高考专项训练二项分布超几何分布 4页

专题: 超几何分布与二项分布 ‎ [知识点]关键是判断超几何分布与二项分布 判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征:一个总体(共有个)内含有两种不同的事物、,任取个,其中恰有个.符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列（）进行处理就可以了.‎ 二项分布必须同时满足以下两个条件:①在一次试验中试验结果只有与这两个,且事件发生的概率为,事件发生的概率为；②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件发生的概率都是同一常数,事件发生的概率为.‎ 典型例题 ‎1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.‎ ‎(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；‎ ‎(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；‎ ‎(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 …………………………1分 事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分 ‎ …………………………4分 ‎(Ⅱ) 由题可知可能取值为0,1,2,3. ‎ ‎,,‎ ‎,. ………………8分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 故的分布列为 ‎… ……………9分 ‎ ‎ ‎(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为 ……………10分 事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”‎ 所以，. ……………13分 ‎2、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.‎ 听觉 ‎ 视觉 ‎ 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常 听觉 记忆 能力 偏低 ‎0‎ ‎7‎ ‎5‎ ‎1‎ 中等 ‎1‎ ‎8‎ ‎3‎ 偏高 ‎2‎ ‎0‎ ‎1‎ 超常 ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,‎ 且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为.‎ ‎（Ⅰ）试确定、的值；‎ ‎（Ⅱ）从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变量的分布列.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有人.记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件，‎ 则，解得，从而.‎ ‎（Ⅱ）由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为，所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为.的可能取值为0、1、2、3.‎ 因为,,,，所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是．‎ ‎（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；‎ ‎（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X~B(6，). ‎ ‎ ()‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 所以=.‎ 或因为X~B(6，)，所以. 即X的数学期望为4．‎ ‎（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为 ‎（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则.(此处为会更好!因为样本空间基于:已知6个球中恰好投进了4个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概率为.‎ 显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．‎ ‎4、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的名志愿者中随机抽样名志愿者的年龄情况如下表所示．‎ ‎（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数；‎ ‎（Ⅱ）在抽出的名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取人参加中心广场的宣传活动，从这人中选取名志愿者担任主要负责人，记这名志愿者中“年龄低于岁”的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 分组 ‎（单位：岁）‎ 频数 频率 ‎①‎ ‎②‎ 合计 ‎ 20 25 30 35 40 45 年龄 岁 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【解析】（Ⅰ）①处填，②处填；‎ ‎ 20 25 30 35 40 45 年龄 岁 补全频率分布直方图如图所示.‎ 名志愿者中年龄在 ‎ 的人数为 人．…6分 ‎ （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取人,‎ 则其中“年龄低于岁”的有人，‎ ‎“年龄不低于岁”的有人． …………7分 故的可能取值为，，； ‎ ‎，‎ ‎， ，……11分 所以的分布列为：‎ P ‎ ∴ ． …………13分 ‎5、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.‎ ‎（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；‎ ‎（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).‎ ‎【解析】（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则.‎ 所以，该产品不能销售的概率为. ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）由已知，可知X的取值为. ………………………5分 ‎， ，‎ ‎，，‎ ‎. ……………………………………10分 所以X的分布列为 X ‎-320‎ ‎-200‎ ‎-80‎ ‎40‎ ‎160‎ P ‎ ……………………………………11分 ‎ E(X)，故均值E(X)为40.……12分 ‎6、张先生家住H小区，他在C科技园区工作，从家开车到公司上班有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．‎ H C A1‎ A2‎ B1‎ B2‎ L1‎ L2‎ A3‎ ‎（Ⅰ）若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；‎ ‎（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．‎ ‎【解析】（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．…4分 所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．‎ ‎（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2． …………5分 ‎，，．…8分 故随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎． ………………10分 ‎（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，‎ 所以．……12分 因为，所以选择L2路线上班最好．……14分