【数学】2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 11页

‎2020届一轮复习北师大版 推理与证明 课时作业 ‎1、甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃。甲说：“是丙或丁打碎的。”乙说：“是丁打碎的。”丙说：“我没有打碎玻璃。”丁说：“不是我打碎的。”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃。‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎2、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）‎ A．7 B．35 C．48 D．63‎ ‎3、在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：‎ ‎（1）此案是两人共同作案；‎ ‎（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；‎ ‎（3）若乙参与此案，则丁一定参与；‎ ‎（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.‎ 据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是（ ）‎ A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．甲、丁 ‎4、用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）‎ A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除 C．b不能被3整除 D．a不能被3整除 ‎5、下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（ ）‎ ‎①因为指数函数是增函数；②所以是增函数；③而是指数函数 A．① B．② C．①② D．③‎ ‎6、用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 (　 )‎ A． B． C． D． ‎ ‎7、某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理、生物、政治这三科，且生物在层班级．该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法的种数为（ ）‎ ‎ 第一节 ‎ 第二节 ‎ 第三节 ‎ 第四节 ‎ 地理1班 ‎ 化学层3班 ‎ 地理2班 ‎ 化学层4班 ‎ 生物层1班 ‎ 化学层2班 ‎ 生物层2班 ‎ 历史层1班 ‎ 物理层1班 ‎ 生物层3班 ‎ 物理层2班 ‎ 生物层4班 ‎ 物理层2班 ‎ 生物层1班 ‎ 物理层1班 ‎ 物理层4班 ‎ 政治1班 ‎ 物理A层3班 ‎ 政治2班 ‎ 政治3班 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎8、下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)‎ A．大前提无限不循环小数是无理数，小前提π是无理数，结论π是无限不循环小数 B．大前提无限不循环小数是无理数，小前提π是无限不循环小数，结论π是无理数 C．大前提π是无限不循环小数，小前提无限不循环小数是无理数，结论π是无理数 D．大前提π是无限不循环小数，小前提π是无理数，结论无限不循环小数是无理数 ‎9、有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示，，则这块菜地的面积为________.‎ ‎10、观察下列式子：，，， ，则可以猜想：当时，有 ‎ ‎11、如图，在中，，，，过点作延长线的垂线交延长线于点，过点作延长线的垂线交延长线于点，如此继续下去，设的面积为，的面积为，的面积为，…，以此类推，则_______．‎ ‎12、如图，已知为四面体内一点，且满足：点与四面体任一顶点的连线均垂直其余三个顶点所确定的平面，设.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：，为正四面体，并求直线与平面所成角的大小.‎ ‎13、证明：若a>0，则.‎ ‎14、已知数列的前项和为，满足，且．‎ ‎（Ⅰ）求，，；‎ ‎（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎15、证明下列不等式：‎ ‎（1）设a>0，证明：->-.‎ ‎（2）已知a>0，b>0，a＋b＝1，证明：.‎ 参考答案 ‎1、答案：D 假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．‎ ‎【详解】‎ 假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，‎ 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，‎ 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，‎ 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，‎ 所以是丁打碎了玻璃；‎ 故选：D ‎【点评】‎ 本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．‎ ‎2、答案：D 由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.‎ ‎【详解】‎ 考查所给的等式的特征，归纳其性质有：‎ 若等式左侧根号外面的数为，则根号内部的分子为，分母为，‎ 据此归纳推理可知：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点评】‎ 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎3、答案：C 分析：对四个选项逐一分析、排除可得答案．‎ 详解：①若甲、乙参与此案，则与信息（2），（3），（4）矛盾，故A不正确．‎ ‎②若乙、丙参与此案，则与信息（1），（3）矛盾，故B不正确．‎ ‎③若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故C正确．‎ ‎④若甲、丁参与此案，则与信息（1），（4）矛盾，故D不正确．‎ 故选C．‎ 点评：本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案．‎ ‎4、答案：B 反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设a，b都不能被3整除.‎ 考点：反证法.‎ ‎5、答案：D 首先把三段话写成三段论，大前提：因为指数函数y=ax（a＞1）是增函数，小前提：而y=2x是指数函数，结论：所以y=2x是增函数．得到小前提．‎ ‎【详解】‎ 三段话写成三段论是：‎ 大前提：因为指数函数y=ax（a＞1）是增函数，‎ 小前提：而y=2x是指数函数，‎ 结论：所以y=2x是增函数．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】‎ 本题考查演绎推理的基本方法，本题解题的关键是对于所给的命题比较理解，能够用三段论形式表示出来，本题是一个基础题．‎ ‎6、答案：B 列出当n=k时，左边的代数式，以及当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果 ‎【详解】‎ 当n=k时，左边的代数式为 ，‎ 当n=k+1时，左边的代数式为 ，‎ 用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为 故选B ‎【点评】‎ 本题考查了数学归纳法，要注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，解答关键是代入计算，而不是主观判断.‎ ‎7、答案：B 根据表格分类讨论即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：张毅不同的选课方法如下：‎ ‎（1）地理1班，生物B层1班，政治2班；‎ ‎（2）地理1班，生物B层1班，政治3班；‎ ‎（3）地理1班，生物B层2班，政治3班；‎ ‎（4）地理2班，生物B层1班，政治1班；‎ ‎（5）地理2班，生物B层1班，政治3班；‎ 共5种，故选B ‎【点评】‎ 本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎8、答案：B A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.‎ ‎9、答案：‎ 先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积．‎ ‎【详解】‎ 在直观图中，，， ‎ ‎， ‎ 原来的平面图形上底长为，下底为，高为 平面图形的面积为 ‎【点评】‎ 本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．属于简单题.‎ ‎10、答案：‎ 结合题意所给的不等式归纳推理可得：‎ 第个不等式为 .‎ 点评：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎11、答案：‎ 先由题意，分别计算出，进而归纳出，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在中，，，，过点作延长线的垂线交延长线于点，所以的面积为；‎ 又过点作延长线的垂线交延长线于点，所以的面积为；‎ 如此继续下去，可得的面积为，…，‎ 故数列是一个以为首项，以4为公比的等比数列，所以 因此.‎ 故答案为 ‎【点评】‎ 本题主要考查归纳推理的问题，依题意列举出前几项，根据规律得出一般性结论即可，属于常考题型.‎ ‎12、答案：（1）见解析；（2）‎ 试题分析：（1）利用分析法，要证，即证，根据线面垂直的性质定理，即可得证。‎ ‎（2）根据（1）结论及数量积公式，可得，所以，所以.同理可得，所以为正四面体。设，求出、、、的长，结合三角函数及勾股定理可得结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）要证，即证，，‎ 即证.因为垂直平面，，‎ 所以，故等式得证.‎ ‎（2）根据（1）的证明可证，即，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.同理可得.所以底边是等边三角形.同理可得，即四面体的每条棱都相等，所以为正四面体.‎ 设，延长交平面于H点，所以即为直线与平面所成的角.连接与交于E点，因为为正四面体，所以，所以，进而，所以，在中，‎ ‎，解得，所以，所以，所以，即直线与平面所成角的大小为.‎ ‎【点评】‎ 本题由向量关系入手，考查分析法证明、向量的数量积公式、线面垂直的性质定理、几何法求解线面角等知识，考查学生分计算化简，分析证明，逻辑推理的能力，属中档题。‎ ‎13、答案：试题分析：用分析法证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,只要证 ‎,即只要证，进而展开化简,可得只要证明，故得证.‎ 试题解析:要证 只需证 因为，所以不等式两边均大于零 因此只需证，‎ 即证 只需证 只需证，即证 只需证，而显然成立，所以原不等式成立.‎ 点评:从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．综合法是利用已知条件和某些数学定义，公理，定理等，经过一系列推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的方法．‎ ‎14、答案：（1）；；．（2）见证明 试题分析：（1）分别令直接求解出，，的值。‎ ‎（2）根据，，的值，猜想出数列的通项公式，‎ 并用数学归纳法加以证明。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）；；．‎ ‎（Ⅱ）猜想数列的通项公式为．‎ 下面用数学归纳法进行证明：‎ ‎1.当时，，猜想成立．‎ ‎2.假设当时，成立，‎ 则当时，由，得 由，得 两式作差得：‎ 即 ‎，所以猜想成立．‎ 综上所述，对一切正的自然数都有 ‎15、答案：（1）见证明；（2）见证明 试题分析：（1）根据不等试的特征，用分析法证明本题。‎ ‎(2)根据基本不等式,a＋b＝1先证明,利用综合法证明本题.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）要想证明->-成立,‎ 只需成立,‎ 两边平方,只需成立,‎ 两边平方得8>0,显然成立,命题得证.‎ ‎（2）∵，∴.‎ ‎∴∴.‎ 从而有.‎ 即.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎