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- 2021-04-21 发布
北京市陈经纶中学期中考试
高一年级数学学科
一、选择题：（本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式，再利用几何概型的概率求解.
【详解】由题得，即且，
，，，，
在区间，内，满足发生的概率为.
故选：C
【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2.下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A．，则；，可能相等，错误；
B．，因为时不成立；所以错误；
C．，则成立，结论正确．
D．，则应该为；，错误．
考点：基本不等式及均值不等式的应用．
3.如果一个底面半径和母线长均为圆柱的全面积（侧面积与两个底面面积的和）与一个半径为的球的表面积相等，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意求出球及圆柱的表面积，通过相等即可得到和的大小关系．
【详解】由题意得，圆柱的全面积；
半径为的球的表面积；
根据；
．
故选：．
【点睛】本题主要考查球、圆柱的表面积的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
4.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）
A. BD与CF成60°角 B. BD与EF成60°角 C. AB与CD成60°角 D. AB与EF成60°角
【答案】C
【解析】
试题分析：由正方体的平面展开图，还原成正方体，利用正方体的结构特征，得到BD与CF成0°角，BD与EF成90°角，AB与CD成60°角，AB与EF成90°角．
解：由正方体的平面展开图，
还原成如图所示的正方体，
∵BD∥CF，∴BD与CF成0°角，故A错误；
∵BD∥平面A1EDF，EF⊂平面A1EDF，
∴BD与EF成90°角，故B错误；
∵AE∥CD，∴∠BAE是AB与CD所成角，
∵△ABE是等边三角形，∴∠BAE=60°，
∴AB与CD成60°角，故C正确；
∵AB∥A1D，又A1D⊥EF，
∴AB与EF成90°角，故D错误．
故选C．
考点：异面直线及其所成的角．
5.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A. 316岁 B. 32.6岁 C. 33.6岁 D. 36.6岁
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据频率分布直方图中频率之和为计算出数据位于的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．
【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，
所以，数据位于的频率为，
前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，
所以，中位数位于区间，设中位数为，
则有，解得（岁），故选C．
【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．
6.从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）
A. B. C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的体积．
【详解】由题意可知几何体是四棱锥，如图，
所以几何体的体积是两个三棱锥的体积的和，
即．
故选：C
【点睛】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力计算能力．
7.欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选择，两个观测点，观察对岸的点，测得，，米，由此可得河宽约为（ ）（精确到1米，参考数据：，）
A. 170米 B. 110米 C. 95米 D. 80米
【答案】C
【解析】
【分析】
利用正弦定理计算，得出的面积，根据面积求出到的距离即可．
【详解】在中，，
由正弦定理得：，
，
，
到的距离．
故选：．
【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，考查正弦定理和三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8.某次测试成绩满分是为150分，设名学生的得分分别为，为名学生中得分至少为分的人数.记为名学生的平均成绩，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设，这2名学生的得分分别为150，150．则这2名学生中得分至少为分的人数分别为：2，2，，2，2．一共有150个“2”，计算的值，再对照选项即可得到答案．
【详解】利用特殊法解决．
假设，这2名学生的得分分别为150，150．
则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：，
这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：，
这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：，
这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：，
即这2名学生中得分至少为分的人数分别为：
2，2，，2，2．一共有150个“2”，
从而得分的同学会被记次，所有的和恰好是所有人得分的总和，
即，
从而．
．
对照选项，只有（A）正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9.某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男女生人数如下表所示，已知在全年级中随机抽取1名学生，抽到二班女生的概率是0.2，则_________.现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为________.
一班
二班
三班
女生人数
20
男生人数
20
20
【答案】 (1). 24 (2). 9
【解析】
【分析】
由于每个个体被抽到的概率都相等，由，可得得的值．先求出三班总人数为 36，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，求出每个学生被抽到的概率为，用三班总人数乘以此概率，即得所求．
【详解】由题意可得，解得．
三班总人数为，用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，每个学生被抽到的概率为，
故应从三班抽取的人数为，
故答案为： 24； 9．
【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．
10.在△中，，，，则______；△的面积是______．
【答案】3 ；
【解析】
试题分析：由余弦定理得，即，得，，.
考点：余弦定理，三角形面积公式.
11.正三角形ABC的边长为，那么△ABC的平面直观图△的面积为____.
【答案】
【解析】
【分析】
在平面直角坐标系中和斜坐标系中分别画出等边三角形和等边三角形的直观图，根据斜二测画法可以得到直观图的高，从而求出直观图的面积.
【详解】如图，建立平面直角坐标系和斜坐标系，则
则，填.
【点睛】本题考查斜二测画法，一般地，平面图形的面积与其直观图的面积满足.
12.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行
了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图
（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1、s2、s3，则它们的大小关系
为 .（用“＞”连接）
【答案】
【解析】
【详解】甲数据的平均值为
，同理，乙数据的平均值为
，丙数据的平均值为，可见甲、乙、丙三者的平均值都处在频率分布直方图的最中间一列，此时，若越靠近中间列所占的频率越大，则相应的方差越小，明显丙的中间列及附近列所占的频率最大，其次是乙，甲中间列及附近列所占的频率最小，故.
13.《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结合几何关系，可求得外接球的半径，，代入公式即可求球的表面积．
【详解】本题主要考查空间几何体．
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，
，，，．
因为为直角三角形，
因此或（舍）．
所以只可能是，
此时，因此，
所以平面所在小圆的半径即为，
又因为，
所以外接球的半径，
所以球的表面积为．
【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．
14.如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点.当在平面上的正投影都为三角形时，将它们的面积分别记为.
(i) 当时，____（填“>”或“=”或“<”）；
(ii) 的最大值为____.
【答案】 (1). = (2).
【解析】
如图，因，，故，同理可得，所以，则，特别地当点在的中点时，三个面的面积最大且，所以，即最大值是，应填答案＝，．
点睛：解答本题的关键是搞清楚在正方体的各个面上的高的关系，再运用三角形的面积进行求解，进而进行比较，并求出其最大值．求解时借助三角形的相似比相等建立等量关系，最后证得其在各个侧面上的射影三角形的高相等，则面积相等，特别地当点在的中点时，三个三角形的面积都相等且最大，从而使得问题获解．
三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.在中，已知.
（1）求角；
（2）若，的面积是，求.
【答案】（1）；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）化简即得A的值；（2）先根据已知求出，再利用余弦定理求出，即得解.
【详解】（1）由题得.
因为,所以.
（2）由题得.
由余弦定理得,
所以.因为,
所以AB=2.
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16.2017年冬，北京雾霾天数明显减少，据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70天.重度污染的天数仅有4天.
主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产.为了解农村地区实施煤改气工程后天然气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间围内，将数据按区间列表如下：
分组
频数
频率
14
0.14
55
0.55
4
0.04
2
0.02
合计
100
1
（1）求表中，的值；
（2）若同组中的每个数据用该组区间中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；
（3）从用量高于3千立方米的用户中任选2户，进行燃气使用的满意度调查，求这2户用气量处于不同区间的概率.
【答案】（1）x=25，m=0.25;（2）2.05；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由频率分布表能求出表中，的值；（2）由频率分布表能估计该乡镇每户月平均用气量；（3）设，组内数据为，，，，组内数据为：，，从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户，利用列举法能求出这2户用气量处于不同区间的概率．
【详解】（1）由频率分布表得：，．
（2）由频率分布表估计该乡镇每户月平均用气量为：
．
（3）设，组内数据为，，，，组内数据为：，，
从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户的基本事件空间为
，，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况.
设随机抽取2户不在同一组为事件，
则中共有：，，，，，，，共有8种情况
这2户用气量处于不同区间的概率（A）．
点睛】本题考查平均值、概率的求法，考查频率分布表、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
17.，，三班共有140名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）
6.5
7
75
7
8
9
10
11
4.5
6
7.5
9
10.5
12
（1）试估计班的学生人数；
（2）从班和班抽出的人数中，各随机选取一人，班选出的人记为甲，班选出的人记为乙，假设所有学生锻炼时间互不影响，求该周甲锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
（3）再从，，三班中各随机抽取一名学生，设新抽取的学生该周锻炼时间分别为7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不需要证明）.
【答案】（1）60；（2）；(3) .
【解析】
【分析】
由已知先计算出抽样比，进而可估计班的学生人数；（2）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）根据平均数的定义，可判断出．
【详解】由题意得：三个班共抽取14个学生，其中班抽取6个，
故抽样比，
故班有学生人.
（2）从从班和班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有种情况，而且这些情况是等可能发生的.
当甲锻炼时间为65时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；
当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；
当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况.
故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率.
（3）．
【点睛】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18.已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，.
（1）若，求；
（2）试比较与的值得大小关系并给出证明；
（3）若，试判断是否存在最大，最小值？若存在，请分别求出.
【答案】（1）；（2）相等，证明见解析；（3）有最大值，没有最小值.
【解析】
【分析】
（1）先求出B=C，,再求出tanA的值得解；（2）对化简即得解；（3）化简得，再利用二次函数求函数的最值得解.
【详解】（1）由题得,
所以B=C，,
所以,
所以
（2）
.
（3）若，所以,,
因为.
设，
所以时，取最大值，没有最小值.
所以有最大值，没有最小值.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.