数学北师大版（2019）必修第二册：6-4-2 平面与平面平行 学案与作业 13页

4.2 平面与平面平行 (15 分钟 30 分) 1.下列说法中正确的是 ( ) A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平 行 B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面 平行 C.如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面 平行 D.如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行 【解析】选 C.如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC∥平面 A1C1,但平面 A1C1 与平面 BC1 相交, 故 A 错误;同理平面 BC1 中有无数条直线与平面 A1C1 平行,但平面 A1C1 与 平面 BC1 相交,故 B 错误;又 AD∥平面 A1C1,AD∥平面 BC1,但平面 BC1 与平 面 A1C1 相交,故 D 错误. 【补偿训练】 在正方体 EFGH-E1F1G1H1 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截面 是 ( ) A.平面 E1FG1 与平面 EGH1 B.平面 FHG1 与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1 与平面 EH1G 【解析】选 A.在平面 E1FG1 与平面 EGH1 中,因为 E1G1∥EG,FG1∥EH1, 且 E1G1∩FG1=G1,EG∩EH1=E,故平面 E1FG1∥平面 EGH1. 2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AB,CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线 ( ) A.不存在 B.有 1 条 C.有 2 条 D.有无数条 【解析】选 D.显然平面 D1EF 与平面 ADD1A1 相交,则在平面 ADD1A1 内与这 两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条,这些直线都与平面 D1EF 平行. 3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1 内的一个动点,且有平面 BDM∥平面 A1C,则动点 M 的轨迹是 ( ) A.平面 B.直线 C.线段,但只含 1 个端点 D.圆 【解析】选 C.因为平面 BDM∥平面 A1C, 平面 BDM∩平面 A1B1C1=DM, 平面 A1C∩平面 A1B1C1=A1C1,所以 DM∥A1C1, 过 D 作 DE1∥A1C1 交 B1C1 于 E1,则点 M 的轨迹是线段 DE1(不包括点 D). 4.过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1,C1,B 的平面与底面 ABCD 所在 平面的交线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是________. 【解析】因为过 A1,C1,B 三点的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 A1C1,与底 面 ABCD 的交线为 l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性 质定理知 l∥A1C1. 答案:平行 5.用一个平面去截三棱柱 ABC-A1B1C1,交 A1C1,B1C1,BC,AC 分别于点 E,F,G,H.若 A1A>A1C1,则截面的形状可以为________.(把你认为可能的 结果的序号填在横线上) ①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形. 【解析】当 FG∥B1B 时,四边形 EFGH 为矩形;当 FG 不与 B1B 平行时,四 边形 EFGH 为梯形. 答案:②⑤ 6. 如 图 所 示 , 在 直 角 梯 形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G 分别为线段 PC,PD,BC 的 中点,现将△PDC 折起,使点 P∉平面 ABCD.求证:平面 PAB∥平面 EFG. 【证明】因为 PE=EC,PF=FD,所以 EF∥CD, 又因为 CD∥AB,所以 EF∥AB.又 EF⊄平面 PAB,AB⊂平面 PAB, 所以 EF∥平面 PAB.同理可证 EG∥平面 PAB. 又因为 EF∩EG=E,所以平面 PAB∥平面 EFG. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个 充分条件是 ( ) A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α 【解析】选 D.对于 A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平 行.故 A 错误; 对于 B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平 行,故 B 错误; 对于 C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故 C 错 误; 对于 D,两个平面中的两条异面直线分别平行于另一个平面,可以保证 两个平面平行,故 D 正确. 2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为棱 A1B1,BB1,CC1,C1D1 的中点, 则下列结论中正确的是 ( ) A.AD1∥平面 EFGH B.BD1∥GH C.BD∥EF D.平面 EFGH∥平面 A1BCD1 【 解 析 】 选 D. 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,E,F,G,H 分 别 为 棱 A1B1,BB1,CC1,C1D1 的中点. 在 A 中,AD1∥BC1,BC1 与 EF 异面,故 AD1 不平行于平面 EFGH,故 A 错误; 在 B 中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,故 BD1 不可能平行于 GH,故 B 错误; 在 C 中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故 BD 与 EF 不可能平行,故 C 错误; 在 D 中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面 EFGH∥平面 A1BCD1,故 D 正确. 3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形 EFGH 为截面,长方 形 ABCD 为底面,则四边形 EFGH 的形状为 ( ) A.梯形 B.平行四边形 C.可能是梯形也可能是平行四边形 D.不确定 【解析】选 B.长方体的两组相对的面与截面分别相交,交线分别平行, 则四边形 EFGH 为平行四边形. 【补偿训练】 平面α截一个三棱锥,如果截面是梯形,那么平面α必定和这个 三棱锥的 ( ) A.一个侧面平行 B.底面平行 C.仅一条棱平行 D.某两条相对的棱都平行 【解析】选 C.当平面α∥平面 ABC 时,如图(1)所示,截面是三角形,不 是梯形,所以 A,B 不正确; 当平面α∥SA 时,如图(2)所示,此时截面是四边形 DEFG.又 SA⊂平面 SAB,平面 SAB∩α=DG, 所以 SA∥DG.同理,SA∥EF,所以 EF∥DG. 同理,当平面α∥BC 时,GF∥DE,但是截面是梯形,则四边形 DEFG 中仅 有一组对边平行,所以平面α仅与一条棱平行.所以 D 不正确,C 正确. 4.下列说法正确的是 ( ) A.平行于同一条直线的两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个 平面平行 D.若三条直线 a,b,c 两两平行,则在过直线 a 的平面中,有且只有一个 平面与 b,c 均平行 【解析】选 B.平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以 A 错误;B 显然正确;C 中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,不 正确;D 不正确,因为在过直线 a 的平面中,只要 b,c 不在其平面内,则与 b,c 均平行. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.已知 a,b 表示两条直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列 命题,正确的是 ( ) A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且 a∥b,则α∥β B.若 a,b 相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β C.若 a∥α,b∥β,且 a∥b,则α∥β D.若 a⊂α,a∥β,α∩β=b,则 a∥b 【解析】选 BD.A,C 中,α与β都可能相交,正确的是 B,D. 6.已知 a∥α,b∥β,α∥β,则 a 与 b 的位置关系可能是 ( ) A.平行 B.异面 C.相交 D.不确定 【解析】选 ABC.如图(1),(2),(3)所示,a 与 b 的关系分别是平行、异 面、相交. 【光速解题】作图和在自己生活的空间中找原型是解决此类问题的一 个不错的方法. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F 分别是 AB,CD 的中点,平面 AGF∥平面 PEC,PD∩平面 AGF=G,且 PG=λGD,则 λ=________,ED 与 AF 相交于点 H,则 GH=________. 【解析】因为 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥CD,且 AB=CD. 又 E,F 分别是 AB,CD 的中点,所以 AE=FD, 又∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH, 所以△AEH≌△FDH,所以 EH=DH. 因为平面 AGF∥平面 PEC,平面 PED∩平面 AGF=GH,平面 PED∩平面 PEC=PE, 所以 GH∥PE,则 G 是 PD 的中点,即 PG=GD,故λ=1.因为 PA=AB=PB=2,所 以 PE= ,GH= PE= . 答案:1 【补偿训练】 如 图 所 示 , 设 E,F,E1,F1 分 别 是 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 棱 AB,CD,A1B1,C1D1 的中点,则平面 EFD1A1 与平面 BCF1E1 的位置关系是 ________. 【解析】由题意得 A1E∥BE1,A1E⊄平面 BCF1E1, BE1⊂平面 BCF1E1,所以 A1E∥平面 BCF1E1. 同理,A1D1∥平面 BCF1E1. 又 A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1⊂平面 EFD1A1, 所以平面 EFD1A1∥平面 BCF1E1. 答案:平行 8.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中, ①BM∥平面 DE;②CN∥平面 AF; ③平面 BDM∥平面 AFN;④平面 BDE∥平面 NCF. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 【解析】展开图可以折成如图(1)所示的正方体. 在正方体中,连接 AN,如图(2)所示. 因为 AB∥MN,且 AB=MN, 所以四边形 ABMN 是平行四边形, 所以 BM∥AN,所以 BM∥平面 DE. 同理可证 CN∥平面 AF,所以①②正确; 如图(3)所示,连接 NF,BE,BD,DM,CF,可以证明 BM∥平面 AFN,BD∥平面 AFN,则平面 BDM∥平面 AFN, 同理可证平面 BDE∥平面 NCF,所以③④正确. 答案:①②③④ 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9. 如 图 所 示的 一 块 四 棱 柱 木 料 ABCD-A1B1C1D1, 底 面 ABCD 是 梯 形 ,且 CD∥AB. (1)要经过面 A1B1C1D1 内的一点 P 和侧棱 DD1 将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线之间有什么位置关系? 【解析】(1)如图所示,连接 D1P 并延长交 A1B1 于 E,过 E 作 EF∥AA1 交 AB 于 F,连接 DF,则 D1E,EF,FD 就是应画的线. (2)因为 DD1∥AA1,EF∥AA1,所以 D1D∥EF. 所以 D1D 与 EF 确定一个平面α. 又因为平面 AC∥平面 A1C1,α∩平面 AC=DF, α∩平面 A1C1=D1E,所以 D1E∥DF. 显然 DF,D1E 都与 EF 相交. 10.如图,平面α∥β,线段 AB 分别交α,β于 M,N,线段 AD 分别交α,β 于 C,D,线段 BF 分别交α,β于 F,E.若 AM=9,MN=11,NB=15,S△FMC=78.求 △END 的面积. 【解析】因为平面α∥β,又平面 AND∩平面α=MC, 平面 AND∩平面β=ND, 所以 MC∥ND,同理 EN∥FM. 又 AM=9,MN=11,NB=15,所以 = = , = = . 又∠FMC=∠END, 所以 = = × = ,因为 S△FMC=78,所以△END 的面积 S△END=100. 如图所示:ABC-A1B1C1 中,平面 ABC∥平面 A1B1C1,若 D 是棱 CC1 的中点,在 棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?证明你的结论. 【解析】当点 E 为棱 AB 的中点时, DE∥平面 AB1C1.证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 EF,FD,DE, 因为 D,E,F 分别为 CC1,AB,BB1 的中点, 所以 EF∥AB1, 因为 AB1⊂平面 AB1C1,EF⊄平面 AB1C1, 所以 EF∥平面 AB1C1.同理可证 FD∥平面 AB1C1. 因为 EF∩FD=F,所以平面 EFD∥平面 AB1C1. 因为 DE⊂平面 EFD,DE⊄平面 AB1C1, 所以 DE∥平面 AB1C1. 关闭 Word 文档返回原板块