湖北省武汉三中2019-2020学年高一5月月考数学试题 PDF版含答案 15页

武汉市第三中学高一 5 月月考试题（5.31） 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题．（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项 中，只有一个选项符合题目的要求．） 1．若 A（-2，3），B（3，-2），C（ 1 2 ，m）三点共线，则 m 的值是（ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 2 D． 2 【答案】B 【解析】 【分析】 本道题目利用三点共线,得到 AB BC  ,说明向量对应坐标成比例,建立等式,即可. 【详解】 因为 A,B,C 三点共线,故 AB BC  ,而   55, 5 , , 22AB BC m          ,建立等式 5 5 5 2 2 m   , 1 2m  ,故选 B. 【点睛】 本道题目考查了向量平行问题,向量平行满足对应坐标成比例,即可得出答案. 2．在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB  A． 3 1 4 4AB AC  B． 1 3 4 4AB AC  C． 3 1 4 4 AB AC  D． 1 3 4 4 AB AC  【答案】A 【解析】 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 1 1 2 2BE BA BC    ， 之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 BC BA AC    ，之后将其合 并，得到 3 1 4 4BE BA AC    ，下一步应用相反向量，求得 3 1 4 4EB AB AC    ，从而 求得结果. 3．若向量 (0, 2)m   ， ( 3,1)n  ，则与 2m n  共线的向量可以是（ ） A． ( 3, 1) B． ( 1, 3) C． ( 3, 1)  D． ( 1, 3)  【答案】B 【解析】 【分析】 先利用向量坐标运算求出向量 2m n  ,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】    0, 2 , 3,1m n     2 3, 3m n        31, 3 3, 33     故选 B 4．已知数列 na 满足递推关系： 1 1 n n n aa a   , 1 1 2a  ,则 2020a （ ） A． 1 2019 B． 1 2020 C． 1 2021 D． 1 2022 【答案】C 【解析】 【分析】 利用数列递推关系,结合等差数列的定义得数列 1 na       是首项为 2 ,公差为1的等差数列, 再利用等差数列的通项公式计算即可． 【详解】 解： 1 1 n n n aa a   , 1 1 1 1 n na a    , 又 1 1 2a  ,数列 1 na       是首项为 2 ,公差为1的等差数列,即 1 1 n na   2020 1 2 2019 2021a     , 即 2020 1 2021a  . 故选 C． 【点睛】 本题考查了数列递推关系,等差数列的概念和等差数列的通项公式,属于基础题． 5．已知等比数列{ }na 的各项均为正数，且 13 2 a ， 3 4 a ， 2a 成等差数列，则 20 19 18 17 a a a a   （ ） A．9 B． 6 C．3 D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 易得 2 220 19 18 17 18 17 18 2 17 a a a q a qa a a a q    ，于是根据已知条件求等比数列的公比即可. 【详解】 设公比为 q.由 13 2 a ， 3 4 a ， 2a 成等差数列，可得 31 2 3 2 2 aa a  ， 所以 2 1 1 1 3 2 2 a a qa q  ，则 2 2 3 0q q   ，解 1q   (舍去)或 3q  . 所以 2 220 19 18 17 18 17 18 1 2 7 9a a a q a qa a a a q     .故选 A. 【点睛】 本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差) 是最基本的两个量，一般需要设出并求解. 6．已知两点    2, 1 , 5, 3  A B ，直线 l 过点（1，1），若直线l 与线段 AB 相交，则 直线 l 的斜率取值范围是( ) A．  2, 2 ,3      B． 22, 3     C． 2 23 ，    D．  2, 2,3       【答案】A 【解析】 【分析】 求出直线所过定点 P ，画出图形，再求出 PA ， PB 的斜率，数形结合得答案． 【详解】 解：直线 : 1 0   l ax y a 过定点 (1,1)P ，  1 1 22 1PAk     ， 3 1 2 1 35PBk     ， 直线 : 1 0   l ax y a 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率取值范围是 ( , 2] [ 2 3 , )   ． 故选： A ． 7、若正数 a,b 满足 a+b=2,则 1 4 1 1a b   的最小值是( ) A．1 B． 9 4 C．9 D．16 【答案】B 【解析】 【分析】 由 2a b  可得    1 1 4a b    ，所以可得      4 11 4 1 1 4 1 11 1 1 41 1 4 1 1 4 1 1 aba ba b a b a b                         ，由基 本不等式可得结果. 【详解】 ∵ 2a b  ，∴   1 1 4a b    ， 又∵ 0a  ， 0b  ， ∴    1 4 1 1 4 1 11 1 4 1 1 a ba b a b                    4 11 1 1 91 4 5 44 1 1 4 4 ab a b             ， 当且仅当  4 11 1 1 ab a b    ， 即 1 3a  ， 5 3b  时取等号, 1 4 1 1a b   的最小值是 9 4 ,故选 B. 【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式 中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等” （等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. 8、已知各项均为正数的等比数列 na 的前 4 项和为 15，且 5 3 13 4a a a  ，则 3a （ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用方程思想列出关于 1 ,a q 的方程组，求出 1 ,a q ，再利用通项公式即可求得 3a 的值． 【详解】 设正数的等比数列{an}的公比为 q，则 2 3 1 1 1 1 4 2 1 1 1 15, 3 4 a a q a q a q a q a q a         ， 解得 1 1, 2 a q    ， 2 3 1 4a a q   ，故选 C． 9．在 ABC 中，角 A ， B 的对边分别是 a ，b ，且 60A   ， 2b  ， a x ，若解 此三角形有两解，则 x 的取值范围是（ ） A． 3x  B． 0 2x  C． 3 2x  D． 3 2x  【答案】C 【解析】 【分析】 由三角形有两解可得，60 90B   或90 120B    ，得到sin B 的取值范围，再由 正弦定理，即可求解. 【详解】 由正弦定理得 sin 3sin b AB a x   ， 60A   ， 0 120B     ，要使此三角形有两解， 则 60 120B   ，且 90B  ，即 3 sin 12 B  ， 3 3 12 x    ，解得 3 2x  . 故选：C. 【点睛】 本题考查正弦定理解三角形，确定角的范围是解题的关系，考查数学运算能力，属于基 础题. 10．已知 ABC 中， 5, 15AB AC  ，AD 为边 BC 的中线，且 4AD ，则 BC 边的 长为（ ） A．3 B．3 2 C． 2 3 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】 设 2BC x ，在 ABC 和 ABD△ 中同时用余弦定理表示出 cos B ，列出关于 x 的方 程，解出即可． 【详解】 解：设 2BC x ， 在 ABC 中   2222 2 2 25 2 15 10 4cos 2 2 5 2 20 xAB CB AC xB AB CB x x         ， 在 ABD△ 中 2 2 2 2 2 2 25 4 9cos 2 2 5 10 AB DB AD x xB AB DB x x          ， 2 210 4 9 20 10 x x x x    ，解得 2x  ． 则 4BC  ． 故选：D． 【点睛】 本题考查余弦定理解三角形，其中在不同三角形中表示同一角的余弦，然后构造方程是 关键，考查了学生计算能力，是中档题． 角形外接圆半径. 11．设 10 2m  ，若 21 2 21 2 k km m    恒成立，则 k 的取值范围为（ ） A．   2,0 0,4  B．   4,0 0,2  C． 4,2 D． 2,4 【答案】D 【解析】 由于 10 2m  ，则 1 2 1 2m m   =      2 1 2 2 81 2 2 1 2 2 1 2 4 m m m m m m           当 2m=1-2m 即 m= 1 4 时取等号； 所以 21 2 21 2 k km m    恒成立，转化为 1 2 1 2m m   的最小值大于等于 2 2k k ，即 2 2k k 8 2 4k    故选 D 12．在 ABC 中， E 为 AC 上一点， 3AC AE  ， P 为 BE 上任一点，若 ( 0, 0)AP mAB nAC m n      ，则 3 1 m n  的最小值是 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定 ,m n 的关系，然后结合均值不等式的结 论整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由题意可知： 3AP mAB nAC mAB nAE        ， , ,A B E 三点共线，则： 3 1m n  ，据此有：  3 1 3 1 9 93 6 6 2 12n m n mm nm n m n m n m n               ， 当且仅当 1 1,2 6m n  时等号成立. 综上可得： 3 1 m n  的最小值是 12. 本题选择 D 选项. 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）[来源:学|科|网] 二、填空题．（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．） 13．已知向量 (2,1)a  ， (3, 1)b   ，则向量 a  在b  方向上的投影为______． 10 2 14、设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 1 0a  ， 14 9S S ，则满足 0nS  的最大自 然数 n 的值为（ ） A．12 B．13 C．22 D．23 【答案】C 【解析】 分析：由等差数列 na 的前 n 项和的公式求解 14 9S S ，解出 1a d、 的关系式，再求出 0nS  的临界条件，最后得解。 详解：等差数列 na 的前 n 项和为 14 9nS S S， ，所以  1 14 5 17 9 11a a a a d     所以  12na n d  ，其中 1 0a  ，所以 0d  ，当 0na  时，解得 12n  ，  1 23 12 23 23 02nS a a a    ，所以 0nS  的最大自然数 n 的值为 22。故选 C 点睛：本题应用公式  1  2 n n n a aS  ，等差数列的性质：若 m n p q   ，则 a a a am n p q   。对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出 1a d、 的关系式， 再求出 0nS  的临界条件，判断满足 0nS  的最大自然数 n 的值。 15、如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B ，C 的俯角分别为 60 和30 ，如 果这时气球的高是 30 米，则河流的宽度 BC 为______米. 【答案】 20 3 【解析】 【分析】 由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案． 【详解】 解：由题意可知 30C   ， 30BAC  ， 30DAB   ， 30AD m ， 30 20 3cos30BC AB    ． 故答案为 20 3 . 16．已知实数 x ， y 满足 0x y  ，则 4x x y x y x y   的最小值是______． 2 2 2 三、解答题．（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或必要 的演算步骤．） 17、已知 cba  ,, 在同一平面内，且 )2,1(a ． (1)若 53c ，且 ca ∥ ，求 c ； (2)若 2b  ，且 )()2( baba   ，求 a 与b  的夹角的余弦值． 17．解：（1）设 ),( yxc  ∵ ca ∥ ， )2,1(a ， ∴ ， ∴ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 ∵ 5c ， ∴ 522  yx ， ∴ 522  yx ， 即 454 22  xx ，∴           6 3 6 3 y x y x 或 ∴ )6,3()6,3(  cc  或 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 （2）∵ )()2( baba   ， ∴ 0)()2(  baba  ， ∴ 0202 2222  bbaabbaa  即 ， 又∵ 2,5 22  ba  ， ∴ 1ba  ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 ∴ 10 10 25 1cos      ba ba    ， ∴ a 与 b  的夹角的余弦值为 10 10 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 18、（1）不等式 2 2 1 0mx mx   ，对任意实数 x 都成立，求 m 的取值范围； （2）求关于 x 的不等式  2 1 1 0( 0)ax a x a     的解集. 【答案】（1）{ | 0 1}m m  ；（2）当 1a  时，不等式的解集为 ；当 0 1a  时， 不等式的解集为 11, a      ；当 1a  时，不等式的解集为 1 ,1a      . 【解析】 【分析】 （1）由不等式 2 2 1 0mx mx   ，对任意实数 x 都成立，结合一元二次函数的性质，分 类讨论，即可求解； （2）由 0a  ，原不等式化为  1 1 0x xa       ，根据根的大小，分类讨论，即可求 解. 【详解】 （1）由题意，不等式 2 2 1 0mx mx   ，对任意实数 x 都成立， ①当 0m  时，可得1 0 ，不等式成立，所以 0m  ； ②当 0m  时，则满足 0 0 m    ，即 2 0 4 0 m m m      ，解得 0 1m  ， 所以实数 m 的取值范围{ | 0 1}m m  . （2）不等式  2 1 1 0ax a x    可化为  1 1 0ax x   ， 可得不等式对应一元二次方程的根为 1 1x  ， 2 1x a  ， 当 1 1a  时，即 1a  时，不等式的解集为 ； 当 1 1a  时，即 0 1a  时，不等式的解集为 11, a      ； 当 1 1a  时，即 1a  时，不等式的解集为 1 ,1a      . 【点睛】 19、已知{ }na 为等差数列，前 n 项和为 *( )nS nN ，{ }nb 是首项为 2 的等比数列，且 公比大于 0， 2 3 3 4 1 11 412, 2 , 11b b b a a S b     . （Ⅰ）求{ }na 和{ }nb 的通项公式； （Ⅱ）求数列 2{ }n na b 的前 n 项和 *( )n N . 【答案】（Ⅰ） 3 2na n  . 2n nb  .（Ⅱ） 2(3 4)2 16nn   . 【解析】 试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 n 项和公式列方程求出等差数列首项 1a 和公差 d 及等比数列的公比 q，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减 法求出数列的和，要求计算要准确. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{ }na 的公差为 d ，等比数列{ }nb 的公比为 q.由已知 2 3 12b b  ，得  2 1 12b q q  ，而 1 2b  ，所以 2 6 0q q   .又因为 0q  ，解得 2q  .所以， 2n nb  . 由 3 4 12b a a  ，可得 13 8d a  ① .由 11 411S b ，可得 1 5 16a d  ② ，联立①②， 解得 1 1, 3a d  ，由此可得 3 2na n  . 所以，{ }na 的通项公式为 3 2na n  ，{ }nb 的通项公式为 2n nb  . （Ⅱ）解：设数列 2{ }n na b 的前 n 项和为 nT ，由 2 6 2na n  ，有  2 34 2 10 2 16 2 6 2 2n nT n          ，    2 3 4 12 4 2 10 2 16 2 6 8 2 6 2 2n n nT n n              ， 上述两式相减，得  2 3 14 2 6 2 6 2 6 2 6 2 2n n nT n                   1 212 1 2 4 6 2 2 3 4 2 161 2 n n nn n            . 得   23 4 2 16n nT n    . 所以，数列 2{ }n na b 的前 n 项和为  23 4 2 16nn   . 20、近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封 锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为 5G，然而这并没有让华 为却步.华为在 2018 年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一 企业为了进一步增加市场竞争力，计划在 2020 年利用新技术生产某款新手机.通过市场 分析，生产此款手机全年需投入固定成本 250 万，每生产 x（千部）手机，需另投入成 本 ( )R x 万元，且 210 100 ,0 40 ( ) 10000701 9450, 40 x x x R x x xx         ，由市场调研知，每部手机售 价 0.7 万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （ I ）求出 2020 年的利润 ( )W x （万元）关于年产量 x（千部）的函数关系式，（利润= 销售额—成本）； ( )II 2020 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（Ⅰ） 210 600 250,0 40 ( ) 10000( ) 9200, 40 x x x W x x xx          （Ⅱ）2020 年产量为 100（千 部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本 250 万和成本  R x ）求出利润函数即可. （Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值. 【详解】 （Ⅰ）当 0 40x  时，    2 2700 10 100 250 10 600 250W x x x x x x        ； 当 40x  时，   10000 10000700 701 9450 250 9200W x x x xx x                   ，    210 600 250,0 40 10000 9200, 40 x x x W x x xx                . （Ⅱ）若 0 40x  ，    210 30 8750W x x    ， 当 30x  时，  max 8750W x  万元 . 若 40x  ，   10000 9200 9200 2 10000 9000W x x x           ， 当且仅当 10000x x  时，即 100x  时，  max 9000W x  万元 . 2020 年产量为 100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是 9000 万元. 21、在 ABC 中，角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 sin 31 cos a C cA  . （1）求角 A 的大小； （2）若 10b c  ， ABC 的面积 4 3ABCS  ，求 a 的值. 【答案】（1） 3A  ；（2） 2 13 ． 【解析】 【分析】 （1）把 sin 31 cos a C cA  中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得 3sin( )3 2A   ， 进而可求得 3A  ．（2）由 4 3ABCS  可得 16bc  ，再由余弦定理可求得 2 13a  ． 【详解】（1）由正弦定理及 sin 31 cos a C cA  得 sin sin 3sin1 cos A C CA  ， ∵sin 0C  ， ∴  sin 3 1 cosA A  ， ∴sin 3cos 2sin 33A A A        ， ∴ 3sin 3 2A      ， 又 0 A   ， ∴ 4 3 3 3A     ， ∴ 2 3 3A    ， ∴ 3A  ． （2）∵ 1 3sin2 4ABCS bc A bc   ， ∴ 16bc  ． 由余弦定理得    2 22 2 2 2 cos 2 33a b c bc b c bc bc b c bc          ， 又 10b c  ， ∴ 2 210 3 16 52a     ， 2 13a  ． 22、已知数列 na 的前 n 项和   1 *1 2 N2 n n nS a n         ，数列 nb 满足 2n n nb a . （Ⅰ）求证：数列 nb 是等差数列，并求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）设     1 1 2 1n n n n n nc n a n a      ，数列 nc 的前 n 项和为 nT ，求满足  *124 N63nT n  的 n 的最大值. 【答案】(Ⅰ) 2n n na  ；(Ⅱ)4. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用 1 1 1 1 2 n n n n n na S S a a              ，整理可得数列 nb 是首项和公差均为 1 的等差数列，求出 nb 的通项公式可得数列 na 的通项公式；(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得   1 1 12 12 2 n n n n n nc n nn n            1 1 12 2 1 2 1n n       ，利用裂项相消法求得 1 1 1242 1 2 1 63n nT        ，解不等式可得结果. 【详解】 (Ⅰ)   11 22 n n nS a n N          ， 当 2n  时， 2 1 1 1 22 n n nS a           ， 1 1 1 1 2 n n n n n na S S a a               ， 化为 1 12 2 1n n n na a   ， 12 , 1n n n n nb a b b     ， 即当 2n  时, 1 1n nb b   ， 令 1n  ,可得 1 1 11 2S a a     ,即 1 1 2a  . 又 1 12 1b a  ,数列 nb 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是  1 1 1 2n n nb n n a      ， 2n n na  . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得   1 1 12 12 2 n n n n n nc n nn n               1 11 2 1 12 2 1 2 12 1 2 1 n n nn n            , 2 2 3 1 1 1 1 1 12 1 ...2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nT                 1 1 1242 1 2 1 63n       , 可得 1 62 64 2n   ， 5n  ， 因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.