浙江省杭州市周边重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析 17页

www.ks5u.com ‎2019学年杭州周边重点高一下期中 一、选择题：每小题4分，共40分 ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解一元二次不等式，以及指数不等式，求得集合，即可由交集和补集即可容易求得结果.‎ ‎【详解】因为或，‎ 又集合，‎ 故可得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，指数不等式的求解，集合交和补运算，属综合基础题.‎ ‎2.已知向量，且，则（ ）‎ A. 5 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标公式，即可容易求得参数.‎ ‎【详解】因为，故可得，‎ 又因为，故可得，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及向量垂直的坐标运算，属综合基础题.‎ ‎3.已知角的终边上一点P的坐标为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 17 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用特殊角的三角函数值求得点坐标，即可由角度终边上一点，求得余弦值.‎ ‎【详解】因为，故点的坐标为.‎ 故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查特殊角的三角函数，涉及由终边上一点求三角函数，属综合基础题.‎ ‎4.等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则前10项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的基本量，结合已知条件，即可求得等差数列的首项和公差，再求其前项和即可.‎ ‎【详解】不妨设的公差为，‎ 因为，，成等比数列，故可得，‎ 整理得，因为，故可得.‎ 故数列的前项和.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本量求等差数列的通项公式和前项和，涉及等比中项的性质，属综合基础题.‎ ‎5.函数的最大值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 17 -‎ 利用倍角公式和诱导公式化简，利用换元法，求解二次函数在区间上的最值即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 令，故可得 又其对称轴，故在区间单调递增.‎ 故当时，取得最大值，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、倍角公式，涉及二次型三角函数的最值求解，属综合基础题.‎ ‎6.已知函数的图象过点，令，.记数列的前n项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 待定系数求得，分母有理化求得，再用并项求和即可求得结果.‎ ‎【详解】因为函数的图象过点，故可得，解得，‎ 故可得，‎ 故 ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，以及用裂项相消法求数列的前项和，属综合基础题.‎ ‎7.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ - 17 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简函数解析式，求得函数的奇偶性，再利用三角函数值在区间上的正负，即可判断.‎ ‎【详解】因为，定义域为，‎ 又，故为奇函数，图像关于原点对称，故排除；‎ 又当时，，故，故排除.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式、函数奇偶性的判断，三角函数和对数函数的值域，属综合基础题.‎ ‎8.等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：在等差数列中，‎ ‎∵，‎ ‎∴（10a1+20d）-13（a1+3d）+5（a1+7d）=10，‎ ‎2a1+16d=10，‎ a1+8d=5，‎ a9=5，‎ 所以，S17=17×（a1+a17）=17a9=85为定值，‎ 故选D．‎ ‎9.设，关于的方程，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（ ）‎ - 17 -‎ ‎①存在实数，使得方程恰有个不同的实根；‎ ‎②存在实数，使得方程恰有个不同的实根；‎ ‎③存在实数，使得方程恰有个不同的实根；‎ ‎④存在实数，使得方程恰有个不同的实根.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数图象，令，对根的判别式分类讨论即可得解.‎ 详解】解：‎ 可作函数图象如下所示：‎ 令，‎ ‎（1）当时，解得或 ‎①当时，解得由图可知，存在个不同的实数使得，‎ 即方程有个不同的实数根；‎ ‎②当时，解得由图可知，不存在实数使得，即方程无实数根；‎ ‎（2）当时，解得或，‎ ‎①当时，方程有两不相等的实数根，设为，，‎ - 17 -‎ 则，‎ ‎，均为负数，由函数图象知，故不存在实数使得，即方程无实数根；‎ ‎②当时，方程有两不相等的实数根，设为，，‎ 则，‎ ‎，均为正数且，‎ 设则，由图可知，存在个不同的实数使得，‎ 存在个不同的实数使得，‎ 即方程有个不同的实数根；‎ ‎（3）当时，方程无解，则方程无实数根；‎ 综上可得正确的有①④，错误的有②③‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于难题．‎ ‎10.已知O为锐角的外心，，，若，且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3），其中正确的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据外心的特点，结合向量的数量积运算，构造方程组，求得，再对选项进行逐一分析判断即可.‎ ‎【详解】因为是的外心，‎ 故可得，，‎ 又，‎ ‎.‎ 故可得，‎ - 17 -‎ 解得.‎ ‎（1）‎ ‎.故（1）正确；‎ ‎（2）‎ ‎.‎ 故可得.故（2）正确 ‎（3）由余弦定理可得 故可得.‎ 故（3）正确.‎ 故三个选项均正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积运算，涉及余弦定理，属压轴题.‎ 二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 ‎11.计算：‎ ‎（1）__________；‎ ‎（2）___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数运算法则，即可容易求得结果；‎ ‎（2）根据对数的运算法则，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】（1）；‎ - 17 -‎ ‎（2）‎ ‎.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题.‎ ‎12.函数的单调递减区间是_________，值域是___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性，结合函数定义域，即可容易求得单调区间，结合函数单调性，即可容易求得值域.‎ ‎【详解】令，则由，可得；‎ 又因为为单调减函数，‎ 而函数在区间单调递增，在单调递减.‎ 故在区间单调递减，在单调递增.‎ 故的单调递减区间为；‎ 容易知在区间上的值域为，‎ 故上的值域为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性以及值域的求解，属综合基础题.‎ ‎13.在中，已知三个内角，，满足的，则_________，___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求得边长之比，由余弦定理即可求得，结合同角三角函数关系，即可求得.‎ ‎【详解】因为，由正弦定理可得，‎ 不妨设，‎ - 17 -‎ 故可得.‎ 故可得.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属基础题.‎ ‎14.已知函数，，‎ ‎（1）在上的解是__________；‎ ‎（2）的图象可由的图象向右平移个单位得到，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用辅助角公式化简，再求解方程，即可容易求得结果；‎ ‎（2）根据函数图像的平移，即可容易求得.‎ ‎【详解】（1），‎ 令，则，解得.‎ 又因为，故可得.‎ ‎（2）因为，‎ 故将的图象向右平移可得，‎ 又因为，‎ 则，解得，‎ 又因为，故可得的最小值为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查辅助角公式，三角方程，函数图像的平移，属综合基础题.‎ - 17 -‎ ‎15.中国古代数学名著《算法统宗》中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，依次每人分到的比前一人多17斤，那么第八个儿子分到的绵是________斤.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，构造等差数列，根据数列的基本量求得通项公式，再求其第八项即可.‎ ‎【详解】设第个儿子分的的盘缠为，由题可知数列的公差；‎ 又因为.故可得，则，‎ 解得，故可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的基本量的计算，属基础题.‎ ‎16.已知函数的最小正周期为2，当时，.若，则满足的所有x取值的和为_____________.‎ ‎【答案】2019‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由时，与，可得，因为且函数的最小正周期为2，所以求出内所有奇数的和，即可得到本题答案.‎ ‎【详解】在函数的一个周期内，即时，,又因为，所以，且当且仅当时取得，在内共有2019个周期，且每个周期内的x取奇数时的函数值为4，故所有的x值之和为.‎ 故答案为：2019‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的周期性.‎ ‎17.已知向量满足，，若关于的方程有解，记向量的夹角为，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ - 17 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，用解析法，赋予向量坐标，利用二次方程有根，求得参数的范围，结合向量的数量积运算，即可容易求得结果.‎ ‎【详解】不妨令，‎ 由，可得；‎ ‎，‎ 故可得，‎ 整理得，‎ 要使得该方程有解，则，‎ 整理得，又因为，‎ 故可得，解得.‎ 又因为，故可得，‎ 故可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查向量的解析法，一元二次方程解的情况，以及向量夹角的坐标计算，以及同角三角函数关系，属压轴题.‎ 三、解答题：5小题，共74分 ‎18.已知中，角，，对边分别为，，，，，的面积为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 17 -‎ ‎（1）先求得，根据面积公式求得，结合余弦定理即可求得；‎ ‎（2）由余弦定理求得，由同角三角函数关系求得，结合余弦的和角公式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，，故可得，‎ 故可得，解得；‎ 由余弦定理可得，‎ 故可得.‎ 故.‎ ‎（2）由（1）以及已知可得，‎ 故可得，故可得.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及余弦的差角公式，属综合基础题.‎ ‎19.已知是两个单位向量.‎ ‎（1）若，试求的值；‎ ‎（2）若的夹角为，求向量在上的投影.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知模长，求得的数量积，再由数量积求模长即可；‎ ‎（2）根据题意，求得的数量积，再由射影计算公式即可求得.‎ ‎【详解】（1）因为是两个单位向量，且,‎ 故可得，即，‎ 解得，则；‎ 即.‎ - 17 -‎ ‎（2）因为的夹角为，故可得，‎ 则，‎ 又因为，‎ 故可得向量在上的投影.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积、模长、投影的计算，属综合基础题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）若，，且在上的最大值为，最小值为，试求，的值；‎ ‎（2）若，，且对任意恒成立，求的取值范围.（用来表示）‎ ‎【答案】(1)；(2) 当时，；当时，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得；‎ ‎（2）对参数进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围.‎ ‎【详解】（1）由题可知是开口向下，对称轴为的二次函数，‎ 当时，二次函数在区间上单调递增，‎ 故可得显然不符合题意，故舍去；‎ 当，二次函数在单调递增，在单调递减，‎ 且当时，取得最小值，故，不符合题意，故舍去；‎ 当时，二次函数在处取得最小值，在时取得最大值.‎ 则；，整理得；‎ 则，解得或（舍），‎ - 17 -‎ 故可得.‎ 综上所述：.‎ ‎（2）由题可知，‎ 因为对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立，‎ 令，则，且.‎ 因为，故可得.‎ ‎①当，即时，‎ 在区间单调递减，‎ 故，‎ 则，‎ 解得.‎ 此时，，也即，‎ 故.‎ ‎②当，即时，‎ 在单调递减，在单调递增.‎ ‎，即 又因为，，‎ 则，‎ 故的最大值为，‎ 则，解得，‎ 此时，‎ 故可得.‎ - 17 -‎ 综上所述：‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数动轴定区间问题的处理，以及由恒成立问题求参数范围，涉及对勾函数的单调性，属综合中档题.‎ ‎21.设数列的前项和为，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，，证明：，.‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见详解 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用与的关系，即可容易求得；‎ ‎（2）由（1）中所得即可求得，利用等比数列前项和公式，以及适度的放缩，即可证明.‎ ‎【详解】（1）因为，则，解得，‎ 故当时，，‎ 故可得，则，‎ 则数列为首项为3公比为的等比数列，‎ 故，解得.‎ ‎（2）由（1）中所求可得，‎ 当为偶数时，；‎ 当为奇数时，，‎ 故 - 17 -‎ 即证.‎ ‎【点睛】本题考查利用关系求数列的通项公式，涉及等比数列前项和的求解，以及数列的放缩，属综合中档题.‎ - 17 -‎ - 17 -‎