山东省泰安市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析 20页

高二年级考试 数学试题 一､单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1. 集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则S∩（∁UT）等于（ ）‎ A. {1，4，5，6} B. {1，5} C. {4} D. {1，2，3，4，5}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合，，由补集的运算有,又，再结合交集的运算即可得解.‎ ‎【详解】解：因为集合，，‎ 所以,又，‎ 所以,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题.‎ ‎2. 已知（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出复数z，写出，即得对应的点所在的象限.‎ ‎【详解】，‎ - 20 -‎ 复数z的共轭复数对应的点是，在第四象限.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数，属于基础题.‎ ‎3. 已知命题p：x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,则p是 A. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0‎ B. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0‎ C. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0‎ D. x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】全称命题的的否定是存在性命题,因为，命题p：x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0,所以，p是x1,x2R,(f(x2)f(x1))(x2x1)<0，故选C.‎ 考点：全称命题与存在性命题.‎ 点评：简单题，全称命题的的否定是存在性命题.‎ ‎4. 已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较的大小.‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎5. 现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检 - 20 -‎ 个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出的范围，再由方差公式求出值．‎ ‎【详解】∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．‎ ‎【点睛】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题关键，本题属于基础题．‎ ‎6. 已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则（ ）‎ A. 3 B. 5 C. 7 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，对于，令，分析可得，即可得函数的周期为4，据此可得，结合函数的解析式计算可得答案．‎ ‎【详解】解：在上的偶函数，满足，‎ 令，则得，‎ 故函数周期为4，‎ 则；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．‎ ‎7. 命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”‎ - 20 -‎ 为真命题的一个必要不充分条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，利用参数分离的方法求出使命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的的取值范围，的取值范围构成的集合应为正确选项的真子集，从而推出正确结果．‎ ‎【详解】命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题 根据选项满足是的必要不充分条件只有，故答案选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单的不等式恒成立问题以及求一个命题的必要不充分条件．‎ ‎8. 若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设，则 当时，，单调递减 当时，，单调递增 存在，成立 ‎，‎ - 20 -‎ ‎，‎ 故选 点睛：本题利用导数求解不等式问题，在解答此类问题时的方法可以分离参量，转化为最值问题，借助导数，求出新函数的单调性，从而求出函数的最值，解出参量的取值范围，本题较为基础．‎ 二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9. 下列等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组合数和排列数公式对各选项进行检验即可.‎ ‎【详解】A.，故正确；‎ B.，故正确；‎ C.，故错误；‎ D.，故正确.‎ 故选：ABD - 20 -‎ ‎【点睛】本题考查组合数和排列数公式的应用，属于基础题.‎ ‎10. 设离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）‎ A. B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.‎ ‎【详解】因为，所以，故A正确；‎ 又，‎ ‎，故C正确；因为，所以，，故D正确.‎ 故选ACD.‎ ‎【点睛】随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，.‎ ‎11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 恰有2个零点 B. 在上是增函数 C. 既有最大值，又有最小值 D. 若，且，则 - 20 -‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和两种情况，利用导数进行研究．‎ ‎【详解】解：当时，，所以在上为减函数；又，所以在上只有一个零点；‎ 当时，所以在上为减函数；又，所以在上只有一个零点，‎ 所以正确，，错误；‎ 当时，‎ 若，，在上为减函数，‎ ‎，因为，满足题意，所以，‎ 同理，，也成立正确；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用，考查命题真假判断方法，属于中档题．‎ ‎12. 甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 事件与事件相互独立 D. 、、两两互斥 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得 - 20 -‎ ‎，然后由条件概率求得，，再逐项判断.‎ ‎【详解】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；‎ 因为，‎ 所以，故B正确；‎ 同理，‎ 所以，故AC错误；‎ 故选：BD ‎【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 函数的定义域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的真数大于零，结合一元二次不等式的解法即可得结果.‎ ‎【详解】要使有意义，‎ 则，‎ 可得，‎ 即，‎ 可得，‎ 即的定义域为，‎ 故答案为：.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题主要考查对数型复合函数的定义域，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎14. 数独是源自18世纪瑞土的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种(用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，结合数表可分三步讨论每一行数字的填法，由分步计数原理，即可求解.‎ ‎【详解】根据题意，可分3步进行分析：‎ ‎①将三个数字填入第一行，有种情况；‎ ‎②第二行第一列的数字与第一行第一列的数字不同，有2种情况，第二列，第三列只有1种情况，则第二行只有2种情况；‎ ‎③由于前两行的数字确定，第三行只有1种情况，‎ 由分步计数原理，共有种不同的填法.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列组合额的应用，其中解答中认真审题，租用分析题目的限制条件，合理分步求解是解答的关键，转化考查推理与运算能力.‎ ‎15. 已知函数，则________；若，则实数________.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 1‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数解析式计算可得；‎ ‎【详解】解：函数，‎ ‎，，‎ ‎；‎ ‎，‎ 当时， ，‎ 当时， ，解得，不合题意，舍去．‎ 当时，，解得，不合题意，舍去．‎ 当时，，‎ 当时， ，解得．‎ 当时， ，解得，不合题意，舍去．‎ 综上，实数．‎ 故答案为：1，1．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎16. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点 - 20 -‎ ‎，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.‎ ‎【考点】导数的几何意义 ‎【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．‎ 注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．‎ 四､解答题本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知复数，i为虚数单位.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.‎ ‎【答案】（1），；（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数的运算法则求出，由此能求出和．‎ ‎（2）由复数是关于的方程的一个根，得到，整理得，由此能求出实数，．‎ ‎【详解】解：（1）复数 ‎，‎ ‎，．‎ ‎（2）复数是关于的方程的一个根，‎ - 20 -‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 解得，．‎ ‎【点睛】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎18. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.‎ ‎①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③.‎ 已知在的展开式中，________.‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中含的项.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出二项展开式的通项，根据条件求出，即可知道二项式系数最大的项；‎ ‎（2）令的指数为5，即可计算出，求出含的项.‎ ‎【详解】可知，‎ 方案一：选条件①，‎ ‎（1）由题可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得或（舍去），‎ - 20 -‎ 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，‎ ‎，‎ ‎ 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 令，，， ‎ 所以展开式中含的项是第一项，为；‎ 方案二：选条件②，‎ ‎（1）由题可知，‎ 整理得，解得或（舍去），‎ 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，‎ ‎，‎ ‎ 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，；‎ ‎（2）同方案一（2）；‎ 方案三：选条件③，‎ ‎（1），‎ ‎， ‎ 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，‎ ‎，‎ ‎ 所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，；‎ ‎（2）同方案一（2）.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于中档题.‎ ‎19. 为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：‎ - 20 -‎ 健身族 非健身族 合计 男性 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女性 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？‎ ‎（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？‎ 参考公式： ，其中. ‎ 参考数据：‎ ‎0. 50‎ ‎0. 40‎ ‎0. 25‎ ‎0. 05‎ ‎0. 025‎ ‎0. 010‎ ‎0. 455‎ ‎0. 708‎ ‎1. 321‎ ‎3. 840‎ ‎5. 024‎ ‎6. 635‎ ‎【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断 ‎【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为 小时， ‎ 由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，‎ - 20 -‎ 因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；‎ ‎（2）由联立表可得，‎ ‎， ‎ 所以能在犯错误概率不超过5%情况下认为“健康族”与“性别”有关.‎ ‎【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.‎ ‎20. 已知函数为奇函数.‎ ‎（1）求实数a的值，并用定义证明函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1），在上是增函数；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由是奇函数可知，可求出，对于任意，令，‎ 计算并判断正负即可得出单调性；‎ ‎（2）由题意可知原不等式等价于恒成立，即恒成立，利用判别式小于0可求出.‎ ‎【详解】（1）是奇函数，，‎ ‎，，‎ 对于任意，令，‎ 则，‎ 在上是增函数，且， ，‎ ‎，‎ 在上是增函数；‎ ‎（2）在上是增函数且是奇函数 - 20 -‎ 则不等式恒成立，等价于恒成立，‎ 即，即恒成立，‎ ‎，解得 ‎【点睛】本题考查函数的性质和用定义判断单调性，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题.‎ ‎21. 某省年开始将全面实施新高考方案．在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所占比例分别为、、、和，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．‎ ‎（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：‎ 原始分 ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎88‎ ‎87‎ ‎85‎ ‎83‎ ‎82‎ 转换分 ‎100‎ ‎99‎ ‎97‎ ‎95‎ ‎94‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎86‎ 人数 ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ 现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布．若，令，则，请解决下列问题：‎ ‎①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）‎ ‎②现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值．‎ 附：若，则，．‎ ‎【答案】（1）分布列详见解析，数学期望为；（2）①69分；②．‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出随机变量的所有可能的取值，根据超几何分布求出的每个值对应的概率，列出分布列，求出数学期望；‎ ‎（2）①设该划线分为，由求出.由，得.由题意，又，故，故，即可求出；②由题意，根据独立重复实验的概率计算公式，求出，代入不等式组，即求的值.‎ ‎【详解】（1）随机变量的所有可能的取值为.‎ 由题意可得：，，‎ ‎，，‎ 随机变量的分布列为 数学期望．‎ ‎（2）①设该划线分为，由得，‎ 令，则，‎ 由题意，，即，‎ ‎，，，‎ ‎，，取．‎ - 20 -‎ ‎②由①讨论及参考数据得 ‎，‎ 即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，‎ ‎，．‎ 由 即 解得，‎ ‎，，‎ 当时，取得最大值．‎ ‎【点睛】本题考查超几何分布、二项分布及正态分布，考查学生的数据处理能力和运算求解能力，属于较难的题目．‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎（1）求函数单调区间；‎ ‎（2）设函数有两个极值点（），若恒成立，求实数取值范围．‎ ‎【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，令，利用判别式讨论的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解. ‎ ‎（2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，由（1）知，利用韦达定理得，且，然后分离参数只需恒成立，‎ - 20 -‎ ‎，从而令，利用导数求出的最小值即可求解.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以．‎ 令，，‎ 当即时，，即，‎ 所以函数单调递增区间为．‎ 当即或时，．‎ 若，则，所以，即，‎ 所以函数单调递增区间为．‎ 若，则，由，即得或；‎ 由，即得．‎ 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为．‎ 综上，当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，‎ 由（1）知．则，故，‎ 要使恒成立，只需恒成立．‎ 因为 - 20 -‎ 令，则，‎ 当时，，为减函数，所以．‎ 由题意，要使恒成立，只需满足．‎ 所以实数的取值范围．‎ ‎【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性．．‎ ‎ ‎ - 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