【数学】四川省雅安市2019-2020学年高二下学期期末考试（理）试题 11页

四川省雅安市2019-2020学年高二下学期 期末考试（理）试题 ‎【参考答案】‎ ‎1、A 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、C 8、D 9、A 10、B 11、D 12、A ‎13、 14、1 15、35.6 16、‎ ‎17、解：二项式展开式的通项公式为 ‎，；-------2分 ‎（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 ‎， 即,‎ 解得； --------------6分 ‎（2）二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ 当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为 ‎, ,‎ ‎． -----------12分 ‎18、解：（1）记甲、乙、丙各自投进的事件分别为，‎ 由己知相互独立，且满足-------3分 解得，，‎ 所以乙、丙各自投进的概率分别为． --------6分 ‎（2）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎， --------------7分 ‎，----8分 ‎， --------9分 ‎， -----10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ -------------12分 ‎19、（1）由频率分布直方图可得合格率为 ‎． ----------3分 设成绩的中位数是，则 则 ---------------------------------------------------6分 ‎（2）由题意得列联表如下：‎ 高一 高二 合计 合格人数 ‎80‎ ‎60‎ ‎140‎ 不合格人数 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎---------9分 由表中数据得到.‎ 所以有99.5%的把握认为“这次知识竞赛的成绩与年级有关系”． --------12分 ‎20、解：(1)∵∴， …………1分 则由题意知，即. …………3分 ‎∴，则 于是.‎ ‎∴. …………5分 ‎(2)由题意，即恒成立，∴恒成立． …………6分 设，则. …………7分 令，得 ‎∴当时，，为减函数；‎ 当时，，为减函数， .................10分 ‎∴.‎ ‎∴，即的最大值为. …………12分 ‎21证明：（1）取中点，连结 ， -------------1分 ‎∵，∴，，‎ ‎∵平面，平面平面，‎ 平面平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴， ---------------3分 又，∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，∵是等边三角形，∴，‎ ‎∵平面，平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面． ------------6分 ‎（2）由（1）得平面，∴，‎ 又，，‎ 分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，， ------ ---------8分 平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，，‎ 则，取，得， ----------10分 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，‎ 则．‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． ----------12分 ‎22、（1）.当时，，求导得，‎ 令，解得，令，解得，‎ ‎∴在递增，在递减，‎ ‎∴ ---4分 ‎（2）函数，‎ ‎， ‎ 当时，由（1）可得函数，没有零点； ----------5分 当，即时，令，得或；，得，‎ 即函数的增区间为，，减区间为，‎ 而， ‎ 所以当时，；当时，；‎ 当时，时，，‎ 所以函数在区间没有零点，在区间有一个零点； --------7分 当，即时，恒成立，‎ 即函数在上递增，‎ 而，时，，‎ 所以函数在区间有一个零点； --------------9分 当，即时，令，得或；，得，‎ 即函数的增区间为，；减区间为，‎ 因为，所以，‎ 又时，，根据函数单调性可得函数在区间没有零点，‎ 在区间有一个零点． --------------11分 综上：当时，没有零点；当时，有一个零点．-----------12分