2020年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题理（C卷02）江苏版 22页

‎2017-2018学年高二数学下学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（C卷02）江苏版 一、填空题 ‎1．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是 ______ ．‎ ‎【答案】‎ 则，绘制函数的图象如图所示，‎ 函数有3个不同的零点，‎ 则函数与函数有个不同的交点，‎ 观察函数图象可得：.‎ ‎ ‎ 22‎ 点睛：函数零点的求解与判断方法：‎ ‎(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．‎ ‎2．已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令 ‎ ‎，又 ‎ ‎ .‎ ‎3．已知椭圆的离心率为, 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且,则直线的方程为_______.‎ 22‎ ‎【答案】‎ 又，‎ ‎∴。‎ 设点N的坐标为，‎ 则，解得。‎ 故N的坐标为。‎ 所以点关于原点对称，从而直线过原点，且。‎ 所以直线的方程为。‎ 答案： ‎ ‎4．已知椭圆的右顶点为, 点,过椭圆上任意一点作直线的垂线,垂足为,则的最小值为_________.‎ 22‎ ‎【答案】‎ 答案： ‎ 点睛：本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷，如在本题中运用了连接两点间的线中线段最短的结论。‎ ‎5．已知函数， ，若两函数与的图像有三个不同的公共点，则的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 作出函数的图象，如图所示，‎ ‎ 设直线与相切与点，所以，‎ ‎ 所以曲线在切点处的切线方程为，‎ ‎ 把原点代入切线方程得，得，‎ ‎ 要使得直线与交于三个不同的点，则，‎ ‎ 联立，解得，所以，则，‎ 22‎ ‎ 所以的取值范围是.‎ ‎ 点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.‎ ‎6．已知函数，设关于的方程（）有4个不同的实数解，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】 由题意， ，‎ ‎ 令，解得或，‎ ‎ 所以当或时， ，当时， ，‎ ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 所以当时， 取得极大值；当时， 取得极大值，‎ ‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ ‎ 由得或，‎ ‎ 由图象可知有两解，所以也有两解，‎ ‎ 所以或.‎ 22‎ ‎ 点睛：本题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系的应用，其中解答中涉及到利用导数判定函数的单调性、利用导数求解函数的极值等知识点综合应用，其中把方程的根的个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.‎ ‎7．椭圆： 的左顶点为，点是椭圆上的两个动点，若直线 的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ 则（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠﹣2，‎ 则x1•x2+2（x1+x2）+4+4（kx1+m）（kx2+m）‎ ‎=（1+4k2）x1x2+（2+4km）（x1+x2）+4m2+4‎ ‎=+（2+4km）+4m2+4=0‎ 22‎ 则m2﹣km﹣2k2=0，‎ ‎∴（m﹣2k）（m+k）=0，‎ ‎∴m=2k或m=﹣k．‎ 当m=2k时，直线BC的方程为y=kx+2k=k（x+2）．‎ 此时直线BC过定点（﹣2，0），显然不适合题意．‎ 当m=﹣k时，直线BC的方程为y=kx﹣k=k（x﹣1），此时直线BC过定点（1，0）．‎ 当直线BC的斜率不存在时，若直线BC过定点（1，0），B、C点的坐标分别为（1， ），（1，﹣），满足kAB•kAC=﹣．‎ 综上，直线BC过定点（1，0）．‎ 故答案为：（1，0）．‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎8．已知函数，设关于的方程（）有3个不同的实数解，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 22‎ 点睛：利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．‎ ‎9．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式 的解集为________．‎ ‎【答案】‎ 即，‎ 22‎ ‎∴,‎ ‎∴，解得。‎ 所以原不等式的解集为。‎ 答案： 。‎ ‎10．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，‎ 设线段的中点为，‎ 由三角形重心的性质知，从而，‎ 解得，‎ 所以点Q的坐标为。‎ 22‎ 答案： ‎ 点睛：弦中点问题的解决方法 ‎（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ‎①设点——设出弦的两端点坐标；‎ ‎②代入——代入圆锥曲线方程；‎ ‎③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开；‎ ‎④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。‎ ‎（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交。‎ ‎11．已知函数在区间取得最小值4，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为,当时,是上的增函数,函数在处取最小值,则,即不合题意；当时, 当时,即 是增函数函数在处取最小值,则,即不合题意, 当 时,即时,是减函数,函数在处取最小值,则,故 合题意, 当时,即,函数在处取最小值,则,即 ‎,不合题意.综上.‎ 22‎ 考点：导数在求函数的最值问题中的运用及分类整合的数学思想．‎ ‎【易错点晴】本题考查的是导函数在求函数的最值中的运用,而且是一道逆向型问题.解答时充分借助函数在闭区间取得最小值这一条件和信息,先对函数进行求导,进而分类讨论参数的取值情形,分别情况求出其最小值,最后再依据题设进行分析求解,去掉不合题设和已知条件的参数的值,从而写出符合题设条件的参数的值.‎ ‎12．过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆于另一点，且点与右焦点的连线垂直于轴，若，则椭圆的离心率的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图所示， ，‎ 又 ， ，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.‎ ‎13．有下列命题：‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ 22‎ ‎②“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”必要不充分条件；‎ ‎③“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；‎ ‎④若p是q的充分条件，r是q的必要条件，r是s的充要条件，则s是p的必要条件；‎ 其中是真命题的有： ．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎【答案】①③④‎ 解：①直接根据焦点的定义求出双曲线与椭圆有相同的焦点都为 ‎ ②∵2x2﹣5x﹣3＜0的解集为（）‎ ‎∴“”是“2x2﹣5x﹣3＜0”充分不必要条件 ‎③若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是：“若xy≠0，则x、y都不为0”‎ 故是真命题．‎ ‎④∵p是q的充分条件 ‎∴p⇒q ‎∵r是q的必要条件 ‎∴q⇒r ‎∵r是s的充要条件 ‎∴r⇒s ‎∴p⇒s 故s是p的必要条件 答案为：①③④‎ 考点：圆锥曲线的共同特征；命题的真假判断与应用．‎ 22‎ ‎14．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ 如图所示，可得，解得 .‎ 二、解答题 ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： (a＞b＞0)的一条准线方程为x＝，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，设A为椭圆的上顶点，过点A作两条直线AM，AN，分别与椭圆C相交于M，N两点，且直线MN垂直于x轴．‎ ‎① 设直线AM，AN的斜率分别是k1， k2，求k1k2的值；‎ ‎② 过M作直线l1⊥AM，过N作直线l2⊥AN，l1与l2相交于点Q．试问：点Q是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由． ‎ 22‎ ‎【答案】(1) ＋y2＝1．(2) ① ② 点Q在一条定直线y＝－1上 ‎②设Q(x1，y1)，用坐标表示斜率，通过垂直得斜率之积为-1，可得(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)，(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，化得(y1＋1) y0＝0，所以y1＝－1，得证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆C：＋＝1的半焦距为c．‎ 由题意，得 解得从而b＝1．‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1． ‎ ‎（2）①根据椭圆的性质，M，N两点关于x轴对称，‎ 故可设M(x0，y0)，N(x0，－y0)( x0≠0，y0≠0)，‎ 从而 k1k2＝·＝． ‎ 因为点M在椭圆C上，所以＋y02＝1，所以1－y02＝，‎ 22‎ 所以k1k2＝＝． ‎ ‎②设Q(x1，y1)，依题意A(0，1)．‎ 因为l1⊥AM，所以·＝－1，即(y0－1)(y1－y0)＝－x0 (x1－x0)；‎ 因为l2⊥AN，所以·＝－1，即(－y0－1)(y1＋y0)＝－x0 (x1－x0)，‎ 故 (y0－1)(y1－y0)－(－y0－1)(y1＋y0)＝0，‎ 化得(y1＋1) y0＝0． ‎ 从而必有y1＋1＝0，即y1＝－1．‎ 即点Q在一条定直线y＝－1上．‎ ‎16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，焦距长为2，左准线为： ．‎ ‎（1）求椭圆的方程及其离心率；‎ ‎（2）若过点的直线交椭圆于， 两点，且为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（3）过椭圆右准线上任一点引圆： 的两条切线，切点分别为， ．试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）， （2）（3）.‎ 试题解析：（1）设椭圆方程为，则，所以，‎ 又其准线为，所以，则，‎ 所以椭圆方程为，其离心率为．‎ 22‎ 所以直线的斜率为，‎ 所以直线的方程为，即．‎ ‎（3）直线恒过定点．　‎ 因为椭圆的右准线方程为，所以设点坐标为，圆心坐标为，‎ 因为直线， 是圆的两条切线，所以切点， 在以为直径的圆上.‎ 所以该圆方程为，‎ 两圆方程相减，得直线的方程，‎ 即，由得 所以直线必过定点.‎ 点睛：定点的探索与证明问题 ‎(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．‎ ‎(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．‎ ‎17．某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量（万只）与时间（年）（其中）的关系为．为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值（其中为常数，且）来进行生态环境分析．‎ 22‎ ‎（1）当时，求比值取最小值时的值；‎ ‎（2）经过调查，环保部门发现：当比值不超过时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数的取值范围．（为自然对数的底， ）‎ ‎【答案】(1)M在时取最小值(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化研究函数的单调性和最值；（2）利用（1）结论，列出不等式组进行求解.‎ 试题解析：（1）当时， ，∴ ‎ 列表得：‎ ‎2‎ ‎0‎ 单调减 极小值 单调增 ‎∴在上单调递减，在上单调递增 ∴在时取最小值； ‎ 答：实数的取值范围为．‎ ‎18．已知椭圆 的右准线方程为，又离心率为，椭圆的左顶点为，上顶点为，点为椭圆上异于任意一点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ 22‎ ‎（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证： 为定值．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎（2）方法（一）设点 ，则， ，即． ‎ 当时， ，则， ∴ ‎ ‎∵点异于点 ∴ ‎ 当且时，设直线方程为： ，它与轴交于点 直线方程为： ，它与轴交于点 ‎∴， ‎ ‎ ∴‎ 为定值．‎ 方法（二）若直线斜率不存在，则直线方程为： ，此时，则， ‎ ‎∴ ‎ 若直线斜率存在，设直线方程为： ，且 ‎ 22‎ ‎∴且 ‎ 则联立方程： ，消去得： ，解得： 或，‎ 即点 ∵点异于点∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线的方程为： ，‎ 则且 ‎ ‎∴为定值．‎ ‎19．已知函数的最小值为．‎ ‎⑴设，求证： 在上单调递增；‎ ‎⑵求证： ；‎ ‎⑶求函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）见解（2）见解析（3）见解析 ‎∴在上单调递增 22‎ 所以的最小值 ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴（当且仅当时取等号）‎ ‎∵ ∴‎ ‎（第二问也可证明，从而得到）‎ ‎⑶‎ 同⑴方法可证得在上单调递增 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴存在唯一的零点，设为，则 且 所以的最小值为 22‎ ‎∵ ∴‎ ‎∴，即 由⑵可知 ‎∴=‎ ‎∵在上单调递增 ‎∴‎ 所以的最小值为 ‎20．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为， ，过右焦点的直线与椭圆交于， 两点(点在轴上方)．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）设直线， 的斜率分别为， ．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值.‎ 试题解析：（1）因为， ，所以，所以的坐标为 ‎， 设， ，直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，得，‎ 则， ． ‎ 22‎ 若，则，‎ 解得，故直线的方程为． ‎ ‎【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的， ，结合已知条件，得出坐标关系，再把， 代入求出符合题意，则存在，否则不存在.‎ 22‎