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- 2021-04-21 发布
2017-2018学年度榆树一中学校高二期中考试试题
理科数学
考试时间：120分钟；
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共12个小题，每题5分，共60分）
1．求函数的导数（ ）
A. B. C. D.
2．复数（ ）
A. B. C. D.
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4．复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为( )
A. B. 1 C. 0 D. 不存在
6．函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为
A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）
7．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）．
A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值
8．若,则,某学生由此得出结论:若,则,该学生的推理是 ( )
A. 演绎推理 B. 逻辑推理 C. 归纳推理 D. 类比推理
9．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
10．函数的图象大致是
11．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
12．设复数，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
第II卷（非选择题）
二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
13．为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．
14．计算_________.
15．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．
16．给出下列等式：观察各式：
，则依次类推可得
；
四、解答题（本题共6个题，共70分）
17．（本题12分）复数， ， 为虚数单位．
(I)实数为何值时该复数是实数；
(Ⅱ)实数为何值时该复数是纯虚数．
18．（本题12分）已知复数．
⑴求；
⑵若复数 满足为实数，求．
19．（本题12分）若， ，求：
（1）的单调增区间；
（2）在上的最小值和最大值。
20．（本题12分）计算由曲线，直线，，围成图形的面积S.
21．（本题12分）证明不等式： ＜，其中a≥0．
22．（本题10分）的表达式，并用数学归纳法进行证明。
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2017-2018学年度榆树一中学校高二期中考试
理科数学答案
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．（本题5分）求函数的导数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2．（本题5分）复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．（本题5分）曲线在处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4．（本题5分）复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
5．（本题5分）函数f(x)＝x2－lnx的最小值为( )
A. B. 1
C. 0 D. 不存在
【答案】A
6．（本题5分）函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为
A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）
【答案】C
【解析】f（x）的定义域是（0，+∞），，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故选：C．
7．（本题5分）已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）．
A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值
【答案】C
8．（本题5分）若,则,某学生由此得出结论:若,则,该学生的推理是 ( )
A. 演绎推理 B. 逻辑推理
C. 归纳推理 D. 类比推理
【答案】D
【解析】由实数集上成立的结论,得到复数集上成立的结论,是类比推理，故选D.
【方法点睛】本题主要考查归纳推理、类比推理、演绎推理的定义与性质，属于简单题. 归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，根据三种推理的定义可知，归纳推理与类比推理都是合情推理，不能当作结论与定理应用，如果应用必须加以证明.
9．（本题5分）正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
【答案】C
【解析】
试题分析：由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确，故选C．
考点：本题考查了演绎推理的运用
点评：熟练掌握演绎推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题
10． （本题5分）函数的图象大致是
【答案】A
【解析】,当时， ,
所以图像特征应是先增后减再增.
11．（本题5分）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
【答案】D
【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D
点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号
12．（本题5分）设复数，则（ ）
A. 4 B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】,故选C.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．（本题5分）为函数的一个极值点，则函数的极小值为__________．
【答案】0
【解析】∵，
∴。
∵为函数的一个极值点，
∴，解得。
当时， 。
∴当或时， 单调递增，
当时， 单调递减。
∴当时， 有极大值，且极大值为。
答案：0.
14．（本题5分）计算_________.
【答案】
【解析】原式.
15．（本题5分）5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．
【答案】243
【解析】每个人都有种选择方法，根据分步计算原理可知方法有种.
16．（本题5分）给出下列等式：观察各式：
，则依次类推可得
；
【答案】18
【解析】
试题分析：由于
，所以
考点：归纳推理
点评：做归纳推理的题目，关键是找出里面的规律。
四、解答题
17．（本题10分）复数， ， 为虚数单位．
(I)实数为何值时该复数是实数；
(Ⅱ)实数为何值时该复数是纯虚数．
【答案】（Ⅰ）或时为实数；（Ⅱ） 时为纯虚数.
【解析】试题分析：（Ⅰ）当，为实数；
(Ⅱ)当，可得复数为纯虚数.
试题解析：
（Ⅰ）当，即或时为实数.
（Ⅱ）当，即，则时为纯虚数.
18．（本题12分）已知复数．
⑴求；
⑵若复数 满足为实数，求．
【答案】⑴⑵
【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.
试题解析：⑴
⑵∵
∴
∵为实数
∴ ∴
∴ ∴
19．（本题12分）若， ，求：
（1）的单调增区间；
（2）在上的最小值和最大值。
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1） 求导，令，即可得到的单调增区间；
（2）令，求得（舍）或，比较 , ,的大小，即可得到在上的最小值和最大值.
试题解析：
（1）， 解得， 的增区间为
；
（2）， （舍）或， , , ，
20．（本题12分）计算由曲线，直线，，围成图形的面积S.
【答案】解： .
【解析】本试题主要是考查了定积分的运用。
先分图形，得到积分上限和下限，然后结合定积分基本定理得到结论。
21．（本题12分）证明不等式： ＜，其中a≥0．
【答案】用分析法证明。
【解析】试题分析：要证＜成立，
需证＜
需证>
因为显然成立，所以原命题成立。
考点：本题主要考查不等式证明，分析法。
点评：容易题，利用分析法证明不等式，从格式上来说，表述要规范。本题也可转化证明<，两边平方。
22．（本题12分）的表达式，并用数学归纳法进行证明。
【答案】见解析
【解析】试题分析：由题意得S1=a1，由S2=a1+a2求得S2，同理求得 S3，S4．猜想，，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设, 则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立．
试题解析：
猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想
（1）
猜想成立
（2）假设当
那么
所以，当
根据（1）与（2），可知猜想对任何都成立.