2016年高考试题——数学理（北京卷）解析版 18页

本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项． 1.已知集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 【答案】C 考点：集合交集.[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 【名师点睛】1． 首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合 ， ， 三者是不同的． 2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以 及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错． 3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这 在本质上是数形结合思想的体现和运用． 4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外， 不可忽视空集是任何元素的子集． 2.若 ， 满足 ，则 的最 大值为（） A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 { || | 2}A x x  { 1,0,1,2,3}B   A B  {0,1} {0,1,2} { 1,0,1} { 1,0,1,2} )}(|{ xfyx  )}(|{ xfyy  )}(|),{( xfyyx  x y 2 0 3 0 x y x y x        2x y 考点：线性规划. 【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围. 若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式 2，需先准确地画 出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 z 的大小变化，得到最优解. 3.执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 1，则输出的 值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 a k 开始 输入a k=0,b=a a=b 输出k 结束 k=k+11 1a a   否 是 试题分析：输入 ，则 ， ； 进入循环体， ，否， ， ，否， ， ，此时 ，输出 ，则 ，选 B. 考点：算法与程序框图 【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)， 然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注 意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误. 4.设 ， 是向量，则“ ”是“ ”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积. 【名师点睛】由向量数量积的定义 ( 为 ， 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、 夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化， 其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 5.已知 ， ，且 ，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析：A：由 ， 得 ，即 ，A 不正确； B：由 及正弦函数 的单调性，可知 不一定成 立； 1a 0k 1b 2 1a 1k 2a 2k 1a 1 ba k 2k a b | | | |a b  | | | |a b a b      cos||||  baba  a b x y R 0x y  1 1 0x y  sin sin 0x y  1 1( ) ( ) 02 2 x y  ln ln 0x y  0 yx yx 11  011  yx 0 yx siny x 0sinsin  yx C：由 ， ，得 ，故 ，C 正确； D：由 ，得 ，不一定大于 1，故 不一定成立，故选 C. 考点： 函数性质 【名师点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增) 函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单 调性. 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥 ，其体积 ，故选 A. 12 10  0 yx yx )2 1()2 1(  0)2 1()2 1(  yx 0 yx 0xy 0lnln  yx 1 6 1 3 1 2 1 P ABC 1 1 11 1 13 2 6V       考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算. 【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三 视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱 锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形， 对应 的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆， 对应的几何体为圆柱. 7.将函数 图象上的点 向左平移 （ ） 个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（） A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 [来源:Z。xx。k.Com] C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 【答案】A 考点：三角函数图象平移 【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移 变换时， 当自变量 x 的系数不为 1 时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的 图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换 8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其 中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋 中所有球都被放入盒中，则（） A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C [来源:Zxxk.Com] sin(2 )3y x   ( , )4P t s 0s  'P 'P sin 2y x 1 2t  s 6  3 2t  s 6  1 2t  s 3  3 2t  s 3  考点：概率统计分析. 【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意 的好题.如果所求事件对应的基本事件 有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)，从 而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用. 第二部分（非选择题　共 110 分）[来源:ZXXK] 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9.设 ，若复数 在复平面内对应的点位于实轴上，则 _______________. 【答案】 . 【解析】 试题分析： ，故填： . 考点：复数运算 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运 算类似于多项式的 合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化 10.在 的展开式中， 的系数为__________________.（用数字作答）[来源:ZXXK] 【答案】60. 【解析】 试题分析：根据二项展开的通项公式 可知， 的系数为 ，故填： . 考点：二项式定理. 【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第 项、常数项、有理项、字母指数 为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项 ，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据 a R (1 )( )i a i  a  1 (1 )( ) 1 ( 1) 1i a i a a i R a          1 6(1 2 )x 2x 1 6 ( 2)r r r rT C x   2x 2 2 6 ( 2) 60C   60 n rrnr nr baCT   1 题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求 有理项时要注意运用整除 的性质，同时应注意结合 的范围分析. 11.在极坐标系中，直线 与圆 交于 A，B 两点，则 ______. 【答案】2 考点：极坐标方程与直角方程的互相转化. 【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用 x＝ 以及 ， ，同时要掌握必要的技巧. 12.已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ， ，则 _______.. 【答案】6 【解析】 试题分析：∵ 是等差数列，∴ ， ， ， ， ∴ ，故填：6． 考点：等差数列基本性质. 【名师点睛】在等差数列五个基本量 ， ， ， ， 中，已知其中三个量，可以根据已知条件 结合 等差数列的通项公式、前 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换 及方程思想的应用. 13.双曲线 （ ， ）的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双 曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 _______________. 【答案】2 n cos 3 sin 1 0      2cos  | |AB   sin,cos  yx  sin,cos  yx 22 yx  )0(tan  xx y { }na nS n 1 6a  3 5 0a a  6 =S { }na 3 5 42 0a a a   4 0a  4 1 3 6a a d    2d   6 16 15 6 6 15 ( 2) 6S a d        1a d n na nS n 2 2 2 2 1x y a b  0a  0b  a  考点：双曲线的性质 【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌 握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线 与椭圆的标准方程可统一为 的 形式，当 ， ， 时为椭圆，当 时为双 曲线.[来源:ZXXK] 14.设函数 . ①若 ，则 的最大值为______________； ②若 无最大值，则实数 的取值范围是________. 【答案】 ， . 【解析】 试题分析：如图作出函数 与直线 的图象，它们的交点是 ， ， ，由 ，知 是函数 的极大值点， ①当 时， ，因此 的最大值是 ； ②由图象知当 时， 有最大值是 ；只有当 时，由 ，因此 无最大值，∴所求 的范围是 ，故填： ， ． 122  ByAx 0A 0B BA  0AB 3 3 ,( ) 2 , x x x af x x x a      0a  ( )f x ( )f x a 2 ( , 1)  3( ) 3g x x x  2y x  ( 1,2)A  (0,0)O (1, 2)B  2'( ) 3 3g x x  1x  ( )g x 0a  3 3 , 0( ) 2 , 0 x x xf x x x      ( )f x ( 1) 2f   1a   ( )f x ( 1) 2f   1a   3 3 2a a a   ( )f x a ( , 1)  2 ( , 1)  考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想. 【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应 关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一 段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单 调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂 函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15.（本小题 13 分） 在 ABC 中， . （1）求 的大小； （2）求 的最大值. 【答案】（1） ；（2） .  2 2 2 2  a c b ac B 2 cos cosA C 4  1 考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理. 【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三 角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是 判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初 等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想． 16.（本小题 13 分） A、B、C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼 时间，数据如下表（单位：小时）； A 班 6 6.5 7 7 .5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）试估计 C 班的学生人数； （2）从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所 有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小 时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样 本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和 的大小，（结论不要求证明） 【答案】（1）40；（2） ；（3） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据图表判断 C 班人数，由分层抽样的抽样比计算 C 班的学生人数； 1 0 0 1 3 8 1 0  （Ⅱ）根据题 意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率. （Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可. 考点：1.分层抽样；2.独立事件的概率；3.平均数 【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件 概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 ，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应 用此公式时，一定要分清事件的对立事件到 底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简 便. 17.（本小题 14 分） 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， . )(1)( APAP  P ABCD PAD  ABCD PA PD PA PD AB AD 1AB  2AD  5AC CD  （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）存在， PD  PAB PB PCD PA M / /BM PCD AM AP 3 3 1 4 AM AP  （3）设 是棱 上一点，则存在 使得 . 因此点 . 因为 平面 ，所以 平面 当且仅当 ， 即 ，解得 .[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 所以在棱 上存在点 使得 平面 ，此时 . M PA ]1,0[ APAM  ),,1(),,1,0(   BMM BM PCD ∥BM PCD 0nBM 0)2,2,1(),,1(   4 1 PA M BM∥ PCD 4 1AP AM 考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用. 【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线 的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关 系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等. 18.（本小题 13 分） 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ， （1）求 ， 的值； （2）求 的单调区间. 【答案】（Ⅰ） ， ；（2） 的单调递增区间为 . 从而 . 综上可知， ， ，故 的单调递增区间为 . ( ) a xf x xe bx  ( )y f x (2, (2))f ( 1) 4y e x   a b ( )f x 2a  b e )(xf ( , )  ),(,0)(  xxg 0)(  xf ),( x )(xf ),(  考点：导数的应用. 【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论 导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还 要注意定义区间内的间断点． 19.（本小题 14 分） 已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ， ， ， ， 的面积 为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 的椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 M，直线 PB 与 轴交于点 N. 求证： 为定值. 【答案】（1） ；（2）详见解析. （2）由（Ⅰ）知， ， 2 2 2 2 1 x y a b 0a b  3 2 ( ,0)A a (0, )B b (0,0)O OAB P C PA y x BMAN  2 2 14 x y  )1,0(),0,2( BA 考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、 定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应 注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用 可有效地简化运 算. 20.（本小题 13 分） 设数列 A： ， ,… ( ).如果对小于 ( )的每个正整数 都有 ＜ ，则称 是 数列 A 的一个“G 时刻”.记“ 是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列 A：-2，2，-1 ，1，3，写出 的所有元素； （2）证明：若数列 A 中存在 使得 > ，则 ；[来源:Zxxk.Com] 1a 2a Na N  n 2 n N  k ka na n )(AG )(AG na na 1a )(AG （3）证明：若数列 A 满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则 的元素个数不小于 - . 【答案】（1） 的元素为 和 ；（2）详见解析；（3）详见解析.[来源:] 设 ，记 . 则 . 对 ，记 . 如果 ，取 ，则对任何 . 从而 且 . 又因为 是 中的最大元素 ，所以 . 从而对任意 ， ，特别地， . na 1na  )(AG Na 1a ( )G A 2 5   pp nnnnnnAG  2121 ,,,,)( 10 n pnnnn aaaa  210 pi ,,1,0   inkii aaNknNkG   , iG ii Gm min ii mnki aaamk  ,1 )(AGmi  1 ii nm pn )(AG pG nknp  pnk aa  pnN aa  考点：数列、对新定义的理解. 【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉 及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或 应用)、特殊到一般 思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和， 或 )等. [来源:ZXXK] 1q 1q