专题67 二项分布及其应用-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 23页

专题67二项分布及其应用 最新考纲 ‎1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．‎ ‎2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．‎ ‎3.能解决一些简单的实际问题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．条件概率及其性质 ‎(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．‎ 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.‎ ‎(2)条件概率具有的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，‎ 则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．‎ ‎2．相互独立事件 ‎(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．‎ ‎(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，‎ P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．‎ ‎(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．‎ ‎(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A与B相互独立．‎ ‎3．独立重复试验与二项分布 ‎(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．‎ ‎(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】条件概率 ‎【典型例题】‎ 某班组织由甲，乙，丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：设事件A＝{学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场}，事件B＝{学生丙第一个出场}，‎ 所以P（AB）‎ P（A），‎ 所以P（B|A）．‎ 故选：A． 【再练一题】‎ 在由直线x＝1，y＝x和x轴围成的三角形内任取一点（x，y），记事件A为y＞x3，B为y＞x2，则P（B|A）＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】‎ 解：设S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．‎ 根据条件概率的概率计算公式P（B|A）．‎ 故选：D．‎ ‎ 思维升华 (1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝，这是通用的求条件概率的方法．‎ ‎(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎【题型二】相互独立事件的概率 ‎【典型例题】‎ 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼．某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，‎ 若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第1球投进的概率为，‎ 则他第2球投进的概率为：‎ p．‎ 故选：B． 【再练一题】‎ 在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（　　）‎ A．P1P2 B．1﹣P1P2 ‎ C．P1（1﹣P2） D．（1﹣P1）（1﹣P2）‎ ‎【解答】解：在某段时间内，甲地不下雨的概率为P1（0＜P1＜1），‎ 乙地不下雨的概率为P2（0＜P2＜1），‎ 在这段时间内两地下雨相互独立，‎ 则这段时间内两地都下雨的概率为：‎ P＝（1﹣P1）（1﹣P2）．‎ 故选：D． 思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立．‎ ‎(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ‎①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；‎ ‎【题型三】独立重复试验与二项分布 命题点1　根据独立重复试验求概率 ‎【典型例题】‎ 将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，‎ 则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是P．‎ 故选：B．‎ ‎【再练一题】‎ 某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，‎ ‎（1）恰有8次击中目标的概率；‎ ‎（2）至少有8次击中目标的概率．‎ ‎【解答】解：（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为••．‎ ‎（2）至少有8次击中目标的概率为••••．‎ 命题点2　根据独立重复试验求二项分布 ‎【典型例题】‎ 设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈‎ ‎（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．‎ ‎（1）当p＝q时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；‎ ‎（2）当p+q＝1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．‎ ‎【解答】解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，‎ 当p＝q时，每次试验事件发生的概率相等，‎ ‎∴ξ～B（3，），由二项分布的期望和方差公式得到结果 ‎∴Eξ＝np＝3，Dξ＝np（1﹣p）＝3‎ ‎（2）ξ的可取值为0，1，2，3．‎ P（ξ＝0）＝（1﹣q）（1﹣p）2＝pq2；‎ P（ξ＝1）＝q（1﹣p）2+（1﹣q）C21p（1﹣p）＝q3+2p2q；‎ P（ξ＝2）＝qC21p（1﹣p）+（1﹣q）p2＝2pq2+p3；‎ P（ξ＝3）＝qp2．‎ ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P pq2‎ q3+2p2q ‎2pq2+p3‎ qp2‎ Eξ＝0×pq2+1×（q3+2p2q）+2×（2pq2+p3）+3×qp2＝1+p． 【再练一题】‎ 一个盒子里有2个黑球和m个白球（m≥2，且m∈N*）．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．‎ ‎（Ⅰ）求每次中奖的概率p（用m表示）；‎ ‎（Ⅱ）若m＝3，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；‎ ‎（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p），当m为何值时，f（p）取得最大值？‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵取出2球的颜色相同则为中奖，‎ ‎∴每次中奖的概率p；‎ ‎（Ⅱ）若m＝3，每次中奖的概率p，‎ ‎∴三次摸奖恰有一次中奖的概率为；‎ ‎（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为f（p）3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），‎ ‎∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），‎ ‎∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，‎ ‎∴p时，f（p）取得最大值，即p ‎∴m＝2，即m＝2时，f（p）取得最大值．‎ 思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ‎(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．‎ ‎(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．‎ 基础知识训练 ‎1．已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 记“第一次抽到红球”为事件；记“第二次抽到红球”为事件 ‎，‎ 本题正确选项：‎ ‎2．科目二，又称小路考，是机动车驾驶证考核的一部分，是场地驾驶技能考试科目的简称．假设甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，则甲第3次考试才通过科目二的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 甲每次通过科目二的概率均为，且每次考试相互独立，‎ 则甲第3次考试才通过科目二的概率为：.‎ 故选：D．‎ ‎3．甲骑自行车从地到地，途中要经过个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是，所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是 ‎ 故选B.‎ ‎4．甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，两人考试相互独立，则甲、乙两人都未达到优秀的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由于甲、乙考试达到优秀的概率分别为，，则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，‎ 由于两人考试相互独立，所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为：‎ 故答案选D ‎5．设随机变量X服从二项分布，则函数存在零点的概率是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵函数存存在零点， ‎ ‎∵随机变量服从二项分布 ． 故选：C．‎ ‎6．设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则D(η)= ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由随机变量ξ~B(2,p),且P(ξ≥1)=,‎ 得P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=，解得.‎ 则,随机变量η的方差.‎ 本题选择C选项.‎ ‎7．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以 ‎.故选A.‎ ‎8．若10件产品中包含8件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，记事件A为“取出的2件产品中存在1件不是一等品”，事件B为“取出的2件中，1件是一等品，1件不是一等品”，‎ 则，‎ 所以，故选C．‎ ‎9．甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军．4个人相互比赛的胜率如右表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率．‎ 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 甲、乙比赛甲获胜的概率是0.3，‎ 丙、丁比赛丙获胜的概率是0.5，‎ 甲、丙决赛甲获胜的概率是0.3，‎ 根据独立事件的概率等于概率之积，所以，‎ 甲得冠军且丙得亚军的概率：.‎ 故选C.‎ ‎10．在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.‎ ‎11．假定某人在规定区域投篮命中的概率为，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次.‎ ‎（1）求连续命中2次的概率；‎ ‎（2）设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设表示第次投篮命中，表示第次投篮不中；设投篮连续命中2次为事件 ‎，则．‎ ‎（2）命中的次数可取0，1，2，3；‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎ 答：的数学期望为2．‎ ‎12．为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，新苗中学数学教师对新入学的名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于小时的有人，余下的人中，在高三模拟考试中数学成绩不足分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：‎ 分数大于等于分 分数不足分 合计 周做题时间不少于小时 ‎4‎ ‎19‎ 周做题时间不足小时 合计 ‎45‎ ‎（）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．‎ ‎（）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于分和分数不足 分的两组学生中抽取名学生，设抽到的不足分且周做题时间不足小时的人数为，求的分布列（概率用组合数算式表示）．‎ ‎（ii）若将频率视为概率，从全校大于等于分的学生中随机抽取人，求这些人中周做题时间不少于小时的人数的期望和方差．‎ 附：‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) （i）见解析 （ii）见解析 ‎【解析】‎ ‎（）‎ 分数大于等于分 分数不足分 合计 周做题时间不少于小时 ‎19‎ 周做题时间不足小时 ‎26‎ 合计 ‎45‎ ‎∵．‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”．‎ ‎（）（i）由分层抽样知大于等于分的有人，不足分的有人，的可能取值为，，，，．‎ ‎， ，‎ ‎， ， ．‎ 则分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（ii）设从全校大于等于分的学生中随机抽取人，这些人中，周做题时间不少于小时的人数为随机变量，‎ 由题意可知，‎ 故，．‎ ‎13．生蚝即牡蛎(oyster)，是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产蚝.蚝乃软体有壳，依附寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝成为了一年四季不可或缺的一类美食.某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示.‎ 质量()‎ 数量 ‎6‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎(1)若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；‎ ‎(2)以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（I）（只）；（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为 ‎，‎ 所以购进，生蚝的数列均为（只）；‎ ‎(II)由表中数据知，任意挑选一只，质量在间的概率为，‎ 的可能取值为，则,‎ ‎,‎ 所以的分布列为 所以 ‎14．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况,从产品中随机抽取了个进行测量,根据所测量的数据画出频率分布直方图如下:‎ ‎ 注:尺寸数据在内的零件为合格品,频率作为概率.‎ ‎(Ⅰ) 从产品中随机抽取件,合格品的个数为,求的分布列与期望； ‎ ‎(Ⅱ) 从产品中随机抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值；‎ ‎(Ⅲ) 为了提高产品合格率,现提出两种不同的改进方案进行试验.若按方案进行试验后,随机抽取件产品,不合格个数的期望是；若按方案试验后,抽取件产品,不合格个数的期望是,你会选择哪个改进方案?‎ ‎【答案】(Ⅰ)分布列见解析，； (Ⅱ)； (Ⅲ)选择方案.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由直方图可知,抽出产品为合格品的频率为,即抽出产品为合格品的概率为, 从产品中随机抽取件,合格品的个数的所有可能取值为且 , , 所以的分布列为 ‎ 故数学期望 ‎ ‎(Ⅱ) 随机抽取件,全是合格品的概率为,依题意,故的最大值为. ‎ ‎(Ⅲ) 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数；‎ 按方案随机抽取产品不合格的概率是,随机抽取件产品,不合格个数,‎ 依题意,解得, ‎ 因为,所以应选择方案.‎ ‎15．为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：‎ 阶梯级别 第一阶梯水量 第二阶梯水量 第三阶梯水量 月用水量范围(单位：立方米)‎ 从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：‎ ‎（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；‎ ‎（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有3户，二阶的有5户，三阶的有2户．第二阶段水量的户数的可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）设为从全市抽取的10户中用水量为一阶的家庭户数，依题意得，‎ ‎，‎ 由，解得，又，所以当时概率最大．‎ 即从全市依次随机抽取10户，抽到3户月用水量为一阶的可能性最大.‎ 能力提升训练 ‎1．若已知随机变量，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 随机变量，‎ 则．‎ 故答案为：．‎ ‎2．某工厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品的概率分布.‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎【答案】0.9025 0.095 0.0025‎ ‎【解析】‎ 因，所以，‎ ‎，， 故分别填：，，.‎ ‎3．设随机变量，且，则事件“”的概率为_____‎ ‎（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由可知：‎ 本题正确结果：‎ ‎4．如图，在小地图中，一机器人从点出发，每秒向上或向右移动格到达相应点，已知每次向上移动格的概率是，向右移动格的概率是，则该机器人秒后到达点的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意，可得秒内向右移动次，向上移动次 则所求概率为：‎ 本题正确结果：‎ ‎5．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，若表示抽到的二等品件数，则_________.‎ ‎【答案】1.96‎ ‎【解析】‎ 由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，，，则，故答案为1.96‎ ‎6．设随机变量，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎7．为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间 (分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：‎ 时间（分）‎ 频数 ‎2‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎10‎ 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．‎ ‎（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；‎ ‎（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；‎ ‎（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）‎ ‎【答案】(1) (2)见解析(3) 估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用 ‎【解析】‎ ‎（1）当时， ‎ ‎ 当时，. ‎ 得： ‎ ‎（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率 可取. ‎ ‎ ‎ 的分布列为 ‎ ‎ 或依题意 ‎ ‎（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），‎ 每次上下班租车的费用约为（元）‎ 一个月上下班租车费用约为，‎ 估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．‎ ‎8．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．‎ ‎(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军的概率；‎ ‎(2)设总决赛中获得的门票总收入为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）已知总决赛中获得门票总收入恰好为150万元且甲获得总冠军即甲连胜3场，则其概率为 ；‎ ‎（2）随机变量X可取的值为150，220，300.‎ 又P(X＝150)＝2×＝，P(X＝220)＝C××＝，P(X＝300)＝C××＝.‎ 分布列如下：‎ 所以X的数学期望为E(X)＝150×＋220×＋300×＝232.5(万元)．‎ ‎9．在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．‎ ‎（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数；‎ ‎（2）根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1），82；（2）见解析 ‎【解析】‎ 由题意：，‎ 估计这200名选手的成绩平均数为．‎ 由题意知， X B (3,1/3)，X可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ 所以X的分布列为  ：‎ ‎  ‎ X的数学期望为 ．‎ ‎10．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的列联表： ‎ 支持 不支持 合计 男性 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女性 ‎40‎ ‎35‎ ‎75‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎(1)根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？‎ ‎(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为,求的分布列及数学期望。‎ 附：.‎ ‎0.15‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. ‎ ‎（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由列联表可得 而 所以有97.5%的把握认为 “支持政策”与“性别”有关. ‎ ‎（2） 由列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为，将频率视为概率，即从A市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为. ‎ 由于总体容量很大，故可视作服从二项分布，即XB(4,)，‎ 所以 从而X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以的数学期望为. ‎