高考数学常见题型解法归纳反馈训练第80讲圆锥曲线中的最值和范围问题的解法 14页

第 80 讲 圆锥曲线中的最值和范围问题的解法 【知识要点】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等 式，再解不等式. （2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来 表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围. （3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的 构思； （4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个 共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题. （5）利用数形结合分析解答. 【方法讲评】 方法一 几何法 解题方法 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等 式. 【例 1】已知动点 与双曲线 的两个焦点 的距离之和为定值，且 的最小值为 ． （1）求动点 的轨迹方程； （2）若已知 ， 在动点 的轨迹上且 ，求实数 的取值范 围． 解得 ， ，∴ ，故所求 的轨迹方程为 . 【方法点评】本题就是利用了椭圆 的几何性质 来构造不等式求参数 的取值范围. 【反馈检测 1】已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭 圆 上， 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，且 为锐角，求 直线 的斜率 的取值范围； （Ⅲ）过椭圆 上异于其顶点的任一点 ，作圆 的两 条切线，切点分别为 （ 不在坐标轴上），若直线 在 轴、 轴上的截距分别 为 、 ，证明： 为定值． 方法二 函数 解题方法 把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨 论函数的值域来求参数的变化范围. 【 例 2 】 已 知 抛 物 线 的 焦 点 到 准 线 的 距 离 为 . 过 点 作直线 交抛物线 与 两点( 在第一象限内). (1)若 与焦点 重合,且 .求直线 的方程; (2)设 关于 轴的对称点为 .直线 交 轴于 . 且 .求点 到直线 的距离的取值范围. (2)可求 .故 为等腰直角三角形,设 . 即 . 设 ∴ 从而 , 即 , 又 . ∴ . 点 到直线 的距离为 ∴ 【点评】函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见 的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 【反馈检测 2】已知 分别为椭圆 的上、下焦点, 是抛物线 的焦点,点 是 与 在第二象限的交点, 且 （1）求椭圆 的方程; （2）与圆 相切的直线 交椭 于 ,若椭圆 上一 点 满足 ,求实数 的取值范围. 方法三 基本不等式 解题方法 先建立函数的模型，再利用基本不等式求函数的最值. 【例 3】已知椭圆 的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在 轴上，有一个顶点 为 ， ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ,求直线 的斜率 的取值范围. （1）当直线 与 轴垂直时， 点的坐标为 ，此时， ； （2）当直线 的斜率存在且不为零时，设直线 方程为 , 由方程组 消去 ， 并整理得 ， 设 , , 又有 ，则 ∴ ∴ ， ∴ ， ， ， . 且 ． 综合(1)、(2)可知直线 的斜率 的取值范围是： ． 【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等. 【反馈检测 3】设椭圆 中心在原点，焦点在 轴上，短轴长为 4，点 （2， ）在 椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）设动直线 交椭圆 于 两点，且 ，求 的面积的取值范围. （3）过 （ ）的直线 : 与过 （ ）的直线 : 的交点 （ ）在椭圆 上，直线 与椭圆 的两准线分别交 于 两点，求 · 的值. 方法四 三角函数 解题方法 先建立三角函数的模型，再利用三角函数的性质分析解答. 【例 4】椭圆 的切线与两坐标轴分别交于 两点 ， 求 的最 小面积 . 【点评】（1）写出椭圆参数方程 ，设切点为 ，可得切 线方程.（2）建立三角函数模型后，再利用三角函数的性质分析解答. 【反馈检测 4】椭圆 的焦点为 ，点 为其上的动点，当 为 钝角时，点 横坐标的取值范围是___. 方法五 数形结合法 解题方法 一般先找到“数”对应的“形”，再利用几何分析的方法解答. 【例 5】给定点 ，已知 是椭圆 上的动点， 是右焦点，当 取得最小值时，试求 点的坐标. 【点评】数形结合的关键是找到“数”对应的“形”，再利用几何分析解答. 【反馈检测 5】已知椭圆 和直线 : ，在 上取一点 ，经 过点 且以椭圆的焦点 为焦点作椭圆 ，求 在何处时所作椭圆的长轴最短，并求 此椭圆方程 . 【反馈检测 6】双曲线 的左焦点为 ， 是双曲线右支上的动点， ， 则 的最小值为 . 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 80 讲： 圆锥曲线中的最值和范围问题的解法参考答案 【反馈检测 1 答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） 或 ;（Ⅲ）详 见解析 【反馈检测 1 详细解析】（Ⅰ）由题意得： 所以 又因为点 在椭圆 上，所以 ，可解得 所以椭圆标准方程为 ． （Ⅲ）由题意： 设点 ， ， , 因为 不在坐标轴上，所以 直线 的方程为 化简得： ④ 同理可得直线 的方程为 ⑤ 【反馈检测 2 答案】（1） ；（2） 【反馈检测 2 详细解析】（1）由题知 ,所以 , 又由抛物线定义可知 ,得 , 于是易知 ,从而 , 由椭圆定义知 ,得 ,故 , 从而椭圆的方程为 （2）设 ,则由 知, ,且 , ① 又直线 与圆 相切,所以有 , 由 ,可得 ② 【反馈检测 3 答案】（1） ；（2） ；（3）－8. 【反馈检测 3 详细解析】（1）因为椭圆 : （ 过 （2， ）， 故可求得 ＝2， ＝2 椭圆 的方程为 （2）设 ，当直线 斜率存在时设方程为 ， 解方程组 得 ，即 ， 则△＝ ， 即 （*） ， 要使 ，需使 ，即 ， 所以 ， 即 ① 将它代入（*）式可得 到 的距离为 又 将 及韦达定理代入可得 （3）点 P（ ）在直线 : 和 ： 上， ， 故点 （ ） （ ）在直线 上 故直线 的方程， 上 又 （ ）在椭圆 ： 有 故 · ＝－16＋ ＝－8 【反馈检测 4 答案】（ ） 【反馈检测 4 详细解析】由椭圆 的知焦点为 （－ ,0）, （ ,0）. 设椭圆上的点可设为 . 为钝角 ∴ = 解得： ∴点 横坐标的取值范围是（ ）. 【反馈检测 5 答案】 ， . 【反馈检测 6 答案】9 【反馈检测 6 详细解析】设双曲线的右焦点为 ,则 =2a+ 当 三 点 共 线 时 ， 最 小 = , 所 以 的最小值为 4+5=9.故填“9”.