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- 2021-04-15 发布
了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.
一、条件概率与相互独立事件的概率
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为()．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则(n(AB)表示A，B共同发生的基本事件的个数)．
（2）条件概率具有的性质
①；
②如果B和C是两个互斥事件，则.
2．相互独立事件
（1）对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则．
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
（4）若，则A与B相互独立．
【注】①中至少有一个发生的事件为A∪B；
②都发生的事件为AB；
③都不发生的事件为；
④恰有一个发生的事件为；
⑤至多有一个发生的事件为.
二、独立重复试验与二项分布
1．独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
若表示第i次试验结果，则.
【注】独立重复试验是各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的．
2．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为．
考向一 条件概率
条件概率的两种解法：
(1)定义法：先求和，再由求．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数，再求事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数，得.
典例1 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则等于
A． B．
C． D．
【答案】B
解法二：，n(AB)=1，∴P(B|A)==，故选B．
1．如图，四边形是以为圆心、半径为2的圆的内接正方形，四边形是正方形的内接正方形，且分别为的中点.将一枚针随机掷到圆内，用表示事件“针落在正方形内”，表示事件“针落在正方形内”，则
A． B．
C． D．
考向二 相互独立事件的概率
求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
典例2 已知甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是．现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为
A． B．
C． D．
【答案】A
2．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
考向三 独立重复试验与二项分布
独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率即可．
(2)根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
典例3 设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)=，则P(η≥2)的值为
A． B．
C． D．
【答案】B
3．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.
（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．
1．已知随机变量服从二项分布，则等于
A． B．
C． D．
2．已知P(B|A)=，P(A)=，则P(AB)等于
A． B．
C． D．
3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
4．已知某品种的幼苗每株成活率为，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为
A． B．
C． D．
5．设随机变量服从二项分布，且期望，，则方差等于
A． B．
C． D．
6．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也摸出新球的概率为
A． B．
C． D．
7．如图，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，进入5处的概率是
A． B．
C． D．
8．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是
A． B．
C． D．
9．如图所示，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则等于
A． B．
C． D．
10．为了响应国家发展足球的战略，某校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未进得0分，记为10个同学的得分总和，则的数学期望为
A．30 B．40
C．60 D．80
11．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是__________．
12．某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是__________．
13．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，，，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．
（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；
（2）现有3部该智能手机进入审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望．
14．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；
（2）记乙猜歌曲的次数为随机变量，求的分布列和数学期望．
15．统计全国高三学生的视力情况，得到如图所示的频率分布直方图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频率成等差数列.
（1）求出视力在[4.7，4.8)的频率；
（2）现从全国的高三学生中随机地抽取4人，用表示视力在[4.3，4.7)的学生人数，写出的分布列，并求出的期望与方差.
1．(2015年高考新课标Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
2．（2014年高考新课标Ⅱ卷）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
A．0.8 B．0.75
C．0.6 D．0.45
3．(2017年高考新课标Ⅱ卷)一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则____________．
4．(2016年高考四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .
5．(2015年高考广东卷)已知随机变量X服从二项分布，若，则 .
6．（2016年高考新课标Ⅱ卷）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
5
保 费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数
0
1
2
3
4
5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
7．（2016年高考山东卷）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：
（1）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（2）“星队”两轮得分之和为的分布列和数学期望.
8．（2015年高考湖南卷）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球.在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.
变式拓展
1．【答案】C
2．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知，，
因为利润=产量×市场价格−成本，
所以X所有可能的取值情况为：
，.
则，
，
，
所以X的分布列为
X
4000
2000
800
P
0.3
0.5
0.2
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为.
3．【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么，解得p=.
（2）由题意得，ξ的所有可能取值为，
则P(ξ=0)=C3=，
P(ξ=1)=C2×=，
P(ξ=2)=C××2=，
P(ξ=3)=C3=.
所以，随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
.
（或，则）
考点冲关
1．【答案】C
【解析】由二项分布可知，选C.
2．【答案】C
【解析】由题意，又P(B|A)=，P(A)=，所以P(AB)=P(B|A)·P(A)=×=.
3．【答案】D
【解析】至少有一人被录取的概率为
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】由于二项分布的数学期望，所以二项分布的方差
，应选C.
6．【答案】B
【解析】设“第一次摸出新球”为事件，“第二次摸出新球”为事件，则，故选B.
7．【答案】C
【解析】小青蛙的跳动路线：第一次跳动后由3到1，2，4，5的任意位置，第二次跳回3，第三次跳回5，依据相互独立事件同时发生的概率可知所求概率为.
8．【答案】B
【解析】获奖的概率为，记获奖的人数为，则，所以4人中恰好有3人获奖的概率为，故选B.
9．【答案】A
，故选A．
10．【答案】C
【解析】由题意知每个学生的进球个数服从二项分布，即，其中，所以由二项分布的数学期望公式可得每个学生进球个数的数学期望为，因此10个同学得分的数学期望是，应选C.
11．【答案】
【解析】根据题意，设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.
12．【答案】
【解析】男生甲被选中记作事件A，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B，则，，由条件概率公式可得： .
13．【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件，则.
.
所以的分布列为：
故.
(或，则).
【思路分析】（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求出结果；
（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为，的取值是，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后求出分布列和期望即可.
14．【答案】（1）；（2）见解析.
，
，
，
，
∴的分布列为
.
【思路点睛】（1）分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件，，，则，，相互独立，由此可得出该小组未能进入第二轮的概率.
（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．
15．【答案】（1）；（2）见解析.
，
所以，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
，
.
【思路点睛】（1）结合频率分布直方图和题意，分别求出前4组的频率以及后6组的频率之和，由等差数列前n项和公式，求出公差，再算出视力在[4.7，4.8)内的频率；
（2）求出视力在[4.3，4.7)内的频率，学生人数服从二项分布，由二项分布的概率计算公式求出分布列，再算出期望与方差.
直通高考
1．【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.
2．【答案】A
【解析】记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，则，P(AB)=0.6，由条件概率公式P(B|A)=，可得所求概率为=0.8，故选A．
3．【答案】
【名师点睛】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
①是否为n次独立重复试验，在每次试验中事件A发生的概率是否均为p；
②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，且表示在独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率．
4．【答案】
【解析】由题意知，试验成功的概率，故，.
5．【答案】
【解析】依题意可得且，解得.
6．【答案】（1）；（2）；（3）1.23.
【解析】（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（3）记续保人本年度的保费为，则的分布列为
因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为
【名师点睛】条件概率的求法：
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求出P(B|A)；
(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝.
求离散型随机变量均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值定义求出EX．
7．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意，
由事件的独立性与互斥性，得
，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
.
可得随机变量的分布列为
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望.
【名师点睛】本题主要考查独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用独立事件的概率公
式和互斥事件的概率加法公式求解.本题较难，能很好地考查考生的数学应用意识、基本运算求解能力等.
8．【答案】（1）；（2）见解析.
=×(1−)+(1−)×.
故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+.
（2）顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以X~B(3，).
于是P(X=0)=()0()3=，
P(X=1)=()1()2=，
P(X=2)=()2()1=，
P(X=3)=()3()0=.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)=3×.
【思路分析】本题考查相互独立事件、互斥事件的概率和离散型随机变量的分布列和数学期望，考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.
第（1）问利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；第（2）问离散型随机变量服从二项分布，进而利用公式得相应的概率，写出分布列，求出数学期望.