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- 2021-04-21 发布
2018年丹东市高三总复习质量测试（二）
理科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则
A． B． C． D．
2．复数的模
A． B． C． D．
3．圆心为的圆与圆相外切，则的方程为
2
2
1
1
A．
B．
C．
D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
5．已知△的面积为，三个内角，，的对边分别为，，，若
，，则
A．2 B．4 C． D．
开始
否
是
输出
结束
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有
人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关
四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.
源于问题所蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，
运行此程序，输出的值为
A．4
B．5
C．6
D．7
7．为了考查考生对于“数学知识形成过程”的掌握情况，某高校自主招生考试面试中的一个问题是：写出对数的换底公式，并加以证明．甲、乙、丙三名考生分别写出了不同的答案．公布他们的答案后，三考生之间有如下对话，甲说：“我答错了”；乙说：“我答对了”；丙说：“乙答错了”．评委看了他们的答案，听了他们之间的对话后说：你们三人的答案中只有一人是正确的，你们三人的对话中只有一人说对了．根据以上信息，面试问题答案正确、对话说对了的考生依次为
A．乙、乙 B．乙、甲 C．甲、乙 D．甲、丙
8．若函数存在最小值，则的取值范围为
A． B． C． D．
9．设，若，则
A． B． C． D．
10．若点满足不等式组，则的取值范围为
A． B．
C． D．
11．设，则函数
A．仅有一个极小值 B．仅有一个极大值
C．有无数个极值 D．没有极值
12．设是△所在平面上的一点，若，则
的最小值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
50
60
70
根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销
售额的预报值为 万元．
14．若，则的值为 ．
15．已知，，是半径为2的球表面上三点，若，，，
则三棱锥的体积为 ．
16．双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，
为半径的圆与的右支相交于，两点，若△的一个内角为，
则的渐近线方程为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
为数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和满足，求实数的取值范围．
18．（12分）
近年来，双十一购物狂欢节（简称“双11”）活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家为制定2018年“双11”活动营销策略，调查了2017年“双11”活动期间每位网购客户用于网购时间（单位：小时），发现近似服从正态分布．
（1）求的估计值；
（2）该商家随机抽取参与2017年“双11”活动的10000名网购客户，这10000名客户在2017年“双11”活动期间，用于网购时间属于区间的客户数为．该商家计划在2018年“双11”活动前对这名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户0.05元．
（i）求该商家所发广告总费用的平均估计值；
（ii）求使取最大值时的整数的值．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
A
B
C
D
19．（12分）
如图，在四面体中，， ．
（1）证明：；
（2）若，，四面体的体积为2，求二面角的余弦值．
20．（12分）
已知为椭圆：长轴上的一个动点，过点的直线与交于，两点，点在第一象限，且．
（1）若点为的下顶点，求点的坐标；
（2）若为坐标原点，当△的面积最大时，求点的坐标．
21．（12分）
设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在正数，使得当时，，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系中，将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，再把所得曲线上每一点向下平移1个单位得到曲线．以为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出的参数方程和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求使取最小值时点的直角坐标．
23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）
设函数，若，．
（1）证明：；
（2）比较与的大小．
2018年丹东市高三总复习质量测试（二）
理科数学参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．B 5．A 6．C
7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．C
二、填空题
13．85 14．36 15． 16．
三、解答题
17．解：
（1）由，可知．可得，易知，于是．
又，得．
所以是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为．
…………（6分）
（2）由可知．
于是．
不等式可化为．因为，所以，故．
因此实数的取值范围为．
…………（12分）
18．解：
（1）因为，，，所以 ．
…………（4分）
（2）（i）．依题意
，所以．
故商家广告总费用的估计值为（元）．
…………（8分）
（ii）．
设最大，则，即，解得．
因为，所以使取最大值时的整数． …………（12分）
19．解法1：
（1）如图，作Rt△斜边上的高，连结．
因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．所以平面，于是． …………（6分）
z
x
y
A
B
C
D
E
（2）在Rt△中，因为，，所以，， ，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，，，所以平面．
…………（8分）
以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则， ，，，，，．
设是平面的法向量，则，即，可取．
设是平面的法向量，则，即，可取．
因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
…………（12分）
解法2：
（1）因为，，所以Rt△≌Rt△．可得．
设中点为，连结，，则，，所以平面，，于是． …………（6分）
A
B
C
D
E
F
（2）在Rt△中，因为，，所以△面积为．设到平面距离为，因为四面体的体积，所以．
在平面内过作，垂足为，因为，，所以．由点到平面距离定义知平面．
【到此，可再用解法1中的向量解法求解．下面我们用非向量解法求解．】
因为，所以．因为，，所以，，所以，即二面角的余弦值为．
…………（12分）
20．解：
（1）易知，由可得点的纵坐标为．
由点在上，得的横坐标为．从而方程为，令得，点的坐标为． …………（5分）
（2）由题意可设，：，与联立，可得，．
设，，则．由得，所以，．
因为，所以，得．
△的面积，当且仅当时等号成立，此时，满足．
因为，所以，故点的坐标为．
…………（12分）
21．解：
（1）．
当时，，上单调递增．
当时，若，则，若，则；所以在单调递增，在上单调递减． …………（4分）
（2）若，在内单调递增，当时，，所以，即.
设，.
若，时，，在单调递增.所以当时，，故存在正数，使得当时，.
若，当时，，在单调递减，因为，所以.故不存在正数，使得当时，.
若，在单调递减，因为，所以存在，使得当时，，可化为，即.
设，.
若，则时，，在单调递增，又，所以时，.故不存在正数，使得当时，.
当时，当时，，在单调递减，又，所以.故存在，使得当时，.
综上，实数的取值范围为． …………（12分）
22．解：
（1）：为，其参数方程为（为参数）．
：，其直角坐标方程为．
…………（5分）
（2）由（1）可设，由于是直线，所以的最小值，
就是到距离的最小值．
，当时，取最小值，最小值为．此时的直角坐标为． …………（10分）
23．解：
（1），由得．
从而，，．所以．
…………（5分）
（2）．
由（1）得， ，所以，故．
…………（10分）