内蒙古赤峰市2019-2020学年高二下学期期末联考（A卷）数学（理）试题 6页

高二理科数学 A 卷 第 1页 共 6 页 2020 年赤峰市普通高中联考高二年级 理科数学试题 (A) 2020.7 本试卷共 22 题，共 150 分，共 6 页，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和 答题卡一并交回。考试范围：必修 2 的第三章、第四章，必修 3，选修 2-1，2-2,2-3，选 修 4-4,4-5。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．复数 z 满足 1z iz    ，则下列说法正确的是 A. z 为纯虚数 B. z 的虚部为 1 2 i C.在复平面内 z 对应的点位于第三象限 D. 2 2z  2.“直线 2 4 0ax y   和直线3 ( 1) 2=0x a y   平行”是“ 3a  ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 高二理科数学 A 卷 第 2页 共 6 页 3．根据如下样本数据： x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 0.5 2 3 得到的回归方程为 ˆy bx a  ，则 A． B． C． D． 4． 的展开式中 的系数为 A．－32 B．32 C．－8 D．8 5．一个教室有 6 盏灯，一个开关控制 1 盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照 明的方法共有 A．64 种 B．36 种 C．35 种 D．63 种 6．将两颗骰子各掷一次，设事件 A  “两个点数都不相同”， B  “至少出现一个 5 点”， 则概率 ( )P A B  A． B． C． D． 7.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画， 扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号。如图是折扇的示意图， 设 2 3OA OB ，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是 A. 2 3 B. 4 9 C. 5 9 D. 1 3 8．过点 的直线 将圆 分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所 对的圆心角最小时，则该直线 的斜率为 A． B． C． D． 高二理科数学 A 卷 第 3页 共 6 页 9.设抛物线C ： 2 8y x 的焦点为 F ， A 是C 上的一点且在第一象限，以 F 为圆心，以 FA 为半径的圆交C 的准线于 两点，且 , ,A F B 三点共线，则点 A 的横坐标为 A． B． C． D． 10.若函数 ( ) xf x ae x  存在极值点，则实数 a 的取值范围是 A． 0, B． 0,+ C． ,0 D．  ,0 11.设常数 0a  ，动点 ( , )( 0)M x y y  分别与两个定点 1 2( ,0), ( ,0)F a F a 的连线的斜率 之积为定值  ，若动点 M 的轨迹是渐近线斜率为 2 的双曲线，则 = A． 3 B． 4 C． 3 D．3 12.若曲线 ( 1)1 x my e xx     上存在两条垂直于 y 轴的切线，则 m 的取值范围是 A． 3 4 ,1e      B． 3 4, e     C． 3 40, e      D． 3 41, e     二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填在答题 卡对应题号的位 置上. 13．若随机变量 ,  满足 5   ， ～  10,0.6B ，则 ( )E   . 14.一位篮球运动员投篮一次得 3 分概率为 a ，得 2 分概率为 b ，不得分概率为 c ， , , (0,1)a b c  ，若他投篮一次得分的期望为 1，则 1 2 a b  的最小值为 . 15．设圆 与 轴负半轴的交点为 ，过点 且斜率为 3 的直 线 与圆 的另一交点为 ，若 的中点 恰好落在 轴上，则 . 16.三棱锥 的各顶点都在同一球面上， 底面 ，若 ， 2AB  ，且 60BAC   ，给出如下命题： ① ACB 是直角三角形 ②此球的表面积等于11 ③ AC  平面 PBC ④三棱锥 A PBC 的体积为 3 2 其中正确命题的序号为 .（写出所有正确结论的序号） 高二理科数学 A 卷 第 4页 共 6 页 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（12 分） 已知圆C 的圆心在 x 轴的正半轴上，半径为 2，且被直线l ： 4 3 3 0x y   截得的弦长为 2 3 . （1）圆C 的方程； （2）设 P 是直线 4 0x y   上动点，过点 P 作圆C 的切线 PA ,切点为 A , 证明：经过 , ,A P C 三点的圆必过定点，并求所有定点坐标. 18.（12 分） “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱 好运动是否与性别有关，从单位随机抽取 30 名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表： 男性 女性 合计 爱好 6 不爱好 6 合计 16 30 （1）请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)； （2）能否有 95%的把握认为爱好运动与性别有关？ （3）若在接受调查的所有男生中按照“爱好与不爱好运动”进行分层抽样，现随机抽 取 8 人，再从 8 人中抽取 3 人，求至少有 2 人“爱好运动”的概率． 附：附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2 0( )P k k 0.05 0.010 0.005 0k 3.841 6.635 7.879 高二理科数学 A 卷 第 5页 共 6 页 19.（12 分） 如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形， / / , 2PD QA PDA   ，平面 ADPQ  平面 ABCD ，且 2AD PD QA  ． （1）求证： / /QB 平面 PDC ； （2）求二面角 C PB D  的大小. 20.(12 分) 设函数 3( ) 2ln ,f x ax x a a Rx      ． （1）证明：函数 )(xf 的图象经过一个定点 A ，并求在点 A 的切线方程； （2）若 3(2) 4f    ，求函数 )(xf 在 2,4 的值域． （参考数值： ln 2 0.693 ） 21. (12 分) 已知椭圆 2 2: 1 2 xC y  的左右焦点分别为 1 2F F， ， P 是椭圆 C 上第一象限内的一 点，且直线 1PF 的斜率为 2 4 . （1）求点 P 的坐标； （2）过点 (2,0)Q 作一条斜率为负数的直线l 与椭圆 C 从左到右依次交于 A B， 两点， 是否存在实数  ，使得 2 2AF B BF P   恒成立，若存在，求出  的值；若不存 在，说明理由. 高二理科数学 A 卷 第 6页 共 6 页 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 35 2 13 2 x t y t        （t 为参数），在以原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为 4sin 3       . （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）若点  ,P x y 在圆C 上，求 3x y 的取值范围． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 设函数 ( ) 2 ( 0)f x x a x a a     ． （1）当 1a  时，求函数 ( )f x 的最小值； （2）若关于 x 的不等式 1( )f x ax   在区间 1 ,23      上有解，求实数 a 的取值范围．