【数学】2020届一轮复习人教版（理）第12章第1讲坐标系作业 4页

A 组　基础关 1．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P( 2，π 4)，圆心为直线 ρsin(θ－π 3)＝－ 3 2 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程． 解　在 ρsin(θ－π 3)＝－ 3 2 中， 令 θ＝0，得 ρ＝1，所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆 C 经过点 P( 2，π 4)， 所以圆 C 的半径 PC＝ ( 2)2＋12－2 × 1 × 2cos π 4 ＝1， 于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ. 2．设 M，N 分别是曲线 ρ＋2sinθ＝0 和 ρsin(θ＋π 4)＝ 2 2 上的动点，求 M，N 的最小距离． 解　因为 M，N 分别是曲线 ρ＋2sinθ＝0 和 ρsin (θ＋π 4)＝ 2 2 上的动点，即 M，N 分别是圆 x2＋y2＋2y＝0 和直线 x＋y－1＝0 上的动点，要求 M，N 两点间 的最小距离，即在直线 x＋y－1＝0 上找一点到圆 x2＋y2＋2y＝0 的距离最小，即 圆心(0，－1)到直线 x＋y－1＝0 的距离减去半径，故最小值为|0－1－1| 2 －1＝ 2 －1. 3．(2019·甘肃省会宁二中模拟)在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程是 Error!(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知 曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0. (1)求直线 l 的极坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 AB 的长． 解　(1)由Error!得 y＝ 3x， ∴在平面直角坐标系中， 直线 l 经过坐标原点，倾斜角是π 3 ， 因此，直线 l 的极坐标方程是 θ＝π 3(ρ∈R)． (2)把 θ＝π 3 代入曲线 C 的极坐标方程 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0，得 ρ2－ 3ρ－3＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 ρ1＋ρ2＝ 3，ρ1ρ2＝－3， ∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ (ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝ ( 3)2－4 × (－3)＝ 15. 4．在直角坐标系 xOy 中，圆 C1 的参数方程为 Error!(φ1 是参数)，圆 C2 的参数方程为Error!(φ2 是参数)，以 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆 C1，圆 C2 的极坐标方程； (2)射线 θ＝α(0≤α<2π)同时与圆 C1 交于 O，M 两点，与圆 C2 交于 O，N 两 点，求|OM|＋|ON|的最大值． 解　(1)圆 C1：(x－ 3)2＋y2＝3，圆 C2：x2＋(y－1)2＝1，故圆 C1：ρ＝2 3 cosθ，圆 C2：ρ＝2sinθ. (2)当 θ＝α 时，点 M 的极坐标为(2 3cosα，α)，点 N 的极坐标为(2sinα，α)，∴ |OM|＋|ON|＝2 3cosα＋2sinα， ∴|OM|＋|ON|＝4sin(α＋π 3)，∵π 3 ≤α＋π 3<7π 3 ， ∴当 α＋π 3 ＝π 2 ，即 α＝π 6 时，|OM|＋|ON|取得最大值 4. B 组　能力关 1．以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已 知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ 2 1－sinθ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点 O 作直线 l 交曲线 C 于点 P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线 l 的极坐 标方程． 解　(1)∵ρ＝ x2＋y2，ρsinθ＝y， ∴ρ＝ 2 1－sinθ 化为 ρ－ρsinθ＝2， ∴曲线的直角坐标方程为 x2＝4y＋4. (2)设直线 l 的极坐标方程为 θ＝θ0(ρ∈R)， 根据题意 2 1－sinθ0 ＝3· 2 1－sin(θ0＋π)， 解得 θ0＝π 6 或 θ0＝5π 6 ， ∴直线 l 的极坐标方程为 θ＝π 6(ρ∈R)或 θ＝5π 6 (ρ∈R)． 2．(2018·贵州适应性测试)在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4cosθ，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos2θ＝sinθ. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)过原点且倾斜角为 α (π 6 < α ≤ π 4)的射线 l 与曲线 C1，C2 分别相交于 A，B 两点(A，B 异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围． 解　(1)由曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos2θ＝sinθ， 两边同乘以 ρ，得 ρ2cos2θ＝ρsinθ， 故曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＝y. (2)射线 l 的极坐标方程为 θ＝α，π 6<α≤π 4 ， 把射线 l 的极坐标方程代入曲线 C1 的极坐标方程得 |OA|＝ρ＝4cosα， 把射线 l 的极坐标方程代入曲线 C2 的极坐标方程得 |OB|＝ρ＝ sinα cos2α ， ∴|OA|·|OB|＝4cosα· sinα cos2α ＝4tanα. ∵π 6<α≤π 4 ，∴|OA|·|OB|的取值范围是(4 3 3 ，4]. 3．在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝0，圆 C2：(x－1)2＋(y－1－ 2)2＝ 1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π 4(ρ∈R)，设 C1 与 C2 的交点为 A，C2 与 C3 的交点为 B，求△OAB 的面积． 解　(1)因为 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以 C1 的极坐标方程为 ρcosθ＝0，即 θ＝π 2(ρ∈R)，C2 的极坐标方程为 ρ2－ 2ρcosθ－2(1＋ 2)ρsinθ＋(3＋2 2)＝0. (2)将 θ＝π 2 代入 ρ2－2ρcosθ－2(1＋ 2)ρsinθ＋(3＋2 2)＝0，得 ρ 2－2(1＋ 2)ρ＋(3＋2 2)＝0， 解得 ρ1＝1＋ 2. 将 θ＝π 4 代入 ρ2－2ρcosθ－2(1＋ 2)ρsinθ＋(3＋2 2)＝0， 得 ρ2－2(1＋ 2)ρ＋(3＋2 2)＝0， 解得 ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为1 2 ×(1＋ 2)2× sinπ 4 ＝1＋3 2 4 . 4．(2018·郑州模拟)在极坐标系中，曲线 C1，C2 的极坐标方程分别为 ρ＝－ 2cosθ，ρcos(θ＋π 3)＝1. (1)求曲线 C1 和 C2 的公共点的个数； (2)过极点作动直线与曲线 C2 相交于点 Q，在 OQ 上取一点 P，使|OP|·|OQ|＝ 2，求点 P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形． 解　(1)C1 的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1，0)，半径 为 1 的圆，C2 的直角坐标方程为 x－ 3y－2＝0，所以曲线 C2 为直线，由于圆 心到直线 C2 的距离为 d＝3 2>1，所以直线与圆相离，即曲线 C1 和 C2 没有公共 点． (2)设 Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则Error!即Error!① 因为点 Q(ρ0，θ0)在曲线 C2 上， 所以 ρ0cos(θ0＋π 3)＝1，② 将①代入②，得 2 ρcos(θ＋π 3)＝1， 即 ρ＝2cos (θ＋π 3)为点 P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为 (x－1 2)2 ＋ (y＋ 3 2 )2＝1，因此点 P 的轨迹是以(1 2 ，－ 3 2 )为圆心，1 为半径的圆．