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- 2021-04-21 发布
专题二 函数与导数
第1讲 函数的图象与性质
一、考情考向分析
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．
2．对图象的考查主要有两个方面 一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．
3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
二、热门考点分析
热点一 函数的性质及应用
1．单调性 单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3．周期性
定义 周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，则其一个周期T＝|a|.
常见结论
(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(2)f(x＋a)＝⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称．
例1 (1)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3]时，f(x)＝log2(x－1)，则f 等于( )
A．2－log23 B．log23－log27 C．log27－log23 D．log23－2
(2)已知函数f(x)＝x3＋3x (x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞) B.
C．(－2，－) D．(－∞，－)
变式1 (1)已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，设a＝ln ，b＝(ln π)2，c＝ln ，当对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，则( ) * * *X*X* ]
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)
(2)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(2 018)＝________.
热点二 函数图象及应用
1．作函数图象有两种基本方法 一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
例2 (1)(2017·深圳调研)函数y＝f(x)＝·cos 的图象大致是( )
变式2 (1)函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为( )
(2)已知函数f(x)＝＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，函数f′(x)与g(x)的图象不可能是( )
热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例3 (1)设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a
(2)已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是( )
A. B．(1,2] C．(1,3) D.
变式3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y， 为正数，且2x＝3y＝5 ，则( )
A．2x<3y<5 B．5 <2x<3y C．3y<5 <2x D．3y<2x<5
三、目标检测
1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为________．(填序号)
2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为____________．
3．(2017·山东改编)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f ＝________.
4．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
四、小结
五、课后作业
1．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
2．设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f ＝f ，当x∈[2,3]时，f(
x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于( )
A．|x＋4| B．|2－x| C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|
3．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．
第2讲 函数的应用
一、考情考向分析
1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现．
2．函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
二、热门考点分析
热点一 函数的零点
1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
例1 (1)方程ln(x＋1)－＝0(x>0)的根存在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4)
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
变式1 (1)函数f(x)＝2x＋2x的零点所在的区间是( )
A．[－2，－1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]
(2)已知函数f(x)满足 ①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
热点二 函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．
例2 (1)(2017届山东菏泽一中宏志部月考)已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3个零点，则实数a的取值范围是______．
变式2 (1)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)－ ＝0有唯一一个实数根，则实数 的取值范围是________．
答案 [0,1)∪(2，＋∞)
(2)(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于( )
A．－ B. C. D．1[ ]
三、目标检测
1．(2016·天津改编)已知函数f(x)＝sin2＋sin ωx－ (ω>0，x∈R)．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是______________．
2．(2017·山东改编)已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是______________．
四、小结
五、课后作业
1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,1) B．[0,2] C．(－2,2] D．[－1,2)
第3讲 导数及其应用
一、考情考点分析
1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点．
2．利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．
3．导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现．
二、热点分析
热点一 导数的几何意义
1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率 ＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．
例1 (1)过点(0,1)且与曲线y＝在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y－2＝0
(2)已知曲线C1 y2＝tx(y>0，t>0)在点M处的切线与曲线C2 y＝ex＋1－1也相切，则tln 的值为( )[ ]
A．4e2 B．8e C．2 D．8
变式1 (1)(2017届河北省正定中 期中)已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，a＝f′，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为________．
(2)若函数f(x)＝ln 与函数g(x)＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是( )
A. B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D. (－ln 2，＋∞)
热点二 利用导数研究函数的单调性
1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则
f(x)为常函数，函数不具有单调性．
例2 已知函数f(x)＝x2＋aln .
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若g(x)＝f(x)＋，在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
变式2 (1)(2017届昆明市第一中 月考)若函数f(x)＝ln ＋ax2－2在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B. C. D. (－2，＋∞)
热点三 利用导数求函数的极值、最值
1．若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．
2．设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．
例3 设函数G(x)＝xln ＋(1－x)·ln(1－x)．
(1)求G(x)的最小值；
(2)记G(x)的最小值为c，已知函数f(x)＝2a·ex＋c＋－2(a＋1)(a>0)，若对于任意的x∈(0，＋∞)，恒有f(x)≥0成立，求实数a的取值范围．
变式3 已知函数f(x)＝ax3＋bx2，在x＝1处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，都有f′(x)≤ ln(x＋1)成立(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，求实数 的最小值．
三、目标检测
1．(2017·浙江改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是________．(填序号)
2．(2017·全国Ⅱ改编)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为________．
3．(2017·山东改编)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是______．(填序号)
①f(x)＝2－x；②f(x)＝x2；③f(x)＝3－x；④f(x)＝cos .
4．(2017·全国Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
四、小结
五、课后作业
1．设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－
3．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln 在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．
4．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________．