中考数学材料分析题 6页

材料分析题 ‎1.（10分）有一个n位自然数能被整除，依次轮换个位数字得到的新数能被整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被整除，按此规律轮换后，能被整除，…，能被整除，则称这个n位数是的一个“轮换数”．‎ 例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；‎ 再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”．‎ ‎（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．‎ ‎（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中，求这个三位自然数．‎ 6‎ 2. 若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得，即．例如若整数a能被11整除，则一定存在整数n，使得，即a=11n．一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18．偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数．所以42559为“光棍数”． ①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律； ②若七位整数175m62n能被11整除．请求出所有符合要求的七位整数．‎ 3. 如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…都是“妙数”． （1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为 ； （2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除． （3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．‎ 6‎ 2. 进制也就是进位制，是人们利用符号进行计数的科学方法．对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时逢X进一位，如十进制数，记作； 七进制，记作．各进制之间可进行转化，如：将七进制转化为十进制：，即，将十进制转化为七进制：（因为，所以做除法从开始）‎ （1） 根据以上信息，若将八进制转化为十进制：‎ ‎，即= （10）；若将十进制转化为九进制：   （9）； （2）若将一个十进制两位数转换成九进制和八进制数后，得到一个九进制两位数和一个八进制两位数，首位分别2，3，个位分别为x，y． ①若x=7，则y= ． ②请求出满足上述条件的所有十进制两位数．‎ 6‎ 2. ‎ (10分)如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是:1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”.再如22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”. (1) 请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除?并说明理由; (2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字为x(1≤x≤4,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.‎ 6‎ 2. 我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1＞6-2＞4-3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；‎ ‎ （2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．‎ 6‎ ‎7.如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：‎ ‎，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：‎ 小明的方法是一个一个找出来的：‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，．．．．‎ 小王认为小明的方法太麻烦，他想到:‎ 设k是自然数，由于．‎ 所以，自然数中所有奇数都是智慧数．‎ 问题：‎ (1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______‎ (2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(且k为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（且k为正整数)都是智慧数．‎ 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．[来 6‎