2021届高考数学一轮复习第四章平面向量第4讲平面向量的应用举例课件 42页

第 4 讲　平面向量的应用举例 课标要求 考情风向标 经历用向量方法解决某 些简单的平面几何问题、 力学问题与其他一些实 际问题的过程，体会向量 是一种处理几何问题、物 理问题等的工具，发展运 算能力和解决实际问题 的能力 平面向量数量积是高考考查的重点， 复习时要重视数量积的两种运算方 式，熟练掌握数量积的运算及相关变 形，掌握数量积在解决垂直、夹角、 长度等问题中的应用；重视以数量积 为联系纽带与直线、三角函数、圆锥 曲线、数列等知识的综合问题，并以 此来培养分析解决问题的能力 1. 向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题 . 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， λ 为实数 . (1) 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线 向量定理： a ∥ b ⇔ a ＝ λ b ( b ≠ 0 ) ⇔ x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0. (2)证明垂直问题，常用数量积的运算 性质： a ⊥ b ⇔ a · b ＝0⇔________________. (3)求夹角问题，利 用夹角公式： x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 2. 平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合 . 当平面向量给出的形式中含 有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未 知数的关系式 . 在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角 函数、数列的综合问题 . 此类问题的解题思路是转化为代数运 算，其转化途径主要有两种：一是 利用平面向量平行或垂直的 充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质 . 1. 如图 441 ，已知正六边形 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 ，下列向量的数 量积中最大的是 ( ) 图 4-4-1 A 90° ＝ ________. 解析： 方法一，如图 D23 ，以 A 为坐标原点， AB 所在的直 线为 x 轴， AD 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A (0,0) ， B (2 ， 0) ， D (0,2) ， E (1,2). 图 D23 答案： 2 4. (2016 年新课标 Ⅰ) 设向量 a ＝ ( m, 1) ， b ＝ (1,2) ，且 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ，则 m ＝ ________. － 2 解析： 由 | a ＋ b | 2 ＝ | a | 2 ＋ | b | 2 ，得 a ⊥ b . ∴ m × 1 ＋ 1 × 2 ＝ 0 ，解 得 m ＝－2. 考点 1 平面向量在平面几何中的应用 图 4-4-2 解析： 如图 D24 ，过点 D 作 DF // CE ，交 AB 于点 F ，由 BE ＝ 2 EA ， D 为 BC 中点，知 BF ＝ FE ＝ EA ， AO ＝ OD . 图 D24 (3)(2018 年天津 ) 如图 4-4-3 ，在平面四边形 ABCD 中， AB ⊥ BC ， AD ⊥ CD ， ∠ BAD ＝ 120° ， AB ＝ AD ＝ 1. 若点 E 为边 CD 图 4-4-3 解析： 建立如图 D25 所示的平面直角坐标系 . 图 D25 由数量积的坐标运算法则，可得 答案： A 图 D26 答案： B 解析： 由题意，画出示例图形如图 D27. 图 D27 设 ∠ BAE ＝ θ ， AE ＝ BE ＝ a ， ∵ AD ∥ BC ， ∴ θ ＝ 30°. 答案： － 1 【 规律方法 】 用向量方法解决平面几何问题的步骤： ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； ② 通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③ 把运算结果 “ 翻译 ” 成几何关系 . 建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标 系，将问题坐标化，利用平面向量的坐标运算解决有关问题 . 考点 2 平面向量在解析几何中的应用 答案： 6 解析： 如图 D28 ，建立平面直角坐标系，则 A (0,1) ， B (0 ， 0) ， C (2,0) ， D (2,1). 设 P ( x ， y ) ，根据等面积公式可得圆的半径 图 D28 答案： A 图 4-4-4 难点突破 ⊙ 利用数形结合的思想求最值 答案： A (2) 已知 a ， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 ( a － c )·( b － c ) ＝ 0 ，则 | c | 的最大值是 ( ) 解析： 方法一，直接设出向量的直角坐标，把问题转化为 坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决 . 图 4-4-5 答案： C 【 跟踪训练 】 已知三个向量 a ， b ， c 共面，且均为单位向量， a·b ＝ 0 ， 则 |a ＋ b － c| 的取值范围为 ______________. 1. 以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、 不等式、三角函数等相结合的一类综合问题 . 通过向量的坐标运 算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的 一般方法 . 2. 向量的两个作用： ① 载体作用：关键是利用向量的意义、 作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题； ② 工具 作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题 .