江西省信丰中学2020届高三数学上学期第四次周考理A层13班2（含解析） 8页

- 1 - 江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第四次周考（理 A 层）（13 班） 一．选择题（50 分） 1 若函数 y＝cos ωx＋π 6 (ω∈N*)图像的一个对称中心是 π 6 ，0 ，则ω的最小值为 ( ) A．1 B．2 C．4 D．8 2．f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R) ω>0，|φ|<π 2 的部分图像如图所示，如果 x1，x2 ∈ －π 6 ，π 3 ，且 f(x1)＝f(x2)，则 f(x1＋x2)＝( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D．1 3 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<π 2 的最小正周期是π，若将 f(x)的图像向 右平移π 3 个单位后得到的图像关于原点对称，则函数 f(x)的图像( ) A．关于直线 x＝π 12 对称 B．关于直线 x＝5π 12 对称 C．关于点 π 12 ，0 对称 D．关于点 5π 12 ，0 对称 4 已知 sin π 3 ＋α ＋sin α＝4 3 5 ，则 sin α＋7π 6 的值是( ) A．－2 3 5 B.2 3 5 C.4 5 D．－4 5 - 2 - 5 已知 sin π 6 －α ＝1 3 ，则 cos 2 π 3 ＋α 的值是( ) A.7 9 B.1 3 C．－1 3 D．－7 9 6 若 sin 2α＝ 5 5 ，sin(β－α)＝ 10 10 ，且α∈ π 4 ，π ，β∈ π，3π 2 ，则α＋β的 值是( ) A.7π 4 B.9π 4 C.5π 4 或7π 4 D.5π 4 或9π 4 7 设 a0 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|·a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8 设 D 为△ABC 所在平面内一点， BC  ＝3CD  ，则( ) A． AD  ＝－1 3 AB  ＋4 3 AC  B． AD  ＝1 3 AB  －4 3 AC  C． AD  ＝4 3 AB  ＋1 3 AC  D． AD  ＝4 3 AB  －1 3 AC  9 设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝1 2 AB，BE＝2 3 BC.若 DE  ＝λ1 AB  ＋λ2 AC  (λ1， λ2 为实数)，则λ1＋λ2 的值为（ ） A.1 2 B. 3 2 - 3 - C. 2 2 D．1 10 设 M 是△ABC 所在平面上的一点，且 MB  ＋3 2 MA  ＋3 2 MC  ＝0，D 是 AC的中点，则|MD  | | BM  | 的值为( ) A.1 3 B.1 2 C．1 D．2 二．填空题（20 分） 11 已知 cos π 6 －θ ＝a(|a|≤1)，则 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ 的值是________ 12 化简 sin2 α－π 6 ＋sin2 α＋π 6 －sin2α的结果是________ 13 图，在△ABC 中，sin∠ABC 2 ＝ 3 3 ，AB＝2，点 D 在线段 AC 上，且 AD＝2DC，BD＝4 3 3 ， 则 cos∠C＝________. 14 图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西 偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°， 则此山的高度 CD＝________m. 三．解答题（36 分） 15．（12 分）如图所示，在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，且 AD＝1，CD＝3， - 4 - cos∠B＝ 3 3 . (1)求△ACD 的面积； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长． 16．（12 分）在平面直角坐标系中，曲线 2cos : 3 sin x C y     （ 是参数）.以坐标原点O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程： 3 2cos 04 4        . （1）写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程； （2）设 11, 2P    ，直线l 与曲线C 交于 A 、 B 两点，求| | | |PA PB 的值. 17（12 分）已知函数 21( ) ln ( 1)2f x x ax a x    （其中 0a  ）. （1）讨论 ( )f x 的单调性； （2）若 21( ) ( )2 ag x x f x   ，设  1 2 1 2,x x x x 是函数 ( )g x 的两个极值点，若 3 2a  ， 且    1 2g x g x k  恒成立，求实数 k 的取值范围. - 5 - 2019 年高三（13）班第四次周考卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D D A D A A A 10 解析：选 A ∵D 是 AC 的中点，延长 MD 至 E，使得 DE＝MD，∴四边形 MAEC 为平行四 边形，∴ MD  ＝1 2 ME  ＝1 2 ( MA  ＋ MC  )．∵ MB  ＋3 2 MA  ＋3 2 MC  ＝0，∴ MB  ＝－3 2 ( MA  ＋ MC  )＝－3 MD  ，∴|MD  | | BM  | ＝ |MD  | |－3 MD  | ＝1 3 ，故选 A 11 答案：0 12 答案：1 2 13 解析：由条件得 cos∠ABC＝1 3 ，sin∠ABC＝2 2 3 . 在△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b， 则由余弦定理得 9b2＝a2＋4－4 3 a.① 因为∠ADB 与∠CDB 互补， - 6 - 所以 cos∠ADB＝－cos∠CDB， 所以 4b2＋16 3 －4 16 3 3 b ＝－ b2＋16 3 －a2 8 3 3 b ， 所以 3b2－a2＝－6，② 联合①②解得 a＝3，b＝1，所以 AC＝3，BC＝3. 在△ABC 中，cos∠C＝BC2＋AC2－AB2 2BC·AC ＝32＋32－22 2×3×3 ＝7 9 . 答案：7 9 14 解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°， ∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得 600 sin 45° ＝ BC sin 30° ，解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 3 3 ＝100 6(m)． 答案：100 6 15 解：(1)因为∠D＝2∠B，cos∠B＝ 3 3 ， 所以 cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－1 3 . 因为∠D∈(0，π)， 所以 sin∠D＝ 1－cos2∠D＝2 2 3 . 因为 AD＝1，CD＝3， 所以△ACD 的面积 S＝1 2 AD·CD·sin∠D＝1 2 ×1×3×2 2 3 ＝ 2. (2)在△ACD 中， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12， 所以 AC＝2 3. 因为 BC＝2 3， AC sin∠B ＝ AB sin∠ACB ， - 7 - 所以 2 3 sin∠B ＝ AB sinπ－2∠B＝ AB sin 2∠B ＝ AB 2sin∠Bcos∠B ＝ AB 2 3 3 sin∠B ， 所以 AB＝4. 16.解：（1）曲线C 的普通方程是 2 2 14 3 x y  ，直线l 的直角坐标方程为 2 2 3 0x y   ． （2）直线l 经过点 11, 2P    ，且倾斜角是 45 ∴直线l 的参数方程是 21 2 1 2 2 2 x t y t        （t 是参数） ， 设 A ， B 对应的参数分别为 1t ， 2t ，将直线 l 的参数方程代入 2 2 14 3 x y  ， 整理得 27 2 2 16 0t t   ，∴ 1 2 1 2 2 2 7 16 7 t t t t       ∴由参数t 的几何意义可知： 1 2 16 7PA PB t t   ． 17. 解：（1） ( )f x 的定义域为 (0, ) ， 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) x axf x ax ax x        （i）若 0 1a  ，则 1 1a  .由 ( ) 0f x  得 0 1x  或 1x a  ；由 ( ) 0f x  得 11 x a   ∴ ( )f x 在 (0,1) ， 1 ,a     上单调递增，在 11, a      上单调递减； （ii）若 1a  ，则 ( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； （iii）若 1a  ，则 10 1a   ，由 ( ) 0f x  得 10 x a   或 1x  ；由 ( ) 0f x  得 1 1xa   ∴ ( )f x 在 10, a      ， (1, ) 上单调递增，在 1 ,1a      上单调递减. （2）∵ 21( ) ln ( 1)2g x x x a x    ， 21 ( 1) 1( ) ( 1) x a xg x x ax x         ， 由 ( ) 0g x  得 2 ( 1) 1 0x a x    ，∴ 1 2 1x x a   ， 1 2 1x x ，∴ 2 1 1x x  - 8 - ∵ 3 2a  ∴ 1 1 1 1 1 5 2 10 x x x x       解得 1 10 2x ≤ ∴        2 2 21 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1ln ( 1) 2ln2 2 xg x g x x x a x x x xx x               设 2 2 1 1( ) 2ln 2h x x x x       10 2x     ，则  22 3 3 12 1( ) 0 x h x xx x x         ∴ ( )h x 在 10, 2      上单调递减；当 1 1 2x  时， min 1 15( ) 2ln 22 8h x h     