湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析 18页

www.ks5u.com 武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一期中测试 数学试卷 全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题共80分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在数列中，，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意，故数列是周期为的周期数列，故，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.‎ ‎2.向量，，若，的夹角为钝角，则的范围是（ ）‎ A. B. C. 且 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若，的夹角为钝角，则且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.‎ ‎【详解】若，的夹角为钝角，则且不反向共线，‎ ‎，得.‎ 向量，共线时，，得.此时.‎ - 18 -‎ 所以且.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.‎ ‎3.在中，角，，的对边分别为，，，若，则为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 余弦定理得代入原式得 解得 则形状为等腰或直角三角形,选D.‎ 点睛：判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）‎ A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则 - 18 -‎ ‎,解得,又,则,故选B.‎ ‎5.已知平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),则向量在向量方向上的投影为(　　)‎ A. 1 B. -1 C. 2 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量垂直得到(+2),=0，化简得到=﹣2，再根据投影的定义即可求出．‎ ‎【详解】∵平面向量,是非零向量,||=2,⊥(+2),‎ ‎∴(+2),=0，‎ 即 ‎ 即=﹣2‎ ‎∴向量在向量方向上的投影为=﹣1，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．‎ ‎6.已知内角、、的对边分别为、、，且，若，则的外接圆面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 先化简得，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得的外接圆面积.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以,‎ 所以.‎ 由正弦定理得 所以的外接圆面积为.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A. (－∞，2] B. (－∞，2) C. (－∞，3] D. (－∞，3)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性可得an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．‎ ‎【详解】∵数列{an}中，且{an}单调递增 ‎∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立 ‎∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．‎ - 18 -‎ ‎8.在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是( 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知，若有两组解，则，可解得的取值范围.‎ ‎【详解】由已知可得，则，解得.故选A.‎ ‎【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.‎ 若中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；若，则有两解.‎ ‎9.一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在处观察，灯塔在其正东方向，那么，两点间的距离是（ ）‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解.‎ ‎【详解】如图所示，易知，在中，海里，，，‎ 根据正弦定理得，解得（海里）．‎ 故选：C.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.‎ ‎10.若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的数量积运算即可算出．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，，‎ 又在上 - 18 -‎ ‎，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．‎ ‎11.若等差数列的公差，前n项和为，若，都有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，都有，可得，再根据等差数列的性质即可判断.‎ ‎【详解】等差数列的公差，，都有，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.‎ ‎12.给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 给定两个单位向量，，且则，‎ 建立如图所示的坐标系，‎ - 18 -‎ ‎ 则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即设∠AOC= ，则因则， ‎ 所以=‎ 因为， 所以有最小值-1.‎ 故选B 第Ⅱ卷（非选择题共70分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.下列命题中正确的有________.(填序号)‎ ‎①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则四点构成平行四边形；‎ ‎④在▱ABCD中，一定有；‎ ‎⑤若，，则；‎ ‎⑥若，，则；‎ - 18 -‎ ‎【答案】④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案.‎ ‎【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；‎ ‎,由于与方向不确定，所以与不一定相等，故②不正确；‎ ‎，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；‎ 在▱ABCD中，,所以一定有，所以④正确；⑤显然正确；‎ 零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故⑥不正确．‎ 故答案为：④⑤.‎ ‎【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.‎ ‎14.的内角的对边分别为.若的面积为，则____________.‎ ‎【答案】（或）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．‎ ‎【详解】解：由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA，‎ ‎△ABC的面积为＝﹣，‎ 又因为S△ABC＝＝﹣，‎ 所以tanA＝﹣，‎ 由A∈（0，π）可得A＝．‎ - 18 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．‎ ‎15.设是数列的前项和，且，，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入,再证明为等差数列,继而求得的通项公式再计算即可.‎ ‎【详解】因为,所以,,‎ 即：,所以,数列｛｝是以1为首项,1为公差的等差数列,‎ 所以,＝1＋（n－1）×1＝n,所以,,所以,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.‎ ‎16.在中，角，，的对边分别为，，，已知，若的面积为，则当的值最小时的周长为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由及正弦定理可得，‎ 所以由余弦定理的推论可得，因为，所以．‎ 因为的面积为，所以，即，‎ 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为，‎ - 18 -‎ 此时，，所以是等边三角形，故的值最小时的周长为．‎ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知，，在同一平面内，且.‎ ‎（1）若，且，求；‎ ‎（2）若，且，求与的夹角.‎ ‎【答案】（1）或（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，根据，得到 ，再根据，建立方程组求解.‎ ‎（2）根据，得到，结合，，求得，再求夹角.‎ ‎【详解】（1）设，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，或 ‎∴或.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ - 18 -‎ 即 又∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎18.在中，分别是角的对边，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式进行求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）由 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又所以. ‎ - 18 -‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得，所以 点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的 ‎.‎ ‎19.设为等差数列的前项和，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求的最大值及此时的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，有最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件列出关于的方程组，求解出即可求出通项公式；‎ ‎（2）利用对应为递减等差数列，根据确定出的取值，从而的最大值以及取最大值时的值都可求.‎ ‎【详解】（1）设的公差为，由可得，由可得，‎ 所以，所以，‎ 所以；‎ ‎（2）由，解得，‎ 所以当时，有最大值，此时最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出的最大值以及取最大值时的值.‎ - 18 -‎ ‎20.已知向量，且.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）若，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1） （2） ；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得：， . ‎ ‎(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得 ；.‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知： ‎ ‎ ‎ ‎21.在锐角中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ - 18 -‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ； (2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A的大小；‎ ‎（2）先求得 B+C=，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，根据 b2+c2=4+2sin（2B﹣） 及B的范围，得 ＜sin（2B﹣）≤1，从而得到b2+c2的范围．‎ ‎【详解】（1）由=‎ 得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，‎ 即sin（A﹣B）=sin（C﹣A），‎ 则A﹣B = C﹣A，即2A=C+B，‎ 即A=．.‎ ‎（2）当a=时，∵B+C=，∴C=﹣B．由题意得 ，‎ ‎∴＜B＜．由 =2，得 b=2sinB，c=2sinC，‎ ‎∴b2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B﹣）．‎ ‎∵＜B＜，∴＜sin（2B﹣）≤1，∴1≤2sin（2B﹣）≤2．‎ ‎∴5＜b2+c2≤6．‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断sin（2B﹣）的取值范围是本题的难点．‎ ‎22.已知数列各项均为正数，为其前n项的和，且成等差数列.‎ ‎（1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式；‎ - 18 -‎ ‎（2）证明（1）中的猜想；‎ ‎（3）设，为数列的前n项和，求.‎ ‎【答案】（1），，，猜想（2）证明见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，分别令求解，猜想.‎ ‎（2）利用数列的通项与前n项和的关系证明，分和两种情况讨论.‎ ‎（3）根据，分和两种情况讨论求解.‎ 详解】（1）由已知 所以，，，‎ 猜想.‎ ‎（2）证明当时，，‎ 所以 得，‎ 因为，所以 数列等差数列，‎ 又由（1），‎ 所以.‎ - 18 -‎ ‎（3），‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系以及等差数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ - 18 -‎ - 18 -‎