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- 2021-04-21 发布
2019高二下期期末考试
数 学 试 题 卷（理科）
第I卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，,则（ ）
A． B． C． D．
2. “”是“函数在区间内单调递减”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件
3. 下列说法中正确的是 （ ）
A．“” 是“函数是奇函数” 的充要条件
B．若，则
C．若为假命题，则均为假命题
D．“若，则” 的否命题是“若，则”
4.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5.二项式的展开式中的系数为，则（ ）
A. B. C. D.2
6. 已知是周期为4的偶函数，当时，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）
A. B. 3
10
C. D.
8. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：
时间
周一
周二
周三
周四
周五
www.ziyuanku.com车流量（万辆）
100
102
108
114
116
浓度（微克）
78
80
84
88
90
根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（ ）
A. B. C. D.
参考公式：，；参考数据：，；
9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A.72 B. 120 C. 144 D. 168
10. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为( )
A． B．4 C． D．9
11.设函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
12.（原创）已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则
10
（ ）
www.ziyuanku.comA. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. 若幂函数的图像过点，则的值为 .
14．在中，，，，则的面积等于 .
15．（原创）若关于的不等式（，且）的解集是，则的取值的集合是 ．
16．已知函数，若，则实数的取值范围为 .
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）（原创）已知函数，函数，记集合.
（I）求集合；
（II）当时，求函数的值域.
18．（本题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：，，，
（I）从中任意拿取张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
（II）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.
10
19．（本题满分12分）（原创）如图，已知长方形中，，，为的中点．将沿折起，使得平面⊥平面．
（I）求证：；
（II）若点是线段上的一动点，当二面角的余弦值为时，求线段的长．
ziyuanku.com
20．（本题满分12分）（原创）已知椭圆的左右焦点分别为，直线经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，且.
（I）求直线的方程；
（II）已知过右焦点的动直线与椭圆交于不同两点，是否存在轴上一定点，使？（为坐标原点）若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.
21．（本题满分12分）（原创）设函数，，(其中).
（I）当时,求函数的极值;
（II）求证：存在，使得在内恒成立，且方程在内有唯一解.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22． （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的方程为，圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（I）求直线与圆的交点的极坐标；
（II）若为圆上的动点，求到直线的距离的最大值．
10
2．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知函数，不等式的解集为.
（I）求实数m的值；
（II）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
10
凌源二高中2017-2018高二下期期末考试
理科数学答案
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1~5：BADCA；6~10：DCBBA；11~12：BC
12题解：在中，令得，在中，令得；
在中，令得，在中，令得，；
当时，，所以当时，恒有
在中，令得，在中，令得，当时，，所以当时，恒有，
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13. ；14.;15．;16．.
三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）解：（I）即，，令，即有
得，，，解得；
（II），令
则，二次函数的对称轴，
18．（本题满分12分）解：(Ⅰ) 为奇函数；为偶函数；
10
为偶函数；为奇函数;为偶函数；为奇函数，所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为，故所求概率.
(Ⅱ) 可取 ；; ； 故的分布列为
.
的数学期望为.
19．（本题满分12分）
（I）证明：∵长方形中，，
为的中点，，故
∴∵∴.
（II）建立如图所示的直角坐标系，则
平面的一个法向量，设
，设平面AME的一个法向量为
ziyuanku.com取，得 得，而
则，得，解得
因为，故.
20．（本题满分12分）
10
解：（I）设的方程为与椭圆联立得
直线经过椭圆内一点，故恒成立，设，则，
，
解得，的方程为或；
解2：由焦半径公式有，解得.
（II）设的方程为与椭圆联立：，由于过椭圆内一点，
假设存在点符合要求，设，韦达定理：
，点在直线上有
，即，，
解得.
21．（本题满分12分）
解：（I）当时, ,
令,得,,当变化时,的变化如下表:
极大值
极小值
由表可知,；；
10
（II）设，，，若要有解，需有单减区间，则要有解
，由，，记为函数的导数
则，当时单增，令，由，得，需考察与区间的关系：
①当时，，，在上，单增，
故单增，，无解；
②当，时，，，因为单增，在上，在上
当时，
（i）若，即时，，单增，，无解；
（ii）若，即，，在上，，单减；，，在区间上有唯一解，记为；在上，单增 ，，当时，故在区间上有唯一解，记为，则在上，在上，在上，当时，取得最小值，此时
若要恒成立且有唯一解，当且仅当，即，由有
联立两式解得.综上，当时，
10
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I）直线:,圆:
联立方程组,解得或
对应的极坐标分别为,.
（II）设,则,
当时,取得最大值.
23．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
解：（I）由已知得，得，即
（II）得恒成立
（当且仅当时取到等号）
解得或 ，故的取值范围为 或
10