2016-2017 学年度上学期高二年级第一次阶段性考试 11页

2016-2017 学年度上学期高二年级第一次阶段性考试 数学试卷 考试时间：10 月 13 日 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：高二数学组 一、选择题：（每题 5 分，满分 60 分） 1.已知命题 Rxp : ， 1sin x ，则 （ ） A． Rxp  : ， 1sin x B． Rxp  : ， sin 1x  C． Rxp  : ， sin 1x  D． Rxp  : ， 1sin x 2." 0"m n  是"方程" 2 2 1mx ny  "表示焦点在 y轴上的椭圆的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比 0＜q＜1，设 3 9 2 a a P   5 7Q a a  则 3 9a a P Q， ， ， 的大小关系是（ ） A. 3 9a P Q a   B. 3 9a Q P a   C. 9 3a P a Q   D. 3 9P Q a a   4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9>0，S10<0，则 9 9 2 2 1 2,....,2,2 aaa 中最大的是（ ） 1 2 a A）（ 5 5 a B 2 ）（ 6 6 a C 2 ）（ 9 9 a D 2 ）（ 5.设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足  2 2 n n2S 3n n 4 S   ﹣2（3n2﹣n） =0，n∈N * ．则数列{an}的通项公式是（ ） A．an=3n﹣2 B．an=4n﹣3 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1 6．已知数列 2008，2009，1，－2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后 两项之和，则这个数列的前 2017 项之和 2017S 等于（ ） A．2015 B．2009 C．2008 D．2016 7.已知 3AB ， BA、 分别在 x轴和 y轴上滑动，O为坐标原点， OBOAOP 3 1 3 2  ， 则动点 P的轨迹方程是 ( ) A. 1 9 2 2  yx B. 1 4 2 2  yx C. 1 9 2 2  yx D. 1 4 2 2  yx 8．定义 1 2 ... n n p p p   为 n 个正数 p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前 n 项的“均倒数”为 1 2 1n  ，又 1 4 n n ab   ，则 1 2 3 10 112 1 1 1... b b b b b b    =（ ） A． 1 11 B． 9 10 C． 10 11 D． 11 12 9. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班 k名同学都有选举权和被选举权，他 们的编号分别为 1,2,...., k ，规定：同意按“1”，不同意(含弃权)按“0”．令 1, 0,ij i j a i j     第 号同学同意第 号同学当选 第 号同学不同意第 号同学当选． 其中 1,2,...i k ，且 1,2,...j k ，则同时同意第1,2号同学当选的人数为( ) A． 11 12 1 21 22 2... ...k ka a a a a a       B． 11 21 1 12 22 2... ...k ka a a a a a       C． 11 12 21 22 1 2... k ka a a a a a   D． 11 21 12 22 1 2... k ka a a a a a   10. 设在容器 A中含有 12%的盐水 300 克，容器 B中含有 6%的盐水 300 克，从两容器中各 取 100 克盐水，倒在对方容器中，这样操作了  n n N 次后，设 A中含有 %na 的盐水， B中含有 %nb 的盐水，则 n na b 等于( ) A．6 B．18 C．12 D．36 11．已知 1 2,F F 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的两个焦点， B为椭圆短轴的一个端点， 2 1 2 1 2 1 2 BF BF F F     ，则椭圆的离心率的取值范围( ) A． 1(0, ] 2 B． 2(0, ) 2 C． 3(0, ) 2 D． 1( ,1) 2 12.已知点P是椭圆 1 34 22  yx 上一点， 1 2,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为 1 2PF F 的内心，若 2211 MPFFMFMPF SSS    成立，则的值为（ ） A． 3 2 B． 1 2 C． 2 2 D．2 二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分） 13．下列四个命题： ①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真； ②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为 1 2  ; ③已知 a＞0，b＞0，a+b=1，则 2 3 a b  的最小值为5 2 6 ； ④在△ABC 中，若 sin 2 A＜sin 2 B+sin 2 C，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 14.已知 1F 为椭圆 4595 22  yx 的左焦点，P 为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭 圆内一点，则 |||| 1 PAPF  的最小值______________ 15．数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ， 1 2 1n na S   ， 若对任意的 *n N ， 1 1( ) 2 3nS k   恒成立，则实数 k的取值范围是 16．已知数列 }{ na 的通项公式是 12  n na ，数列 }{ nb 的通项公式是 nbn 3 ，令集合 },,,,{ 21  naaaA  ， },,,,{ 21  nbbbB  ， *Nn ．将集合 BA 中的元素按从 小到大的顺序排列构成的数列记为 }{ nc ．则数列 }{ nc 的前 28 项的和 28S  。 三、解答题：（17 题 10 分，18-22 题，每题 12 分，满分 70 分） 17.已知等差数列{ na }的公差 2d  ，其前 n项和为 nS ，且等比数列{ nb }满足 1 1b a ， 2 4b a ， 3 13b a ． （Ⅰ）求数列{ na }的通项公式和数列{ nb }的前 n项和 nB ； （Ⅱ）记数列{ 1 nS }的前 n项和为 nT ，求 nT ． 18. 已知：命题 :q 集合 2{ | 1 0, }A x x ax x R     ， { | 0}B x x  ，且 A B  （I）若命题 q 为真命题，求实数 a的取值范围； （II）若命题 :p 1( ) 2 xf x   ，且 | ( ) | 2f a  ，试求实数a的取值范围，使得命题 ,p q 有且只有一个为真命题． 19.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 5 1 ．本年度当地旅游业 收入估计为 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加 4 1 ． （Ⅰ）设 n年内（本年度为第一年）总投入为 na 万元，旅游业总收入为 nb 万元．写出 nn ba , 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 20.已知数列 }{ na 满足 1223,1 11   naaa n nn . （1）证明：数列 }2{ na n n  为等比数列，并求出数列 }{ na 的通项公式； （2）已知对 *Nn ，不等式 na 恒成立，求的取值范围. 21.已知数列 }{ na 的各项均为正数，其前n项和 nS 满足 348 2  nnn aaS ，且 2a 是 1a 和 7a 的 等比中项. (1)求数列 }{ na 的通项公式； (2)符号 ][x 表示不超过实数 x的最大整数，记 )] 4 3([log2   n n ab ， 求 1 2 3 2nb b b b    ． 22.在直角坐标系 xOy中，点P到两点 )0,3(),0,3( 的距离之和等于 4，设点 P的轨迹 为C（Ⅰ）求曲线C 的方程； （2）设 A、B、M 是曲线C上的三点．若 3 4 5 5 OM OA OB     ，求线段 AB的中点Q的 轨迹方程． 2016-2017 学年度上学期高二年级第一次阶段性考试 数学试卷 考试时间：10 月 13 日 答题时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：高二数学组 一、选择题：（每题 5 分，满分 60 分） 1.已知命题 Rxp : ， 1sin x ，则 （ C ） A． Rxp  : ， 1sin x B． Rxp  : ， sin 1x  C． Rxp  : ， sin 1x  D． Rxp  : ， 1sin x 2." 0"m n  是"方程" 2 2 1mx ny  "表示焦点在 y轴上的椭圆的( B ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比 0＜q＜1，设 3 9 2 a a P   5 7Q a a  则 3 9a a P Q， ， ， 的大小关系是（ A ） A. 3 9a P Q a   B. 3 9a Q P a   C. 9 3a P a Q   D. 3 9P Q a a   4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9>0，S10<0，则 9 9 2 2 1 2,....,2,2 aaa 中最大的是（ B ） 1 2 a A）（ 5 5 a B 2 ）（ 6 6 a C 2 ）（ 9 9 a D 2 ）（ 5.设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足  2 2 n n n2S 3 n 4 S   ﹣2（3n2﹣n） =0，n∈N * ．则数列{an}的通项公式是（ A ） A．an=3n﹣2 B．an=4n﹣3 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1 6．已知数列 2008，2009，1，－2008，…若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后 两项之和，则这个数列的前 2017 项之和 2017S 等于（ C ） A．2015 B．2009 C．2008 D．2016 7.已知 3AB ， BA、 分别在 x轴和 y轴上滑动，O为坐标原点， OBOAOP 3 1 3 2  ， 则动点 P的轨迹方程是 ( D ) A. 1 9 2 2  yx B. 1 4 2 2  yx C. 1 9 2 2  yx D. 1 4 2 2  yx 8．定义 1 2 ... n n p p p   为 n 个正数 p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前 n 项的“均倒数”为 1 2 1n  ，又 1 4 n n ab   ，则 1 2 3 10 112 1 1 1... b b b b b b    =（ C ） A． 1 11 B． 9 10 C． 10 11 D． 11 12 9. 某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班 k名同学都有选举权和被选举权，他 们的编号分别为 1,2,...., k ，规定：同意按“1”，不同意(含弃权)按“0”．令 1, 0,ij i j a i j     第 号同学同意第 号同学当选 第 号同学不同意第 号同学当选． 其中 1,2,...i k ，且 1,2,...j k ，则同时同意第1,2 号同学当选的人数为( C ) A． 11 12 1 21 22 2... ...k ka a a a a a       B． 11 21 1 12 22 2... ...k ka a a a a a       C． 11 12 21 22 1 2... k ka a a a a a   D． 11 21 12 22 1 2... k ka a a a a a   10. 设在容器 A中含有 12%的盐水 300 克，容器 B中含有 6%的盐水 300 克，从两容器中各 取 100 克盐水，倒在对方容器中，这样操作了  n n N 次后，设 A中含有 %na 的盐水， B中含有 %nb 的盐水，则 n na b 等于( B ) A．6 B．18 C．12 D．36 11．已知 1 2,F F 为椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     的两个焦点， B为椭圆短轴的一个端点， 2 1 2 1 2 1 2 BF BF F F     ，则椭圆的离心率的取值范围( A ) A． 1(0, ] 2 B． 2(0, ) 2 C． 3(0, ) 2 D． 1( ,1) 2 12.已知点P是椭圆 1 34 22  yx 上一点， 1 2,F F 分别为椭圆的左、右焦点，M 为 1 2PF F 的内心，若 2211 MPFFMFMPF SSS    成立，则的值为（ D ） A． 3 2 B． 1 2 C． 2 2 D．2 二、填空题：（每题 5 分，满分 20 分） 13．下列四个命题： ①一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真； ②等差数列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比数列，则公差为 1 2  ; ③已知 a＞0，b＞0，a+b=1，则 2 3 a b  的最小值为5 2 6 ； ④在△ABC 中，若 sin 2 A＜sin 2 B+sin 2 C，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】①③ 14.已知 1F 为椭圆 4595 22  yx 的左焦点，P 为椭圆上半部分上任意一点，A(1,1)为椭 圆内一点，则 |||| 1 PAPF  的最小值___ 26 ____________ 15．数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ， 1 2 1n na S   ， 若对任意的 *n N ， 1 1( ) 2 3nS k   恒成立，则实数 k的取值范围是 2 9 k  16．已知数列 }{ na 的通项公式是 12  n na ，数列 }{ nb 的通项公式是 nbn 3 ，令集合 },,,,{ 21  naaaA  ， },,,,{ 21  nbbbB  ， *Nn ．将集合 BA 中的元素按从 小到大的顺序排列构成的数列记为 }{ nc ．则数列 }{ nc 的前 28 项的和 28S  ．820 三、解答题：（17 题 10 分，18-22 题，每题 12 分，满分 70 分） 17.已知等差数列{ na }的公差 2d  ，其前 n项和为 nS ，且等比数列{ nb }满足 1 1b a ， 2 4b a ， 3 13b a ． （Ⅰ）求数列{ na }的通项公式和数列{ nb }的前 n项和 nB ； （Ⅱ）记数列{ 1 nS }的前 n项和为 nT ，求 nT ． 17.解：（Ⅰ）因为等差数列{ na }的公差 2d  ， 所 以有 2 2 2 1 3 1 1 1( 24) ( 6)b b b a a a     ，解之得 1 3a  ……2 分 得 3 ( 1) 2 2 1na n n      ，设等比数列{ nb }的公比为 q，则 3q  ， 于是 3 (1 3 ) 3 (3 1) 1 3 2 n n nB       ……4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ( 2)nS n n  ，所以 1 1 1 1 1( ) ( 2) 2 2nS n n n n      ……2 分 因此 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 2 3 2 4 3 5 4 6 1 1 2nT n n n n                   1 1 1 1 3 2 3(1 ) 2 2 1 2 4 2( 1)( 2) n n n n n             ……4分 18. 已知：命题 :q 集合 2{ | 1 0, }A x x ax x R     ， { | 0}B x x  ，且 A B  （I）若命题 q 为真命题，求实数 a的取值范围； （II）若命题 :p 1( ) 2 xf x   ，且 | ( ) | 2f a  ，试求实数a的取值范围，使得命题 ,p q 有且只有一个为真命题． 18．解：（Ⅰ） 因为 A B  ，故集合 A应分为 A  和 A  两种情况 （1） A  时， 2 4 0 2 2a a        （2） A  时， 2 1 2 4 0 2 0 a a x x a            所以 A B  得 2a   ,故实数 a的取值范围为 2a   (Ⅱ)由 | ( ) | 2f a  得 1| | 2 2 a  ，解得 3 5a   若 p真 q假，则 3 2a    若 p假 q真，则 5a  故实数 a的取值范围为 3 2a    或 5a  19.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 5 1 ．本年度当地旅游业 收入估计为 400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会 比上年增加 4 1 ． （Ⅰ）设 n年内（本年度为第一年）总投入为 na 万元，旅游业总收入为 nb 万元．写 出 nn ba , 的表达式； （Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解：（Ⅰ）第一年投入为 800 万元，第二年投入为 800× )5 11(  万元，…，第 n 年投 入为 800× 1)5 11(  n 万元． ∴n年内的总投入为： ])5 4(1[4000)5 11(800)5 11(800800 1 nn na   ； 第一年旅游业收入为 400，第二年旅游业收入为 400× )4 11(  万元，…，第 n 年旅游 业收入为 400× 1)4 11(  n 万元 ∴n年内旅游业总收入为： ]1)4 5[(1600)4 11(400)4 11(400400 1   nn nb  （Ⅱ）设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 bn－an＞0 即 ])5 4(1[4000]1)4 5[(1600 nn  ，化简得： 07)4 5(2)5 4(5  nn 令 nx )5 4( ，代入上式得：5x2 －7x＋2＞0，解得：x＜ 5 2 或 x＞1（舍去） ∴ 5 2)5 4( n ，由此得 n≥5． 答：至少经过 5 年旅游业的总收入才能超过总投入． 20.已知数列 }{ na 满足 1223,1 11   naaa n nn . （3）证明：数列 }2{ na n n  为等比数列，并求出数列 }{ na 的通项公式； （4）已知对 *Nn ，不等式 na 恒成立，求的取值范围. 20.（1） 14 3 2n n na n    （2） 1  21.(本小题满分 12 分) 已知数列 }{ na 的各项均为正数，其前n项和 nS 满足 348 2  nnn aaS ，且 2a 是 1a 和 7a 的等 比中项. (1)求数列 }{ na 的通项公式； (2)符号 ][x 表示不超过实数 x的最大整数，记 )] 4 3([log2   n n ab ，求 1 2 3 2n b b b b    ． 21．(1)解： 28 4 3n n nS a a   当n = 1时， 2 1 1 18 4 3a a a   ，得：a1 = 3 或 a1 = 1 2 分 当n≥2时， 2 1 1 18 4 3n n nS a a     ，∴ 2 2 1 18 4 4n n n n na a a a a     ， 1 1( 4)( ) 0n n n na a a a     ∵数列{an}的各项均正，∴ 1 4n na a   4 分 ∴数列{an}是公差为4的等差数列， 4 3na n  或 4 1na n  又a2是a1和a7的等比中项，∴ 4 3na n  6 分 (2)解： 2 2 3[log ( )] [log ] 4 n n ab n   令 1 2 3 2 2 2 22 [log 1] [log 2] log 3] [log 2 ]n nS b b b b           = 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + … + 3 + 3 + … + 4 + … + n 8 分 = 1×2 1 + 2×2 2 + 3×2 3 + … + (n－1)×2 n＿1 + n ① 10 分 2S = 1×22+ 2×23 + 3×24 + … + (n－1)×2n + 2n ② ①－②得：－S = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 n＿1 －(n－1)×2 n －n 12(1 2 ) ( 1) 2 ( 2) 2 2 1 2 n n nn n n n              ( 2) 2 2nS n n     12分 22.在直角坐标系 xOy中，点P到两点 )0,3(),0,3( 的距离之和等于 4，设点 P的轨迹 为C（Ⅰ）求曲线C的方程； （2）设 A、 B、M 是曲线C上的三点．若 3 4 5 5 OM OA OB     ，证明：求线段 AB的 中点Q的轨迹方程． 22 解：（1） 1 4 : 2 2  yxC （2）设 A(x1，y1)，B (x2，y2)，则 x1 2 4 ＋y1 2 ＝1， x2 2 4 ＋y2 2 ＝1． 由 3 4 5 5 OM OA OB     ，得 M( 3 5 x1＋ 4 5 x2， 3 5 y1＋ 4 5 y2)． 因为 M 是椭圆 C 上一点，所以 ( 3 5 x1＋ 4 5 x2) 2 4 ＋( 3 5 y1＋ 4 5 y2) 2＝1， 即 ( x1 2 4 ＋y1 2 )( 3 5 ) 2 ＋( x2 2 4 ＋y2 2 )( 4 5 ) 2 +2( 3 5 )( 4 5 )( x1x2 4 ＋y1y2)=1， 得 ( 3 5 ) 2 ＋( 4 5 ) 2 +2( 3 5 )( 4 5 )( x1x2 4 ＋y1y2)＝1，故 x1x2 4 ＋y1y2＝0． 又线段 AB 的中点的坐标为 ( x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 )， 所以 ( x1＋x2 2 ) 2 2 ＋2( y1＋y2 2 )2＝ 1 2 ( x1 2 4 ＋y1 2)+ 1 2 ( x2 2 4 ＋y2 2)+ x1x2 4 ＋y1y2＝1， 从而线段 AB 的中点( x1＋x2 2 ， y1＋y2 2 )在椭圆 x2 2 ＋2y2 ＝1 上．