高考数学一轮复习练案74高考大题规范解答系列六-概率与统计含解析 1 7页

‎ [练案74]高考大题规范解答系列(六)——概率与统计 ‎1．(2020·江西吉安期中)据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：‎ 态度调查人群 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 ‎2 100人 ‎120人 y人 社会人士 ‎600人 x人 z人 ‎(1)已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？‎ ‎(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，‎ 所以＝0.05，所以x＝60.‎ 所以持“无所谓”态度的人数共有 ‎3 600－2 100－120－600－60＝720，‎ 所以应在“无所谓”态度抽取720×＝72人．‎ ‎(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人， 所以在所抽取的6人中，在校学生为×6＝4人，社会人士为×6＝2人，‎ 则第一组在校学生人数ξ＝1,2,3，‎ P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝3)＝＝，‎ 即ξ的分布列为：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎2．(2019·湖南衡阳模拟)‎‎2018年2月25日 - 7 -‎ ‎，平昌冬奥会闭幕式上的“北京8分钟”惊艳了世界．某校为了让学生更好地了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛．比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得分别为1,2,3分的积分奖励，高二(1)班对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．‎ ‎(1)记A表示事件“高二(1)班未闯到第三关”，求P(A)的值；‎ ‎(2)记X表示高二(1)班所获得的积分总数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎[解析]　(1)令A1表示事件“高二(1)班闯过第一关”，A2表示事件“高二(1)班闯过第二关”，因为P(A1)＝()2＝，P(A2)＝()2＝，所以P(A)＝P()＋P(A1)＝(1－)＋×(1－)＝.‎ ‎(2)随机变量X的取值为0,1,3,6，则P(X＝0)＝1－()2＝，P(X＝1)＝()2×[1－()2]＝，‎ P(X＝3)＝()2×()2×(×＋××＋××)＝，‎ P(X＝6)＝()2×()2×(×＋××＋××)＝，‎ 故随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋3×＋6×＝.‎ ‎3．(2020·百师联盟期中)为了了解一个智力游戏是否与性别有关，从某地区抽取男、女游戏玩家各200名，其中游戏水平为高级和非高级两种．‎ ‎(1)根据题意完善下列2×2列联表，并根据列联表判断是否有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关？‎ 高级 非高级 合计 女 ‎40‎ 男 ‎140‎ 合计 ‎(2)按照性别用分层抽样的方法从这些人中抽取10人，从这10人中抽取3人作为游戏参赛选手；‎ - 7 -‎ ‎①若甲入选了10人名单，求甲成为参赛选手的概率．‎ ‎②设抽取的3名选手中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附表：K2＝，‎ 其中n＝a＋b＋c＋d.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.010‎ ‎0.05‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎[解析]　(1)‎ 性别 高级 非高级 合计 女 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ 男 ‎60‎ ‎140‎ ‎200‎ 合计 ‎100‎ ‎300‎ ‎400‎ K2＝≈5.333<6.635，‎ 所以没有99%以上的把握认为智力游戏水平高低与性别有关．‎ ‎(2)①甲入选3人名单的概率为P＝＝；‎ ‎②根据分层抽样的特征10人中男、女各5人，女生的人数X的所有取值为0,1,2,3；‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝；‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎4．(2020·河北省石家庄市质检)某公司为了提高利润，从2012年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 投资金额x(万元)‎ ‎4.5‎ ‎5.0‎ ‎5.5‎ ‎6.0‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ ‎7.5‎ 年利润增长y(万元)‎ ‎6.0‎ ‎7.0‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ ‎8.9‎ ‎9.6‎ ‎11.1‎ ‎(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？(结果保留两位小数)‎ ‎(2)现从2012年～2018年这7年中抽出三年进行调查，记λ - 7 -‎ ‎＝年利润增长－投资金额，设这三年中λ≥2(万元)的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．‎ 参考公式：‎ ＝＝，＝－ .‎ 参考数据：iyi＝359.6，＝259.‎ ‎[解析]　(1)＝6，＝8.3,7＝348.6，‎ ＝＝＝≈1.571，‎ ＝－ ＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，‎ 那么回归直线方程为：＝1.57x－1.13，‎ 将x＝8代入方程得＝1.57×8－1.13＝11.43，‎ 即该公司在该年的年利润增长大约为11.43万元．‎ ‎(2)由题意可知，‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ λ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎1.9‎ ‎2.1‎ ‎2.4‎ ‎2.6‎ ‎3.6‎ ξ的可能取值为1,2,3，‎ P(ξ＝1)＝＝；‎ P(ξ＝2)＝＝；‎ P(ξ＝3)＝＝.‎ 则分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.‎ - 7 -‎ ‎5．(2019·安徽合肥质检)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如图的频率分布直方图：‎ ‎(1)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；‎ ‎(2)由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似地等于样本平均数，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6.假设该辖区内这一年龄层次共有10 000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8)的人数．‎ 附：≈5.8.若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，　‎ 则P(μ－σ