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- 2021-04-21 发布
湖南省岳阳县2017-2018学年高二上学期期末考试
数学（理科）
时量：120分钟 分值：150分钟
一、选择题(本题共12x5=60分，在每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“”的否定是( ）
A．， B．，
C．， D.,
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名.现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．4 B．6 C．10 D.
3. 复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D.
4. 若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是（ ）
A． B． C． D.
5．一组数据的平均数是2，方差是3，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A． 12, 13 B．12, 3 C． 2, 3 D. 2, 13
6．已知抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则 的值为（ ）
A．4 B． C．8 D.
7. （ ）
A．2 B．5 C．6 D.7
8. 用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a，b，c至少有两个偶数 B.假设a， b，c都是奇数
C．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 D．假设a，b，c都是偶数
9. 若函数在（0,2）内有极小值，则（ ）
A． B． C． D.
10. 已知为椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，若 ，则=（ ）
A．2 B．4 C．6 D.8
11．已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D.
12．函数与它的导函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）．
A． B．，
C． D. ，
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．)
13．
14.设二项式的展开式中常数项为 = .
15.在区间（0,2）上随机取出两个数，则两数之和小于1的概率为
16.抛物线的焦点为，准线为， 是抛物线上两个动点且满足
，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知命题：“不等式对任意恒成立”，命题：“方程表示焦点在ｘ轴上的椭圆”，若为真命题，为真，求实数的取值范围．
18．(本小题满分12分)某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（1）从甲班抽取3名学生其中恰有1人及格的抽取方法有多少种？
（2）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，恰有2人及格的抽取方法有多少种？
（3）从甲班抽取3名学生至少有一人及格的概率为多少？
19．(本小题满分12分) 某同学对他家经营的奶茶店某时间段的奶茶销售量及其价格进行了调查， 统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：
价格x（元）
销售量y（杯）
通过分析， 发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系.
（1）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；
（2）欲使销售量为杯， 则价格应定为多少?
参考公式： . 参考数据：
20．如图,直棱柱中,D、E分别是的中点,.
(Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值.
21．(本小题满分12分) 椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点 的距离为2。
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率 的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。
22.(本小题满分12分)已知函数R，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
湖南省岳阳县2017-2018学年高二上学期期末考试
数学（理科） 答 案
时量：120分钟 分值：150分钟
一、选择题(本题共12x5=60分，在每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“”的否定是( D ）
A．， B．，
C．， D.,
2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有名，高二年级有名.现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( A )
A．4 B．6 C．10 D.
3. 复数 的共轭复数是（ A ）
A． B． C． D.
4.若下面框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是（ C ）
A. B. C. D.
5．一组数据的平均数是2，方差是3，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(B )
A． 12, 13 B．12,3 C． 2, 3 D. 2, 13
6．已知抛物线的焦点恰好为双曲线的一个焦点，则 的值为（ C ）
A．4 B． C．8 D.
7. （ D ）
A．2 B．5 C．6 D.7
8. 用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（C ）
A．假设a，b，c至少有两个偶数 B.假设a， b，c都是奇数
C．假设a，b，c都是奇数或至少有两个偶数 D．假设a，b，c都是偶数
9. 若函数在（0,2）内有极小值，则（ C ）
A． B． C． D.
10. 已知为椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，若 ，则=（ B ）
A．2 B．4 C．6 D.8
11．已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A． B． C． D.
12．函数与它的导函数的图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ D ）．
A． B．，
C． D. ，
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．)
13．
14.设二项式的展开式中常数项为 = -10 .
15.在区间（0,2）上随机取出两个数，则两数之和小于1的概率为
16.抛物线的焦点为，准线为， 是抛物线上两个动点且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 1 【解析】
设，连接，由抛物线定义，得，在梯形中， ，由余弦定理得， ，配方得，又， ，得到，即的最大值为，
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知命题：“不等式对任意恒成立”，命题：“方程表示焦点在ｘ轴上的椭圆”，若为真命题，为真，求实数的取值范围．
【答案】
试题解析：因为 为真：；
为真： 4分
因为为真命题，为真，所以假真，
则的取值范围是. 10分
18．(本小题满分12分)某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．
（1）从甲班抽取3名学生其中恰有1人及格的抽取方法有多少种？
（2）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，恰有2人及格的抽取方法有多少种？
（3）从甲班抽取3名学生至少有一人及格的概率为多少？
试题解析：1)
2)
3)
19．(本小题满分12分) 某同学对他家经营的奶茶店某时间段的奶茶销售量及其价格进行了调查， 统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：
价格x（元）
销售量y（杯）
通过分析， 发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系.
（1）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；
（2）欲使销售量为杯， 则价格应定为多少?
参考公式： . 参考数据：
【答案】（1）y=-4x+32（2）4.75元
【解析】试题分析：（1）根据回归系数公式计算回归系数；
（2）把 代入回归方程计算x．
20．如图,直棱柱中,D、E分别是的中点,.
(Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)求二面角的正弦值.
【答案】
21．(本小题满分12分) 椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点F与点 的距离为2。
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在斜率 的直线使直线与椭圆相交于不同的两点M,N满足，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由。
【答案】(1) (2) 存在;或。
【解析】
试题分析：(1) 依题意，设椭圆方程为，然后解关于a、b、c的方程组即可．
(2) 由知点在线段的垂直平分线上，由消去得
转化为方程有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系，代入方程求出k即可．
(1)依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为 ，由，得，即，解得。 又 ∵ ，∴ ，即椭圆方程为。 (4分)
（2）方法一:由知点在线段的垂直平分线上，由消去得即 （*） ( 5分)
由,得方程(*)的,即方程(*)有两个不相等的实数根。 (6分)
设、，线段MN的中点，则，，
，即
，∴直线的斜率为， (9分)
由，得，∴ ，解得：， (11分)
∴ l的方程为或。 ( 12分)
方法二:直线l恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, ∴不妨设M(0,-2), 则|AM|=4 (6分)
∴|AN|=4, 故N在以A为圆心, 4为半径的圆上,即在的图像上．
联立 化简得 ,解得 (8分)
当y=-2时,N和M重合,舍去．当y=0时,, 因此 (11分)
∴ l的方程为或。 ( 12分)
22.(本小题满分12分)已知函数R，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（1）由点处的切线方程为，可得，又过点，可分别建立关于的方程组，求解可得解析式；
（2）由题为恒成立问题，可先进行变量分离，再构建函数，运用导数转化为最值问题而解决．
试题解析：（Ⅰ）∵， ∴．
∵直线的斜率为，且曲线过点，
∴即解得．所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得当时，恒成立即 ，等价于．
令，则．
令，则．
当时，，函数在上单调递增，故．
从而，当时，，即函数在上单调递增， 故．
因此，当时，恒成立，则．∴ 的取值范围是
考点：1．导数的几何意义及方程思想；2．恒成立问题与最值思想；