‎ ‎ 因为 所以 ‎ 所以 ‎ 所以 的取值范围为 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ ‎ ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合,过作与轴垂直的直线与椭圆交于两点,与抛物线交于两点,且.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若过点的直线与椭圆相交于两点,设为椭圆上一点,且满足 为坐标原点),当时,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)设椭圆的半长轴.半短轴.半焦距为,则,且, ‎ ‎,又, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎(2)由题,直线斜率存在,设直线: ,联立,消得: ‎ ‎,由,得 ① ‎ 设,由韦达定理得, ‎ ‎, ‎ 则 ‎ 或(舍)② ‎ 由①②得: ‎ 则的中点 ‎ ‎,得代入椭圆方程得: ‎ ‎,即 ‎ ‎,,即 ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图.直线l:y=kx+1与椭圆C1: 交于A,C两点,A. C在x轴两侧,B,D是圆C2:x2+y2=16上的两点.且A与B. C与D的横坐标相同.纵坐标同号.‎ ‎(I)求证:点B纵坐标是点A纵坐标的2倍,并计算|AB|-|CD|的取值范围;‎ ‎(II)试问直线BD是否经过一个定点?若是,求出定点的坐标:若不是,说明理由.‎ ‎【答案】(I)证明:设,根据题意: ‎ ‎ ∵,同号,∴ ‎ 设,同理可得 ‎ ‎ ∴, ‎ 由 ‎ ‎∵在轴的两侧 ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎【这里的取值范围直接从图中观察得到,照样给分】 ‎ ‎∴ ‎ ‎(II)解:∵直线的斜率 ‎ ‎ ∴直线的方程为 ‎ ‎∵ ∴直线的方程为 ‎ ‎∴直线过定点 ‎ ．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）已知椭圆的右焦点在圆上,直线交椭圆于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)设点关于轴的对称点为,且直线与轴交于点,试问的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由题设知,圆的圆心坐标是,半径是, ‎ 故圆与轴交与两点, ‎ 所以,在椭圆中或,又, ‎ 所以,或(舍去,因为) ‎ 于是,椭圆的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)因为、 ‎ 联立方程 , ‎ 所以, ‎ 因为直线的方程为,令, ‎ 则 ‎ ‎,所以点 ‎ ‎ 解法一: ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 当且仅当即时等号成立. ‎ 故的面积存在最大值 ‎ ‎(或: . ‎ 令, ‎ 则. ‎ 当且仅当时等号成立,此时. ‎ 故的面积存在最大值为 ‎ 解法二: ‎ ‎. ‎ 点到直线的距离是 ‎ 所以, ‎ ‎ ‎ 令, ‎ 则. ‎ 当且仅当时等号成立,此时. ‎ 故的面积存在最大值为 ‎ ．（浙江省杭州二中2013届高三年级第五次月考理科数学试卷）如图,椭圆的左、右焦点分别为,已知点 和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点,(I)若,求直线的斜率;(II)求证:是定值.‎ A B P y x F1‎ F2‎ O ‎【答案】解 (1) 由题设知. ‎ 由点(1,e)在椭圆上,得 ‎ 解得,于是, ‎ 又点在椭圆上,所以,即,解得 ‎ 因此,所求椭圆的方程是 ‎ ‎(2) 由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为, ‎ 直线的方程为.设 ‎ 由得,解得 ‎ 故① ‎ 同理, ② ‎ ‎(ⅰ)由①②得解得, ‎ 因为,故,所以直线的斜率为 ‎ ‎(ⅱ)因为直线与平行,所以,于是 ‎ 故.由点B在椭圆上知 ‎ 从而.同理 ‎ 因此 ‎ ‎ ‎ 又由①②知 ‎ 所以.因此是定值 ‎ ．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）已知椭圆 上的动点到焦点距离的最小值为.以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若过点(2,0)的直线与椭圆相交于两点,为椭圆上一点, 且满足 ‎(为坐标原点).当 时,求实数的值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)由题意知; ‎ 又因为,所以, ‎ 故椭圆的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为,,,, ‎ 由得 ‎ ‎, ‎ ‎,.又由,得, ‎ ‎ ‎ 可得. ‎ 又由,得,则, ‎ 故,即 ‎ 得,,即 ‎ ．（浙江省温州市十校联合体2013届高三上学期期末联考理科数学试卷）给定椭圆,称圆心在坐标原点,半径为的圆是椭圆的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆及其“伴随圆”的方程;‎ ‎(Ⅱ)若过点的直线与椭圆C只有一个公共点,且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为,求的值;‎ ‎(Ⅲ)过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线,使得与椭圆C都只有一个公共点,当直线都有斜率时,试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.‎ ‎【答案】(1)椭圆方程为:; ‎ 椭圆C的“伴椭圆”方程为: ‎ ‎(2)设直线方程为: ‎ 因为截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为, ‎ 所以圆心到直线的距离为 ‎ ‎, ‎ 又得 ‎ ‎ ‎ ‎, ‎ ‎(3)设,直线, ‎ 由(2)可知 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ 又 ‎ 为定值 ‎ ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知椭圆C：(.‎ ‎（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为，求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标 原点），求直线的斜率k的取值范围；‎ ‎（3）如图，过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆()相交于四点，设原点到四 边形一边的距离为，试求时，满足的条件.‎ ‎【答案】解：（1） ‎ ‎（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：‎ 由得.‎ ‎,（1）‎ 又 由 ∴‎ 所以 ‎（2）由（1）（2）得。‎ ‎（3）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等。‎ 当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为，由d=1得，……‎ 当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，，则直线RQ的斜率为，‎ 由，得(1)，同理 ‎(2)在Rt△OPQ中，由，即 所以，化简得， ，即。‎ 综上，d=1时a,b满足条件 ．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）（本小题满分15分）已知点，过点作抛物线的切线，切点 在第二象限，如图．‎ ‎（1）求切点的纵坐标；‎ ‎(2)若离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线交椭圆的另一点为，记切线的斜率分别为，若，求椭圆方程．‎ ‎（第21题图）‎ ‎【答案】解：(1)设切点，且，ks**5u 由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，‎ ‎，即点的纵坐标． ‎ ‎(2)由(Ⅰ) 得，切线斜率，‎ 设，切线方程为，由，得，所以椭圆方程为，且过， ‎ 由，‎ ‎，‎ 将，代入得：，所以，‎ 椭圆方程为． ‎ ．（浙江省宁波市十校2013届高三下学期能力测试联考数学（理）试题）如图,椭圆的离心率为,轴被曲线截得的线段长等于的短轴长.与轴的交点为,过坐标原点的直线与相交于点,直线分别与相交于点.‎ ‎(1)求.的方程; (2)求证:.‎ ‎(3)记的面积分别为,若,求的取值范围.‎ M x y A B O D E ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知椭圆 的离心率为;直线过点,,且与椭圆相切于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点、,使得 ‎ ? 若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ)由题得过两点,直线的方程为 ‎ 因为,所以,. ‎ 设椭圆方程为, ‎ 由消去得,. ‎ 又因为直线与椭圆相切,所以,解得. ‎ 所以椭圆方程为 ‎ ‎(Ⅱ)易知直线的斜率存在,设直线的方程为, ‎ 由消去,整理得 ‎ 由题意知, ‎ 解得 ‎ 设,,则, ‎ 又直线与椭圆相切, ‎ 由解得,所以 ‎ 则. 所以. ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以,解得.经检验成立. ‎ 所以直线的方程为 ‎ ．（浙江省考试院2013届高三上学期测试数学（理）试题）如图,F1,F2是离心率为的椭圆 C:(a>b>0)的左、右焦点,直线:x=-将线段F‎1F2分成两段,其长度之比为1 : 3.设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交于P,Q两点,线段AB的中点M在直线l上.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 求的取值范围.‎ ‎(第21题图)‎ O B A x y x＝－‎ ‎2‎ ‎1‎ M F1‎ F2‎ P Q ‎【答案】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分. ‎ ‎(Ⅰ) 设F2(c,0),则=, ‎ 所以c=1. ‎ 因为离心率e=,所以a=. ‎ 所以椭圆C的方程为 ‎ O B A x y x＝－‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎(第21题图)‎ M F1‎ F2‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时,直线AB方程为x=-,此时P(,0)、Q(,0) ‎ ‎. ‎ 当直线AB不垂直于x轴时,设直线AB的斜率为k,M(-,m) (m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2). ‎ 由 得 ‎ ‎(x1+x2)+2(y1+y2)=0, ‎ 则-1+4mk=0,故k=. ‎ 此时,直线PQ斜率为,PQ的直线方程为 ‎ ‎. ‎ 即 . ‎ 联立 消去y,整理得 . ‎ 所以,. ‎ 于是(x1-1)(x2-1)+y1y2 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 令t=1+‎32m2‎,10,当t∈(-1,2)时,f’(t)<0,f(t)=-1时取得最大值, ‎ 所以S的最大值为.此时x1+x2=-t=1=-2,=3 ‎ ．（【解析】浙江省镇海中学2013届高三5月模拟数学（理）试题）已知斜率为的直线交椭圆于两点.‎ ‎(1)记直线的斜率分别为,当时,证明:直线过定点;‎ ‎(2)若直线过点,设与的面积比为,当时,求的取值范围.‎ ‎【答案】解: (1)解法1:依题意可设直线的方程为,其中. ‎ ‎ ‎ 由条件有,而,则有, ‎ 从而直线过定点或 ‎ 解法2:依题意可设直线的方程为, ‎ 代入椭圆方程得:, ‎ 则有 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 由条件有,得 ‎ 则直线的方程为,从而直线过定点或 ‎ ‎(2)依题意可设直线的方程为,其中. ‎ 代入椭圆方程得:, ‎ 则有 ‎ 从而有① ‎ ‎② ‎ 由①②得, ‎ 由,得 ‎ 又,因,故,又, ‎ 从而有,得, ‎ 解得或 ‎