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- 2021-04-17 发布
第页 1
2019 届高三上学期第一次月考
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．己知集合 02
xA x x
， 1,0,1,2,3B ，则 A B I （ ）
A． 1,0,3 B． 0,1 C． 0,1,2 D． 0,2,3,
2．己知i 为虚数单位，若复数 z 满足 1 i i iz ，则 z （ ）
A．i B． i C．1 D．-1
3．已知函数
0,2
0,12)( 2 xxx
xxf
x
，则函数的图象是（ ）
4．党的十八大以来，脱贫攻坚取得显著成绩.2013 年至 2016 年 4 年间，累计脱贫 5564 万人，2017 年各地
根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地 3000 户家庭的 2017 年所的年收入情况调
查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为
]100,80[),80,60[),60,40[),40,20[ ，则年收入不超过 6 万的家庭大约为（ ）
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A．900 户 B．600 户 C．300 户 D．150 户
5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，
称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十
步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内
的概率为（ ）
A．
15
2 B．
5
2 C．
15
4 D．
5
1
6.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果 S 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．1009
7．如果函数 xaxy 2cos2sin 的图象关于直线
12
x 对称，那么该函数的最大值为（ ）
A． 2 B．2 C． 3 D．3
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. 83 B. 82 C. 2442 D. 2443
9．已知定义在 R 上的偶函数 )(xf 对于 ),0[ 上任意两个不相等实数 1x 和 2x ， )(xf 都满足
0)()(
12
12
xx
xfxf ，若 )5(log),3(log),0( 22.0 fcfbfa ，则 cba ,, 的大小关系为（ ）
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A． abc B． bac C． bca D． cba
10．如图，在棱长为10的正方体内放入两个半径不相等的球 21,OO ，这两个球相外切，且球 1O 与正方体共
顶点 A 的三个面相切，球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切，则球 2O 的半径最大时，球 2O 的体积是
（ ）
A． 100 B．
3
500 C． 300 D． 3500
11．设 1 2,F F 分别为椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左右焦点，椭圆C 上存在一点 P 使得
1 2PF PF b ， 1 2
15
8PF PF ab ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． 1
2
B． 2
2
C． 3
2
D． 1
3
12．设函数 Rtttxexxf x ,5)3()( .若存在唯一的整数 0x ，使得 0)( 0 xf ，则实数t 的取值范围
为（ ）
A． ]2,3(
2 ee B． )2,3(
2 ee C． ]2,3(
2 ee D． )2,3(
2 ee
二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．己知向量 1,3a
r
， 2, 1b m
r
，若 a b∥
r r
，则实数 m ．
14．设实数 ,x y 满足
3 0,
3 0,
0,
x y
x
x y
，则 2z x y 的最大值为 ．
15．已知实数 yx, 满足
4
02
0632
x
yx
yx
，则 23 yxz 的最大值为 .
16．在锐角三角形 ABC 中， BA 2 ， CA , 的对边长分别是 ca, ，则
a
c 的取值范围为 .
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三、解答题 （本大题共 6 题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知正项等比数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ，且 )(12 *NnaS nn .
（1）求数列 }{ na 的通项公式；
（2）若 nn ab lg ，求数列 }{ nn ba 的前 n 项和 nT .
18．2017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和
网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得
金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.
（1）求获得台历是三人中至少有一人的红包超过5元的概率；
（2）统计一周内每天使用支付宝付款的人数 x 与商家每天的净利润 y 元，得到7组数据，如表所示，并作
出了散点图.
（i）直接根据散点图判断， bxay 与 dxcey 哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.
（ dcba ,,, 的值取整数）
（ii）根据（i）的判断，建立 y 关于 x 的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天
的净利润.
参考数据：
第页 5
x y
7
1
2)(
i
i xx
7
1
))((
i
ii yyxx
22.8
6
194.2
9
268.86 3484.29
附：对于一组数据 ),(,),,(),,( 2211 nn vuvuvu ，其回归直线 uv 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为 uva
uu
vvuu
n
i
i
n
i
ii
ˆˆ,
)(
))((
ˆ
1
2
1
.
19．如图， PA 平面 ABD ， PC 平面 BCD ， FE, 分别为 CDBC, 上的点，且 ACEF .
（1）求证： //EF 平面 ABD ；
（2）若 ABD 是边长为2的正三角形， DCBCPA ,3 ，平面 ABD 平面CBD ，求四面体 ABCD 的
体积.
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20．已知椭圆C ： )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的离心率为
2
3 ，点 )2
3,1( 在椭圆上.不过原点的直线l 与椭
圆交于 BA, 两点，且 0OBOA （O 为坐标原点）.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）试判断 22 ||
1
||
1
OBOA
是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由.
21．已知函数 Rmxx
mxxf ,ln2)(
2
.
（1）求函数 )(xf 的单调增区间；
（2）若函数 )(xf 有两个极值点 21, xx ，且 21 xx ，证明： 1)( 22 xxf .
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请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的方程为
2
2 12
x y ，曲线 2C 的参数方程为 cos
1 sin
x
y
（ 为参数），曲线 3C 的方程为 tany x ，
（ 0 , 02 x ），曲线 3C 与曲线 1 2C C、 分别交于 ,P Q 两点．
（Ⅰ）求曲线 1 2C C、 的极坐标方程；
（Ⅱ）求 2 2OP OQ 的取值范围．
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 3 2f x x a x ， 0a ．
（Ⅰ）当 1a 时，解不等式 1f x x ；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 4f x 有解，求 a 的取值范围.
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数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B A D A A B B D D B C A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．-7 14．6 15． 4 16． 2 2 3( , )2 3
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由 2 1n nS a n N （ ），可得 1 12 1S a ，
∴ 1 12 1a a ，∴ 1 1a .
又 2 22 1S a ，∴ 1 2 22 1a a a ，∴ 2 2a .
∵数列{ }na 是等比数列，∴公比 2
1
2aq a
，
∴数列{ }na 的通项公式为 12n
na .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， lg ( 1)lg2n nb a n ，
∴数列{ }n nb a 的前 n 项和
1 1 2 2( ) ( ) ( )n n nT b a b a b a
n-1=(0+1)+(lg2+2)+ +[(n-1)lg2+2 ]
1[lg2 2lg2 ( 1)lg2] (1 2 2 )nn
＝ ( 1) lg2 2 12
nn n
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过 5 元”为事件 M，5 名顾客中红包超过 5 元的
两人分别记为 1 2,A A ，不足 5 元的三人分别记为 1 2 3, ,B B B ，从这 5 名顾客中随机抽取 3 人，共有抽取情况
如下： 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2, , , ,A A B A A B A A B A B B
1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 1 3 2 2 3 1 2 3, , , , ,A B B A B B A B B A B B A B B B B B ，共 10 种.
其中至少有一人的红包超过 5 元的是前 9 种情况，
所以 9( ) 10P M .
（Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择 y a bx 作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.
第页 9
（ⅱ）由最小二乘法求得系数
7
1
7
2
1
( )( ) 3484.29 13268.86( )
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
，
所以 194.29 13 22.86 103a y bx
所以 y 关于 x 的回归方程为 103 13y x .
当 35x 时，商家当天的净利润 352y 元，
故使用支付宝付款的人数增加到 35 时，预计商家当天的净利润为 352 元.
19．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）证明：∵ PA 平面 ABD ，∴ PA BD .
又 PC 平面 BCD ，∴ ,PC BD PC EF ，
又 PA PC P ，∴ BD 平面 PAC .（3 分）
又 ,EF AC AC PC C ，∴ EF 平面 PAC ，
∴ //EF BD ………………4 分
∵ EF 平面 ABD ， BD 平面 ABD ，
∴ //EF 平面 ABD .
（Ⅱ）取 BD 的中点Q ，连接 ,AQ CQ .
∵ ABD 为正三角形，∴ AQ BD ，
∵平面 ABD 平面CBD ，且平面 ABD ∩平面 CBD BD ，
∴ AQ 平面CBD .
又 PC 平面 BCD ，∴ //AQ PC .
又 BC DC ，∴CQ BD ，
∴CQ 平面 ABD ，即CQ AQ .
∵ PA 平面 ABD ，∴ //PA CQ ，且 PA AQ ，
∴四边形 APCQ 为矩形，∴ 3CQ PA ，
∴ 1 1 1 2 3 3 33 3 2A BCD C ABD ABDV V S CQ ，
故四面体 ABCD 的体积为 3 .
第页 10
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C 的离心率 3
2
ce a
，又 2 2 2c a b ，
∴ 2 2 23
4 a a b ，∴ 2 24a b .
又点 3(1, )2P 在椭圆上，∴ 2 2
1 3 14a b
，
即 2 2
1 3 14 4b b
，∴ 2 1b ，则 2 4a ，
∴椭圆C 的方程为
2
2 14
x y .
（Ⅱ）当直线 OA 的斜率存在且不为 0 时，
设其方程为 y kx ，
∵ ,A B 分别为椭圆上的两点，且 0OA OB ，
即OA OB ，∴直线OB 的方程为 1y xk
.
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
把 y kx 代入椭圆C ：
2
2 14
x y ，
得 2
1 2
4
1 4x k
，∴
2
2
1 2
4
1 4
ky k
，
同理
2
2
2 2
4
4 4
kx k
，∴ 2
2 2
4
4y k
，
∴ 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1
| | | |OA OB x y x y
2 2
2 2 2 2
1 1 5
4 4 4 4 4
1 4 1 4 4 4
k k
k k k k
当直线 ,OA OB 中的一条直线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为 0，
此时 2 2 2 2
1 1 1 1 1 51| | | | 4 4OA OB a b
.
综上所述， 2 2
1 1
| | | |OA OB
为定值 5
4
.
21．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由 ( ) 2ln ,mf x x x m Rx
，得：
2
2 2
2 2( ) 1 , (0, )m x x mf x xx x x
第页 11
设函数 2( ) 2 , (0, )g x x x m x
当 1m 时，即 4+4 0m 时， ( ) 0g x ， ( ) 0f x ，
所以函数 ( )f x 在 ),0( 上单调递增.
当 1m 时，即 4+4 0m 时，
令 ( ) 0g x 得 1 1 1x m ， 2 1 1x m ， 1 2x x
当 1 0m 时，即 1 20 x x 时，在 1(0, )x 2( , )x 上， ( ) 0g x ， ( ) 0f x ;
在 1 2( , )x x 上， ( ) 0g x ， ( ) 0f x .
所以函数 ( )f x 在 1(0, )x ， 2( , )x 上单调递增，在 1 2( , )x x 上单调递减.
当 0m 时，即 1 20x x 时，在 2(0, )x 上， ( ) 0g x ， ( ) 0f x ;
在 2( , )x 上， ( ) 0g x ， ( ) 0f x .
所以函数 ( )f x 在 2(0, )x 上单调递减，在 2( , )x 上单调递增.
综上，当 1m 时，函数 ( )f x 在 ),0( 上单调递增；
当 1 0m 时，函数 ( )f x 在 (0,1 1 )m ， (1+ 1 , )m 上单调递增，
在 (1 1 ,1+ 1 )m m 上单调递减；
当 0m 时，函数 ( )f x 在 (0,1+ 1 )m 上单调递减，
在 (1+ 1+ , )m 上单调递增.
（Ⅱ）证明：∵函数 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2x x ，
∴ 2( ) 2 0g x x x m 有两个不同的正根 1 21 1 , 1 1x m x m ，
∴ 1 2 0,
4 4 0,
x x m
m
∴ 1 0m .
欲证明 2 2 2 2
2
( ) 2ln 1mf x x x xx
，即证明 2
2
2ln 1mx x
，
∵ 2
2 22m x x ，
∴证明 2
2
2ln 1mx x
成立，等价于证明 2 22ln 1x x 成立.
∵ 2 2( 2) ( 1,0)m x x ，∴ 2 1 1 (1,2)x m .
设函数 ( ) 2ln , (1,2)h x x x x ，
求导可得 2'( ) 1h x x
.
易知 '( ) 0h x 在 (1,2)x 上恒成立，
即 ( )h x 在 (1,2)x 上单调递增，
第页 12
∴ ( ) (1) 1h x h ，即 2 22ln 1x x 在 2 (1,2)x 上恒成立，
∴函数 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2x x 时， 2 2( ) 1f x x .
22．解：（Ⅰ）因为 cosx ， siny ，所以曲线 1C 的极坐标方程为
2 2
2 2cos sin 12
，即 2
2
2
1 sin
由 cos
1 sin
x
y
（ 为参数），消去 ，
即得曲线 2C 直角坐标方程为 22 1 1x y
将 cosx ， siny ，代入化简，
可得曲线 2C 的极坐标方程为 2sin
（Ⅱ）曲线 3C 的极坐标方程为 ， 0,0 2
由（1）得 2
2
2
1 sinOP
， 2 24sinOQ
即
2
2 2
2
8sin
1 sinOP OQ
2
8
1 1sin
因为 0 2
，所以 0 sin 1 ，
所以 2 2 0,4OP OQ
23．解：（Ⅰ）当 1a 时，即解不等式 1 3 2 1x x x
当 1x 时，不等式可化为 2 3 1x x ，即 2
3x ，与 1x 矛盾无解
当 2 13 x 时，不等式可化为 4 1 1x x ，
即 0x ，所以解得 2 03 x
当 2
3x 时，不等式可化为 2 3 1x x ，
即 4x ，所以解得 24 3x
综上所述，不等式的解集为 4,0
第页 13
（Ⅱ）
22 2, 3
24 2 , 3
2 2,
x a x
f x x a x a
x a x a
因为函数 f x 在 2, 3
上单调递增，在 2 ,3
上单调递减，
所以当 2
3x 时， max
2
3f x a
不等式 4f x 有解等价于 max
2 43f x a ，
故 a 的取值范围为 10 ,3