2021高考数学一轮复习专练38证明含解析理新人教版 4页

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2021-04-13 发布

2021高考数学一轮复习专练38证明含解析理新人教版

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专练38　证明命题范围：证明方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法 ‎[基础强化]‎ 一、选择题 ‎1．若a，b，c为实数，且aab>b2‎ C.< D.> ‎2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.‎ 证明过程如下：‎ ‎∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，‎ b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac.‎ 又∵a，b，c不全相等，‎ ‎∴以上三式至少有一个“＝”不成立．‎ ‎∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．‎ ‎∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.‎ 此证法是(　　)‎ A．分析法 B．综合法 C．分析法与综合法并用 D．反证法 ‎3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)‎ A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 ‎4．如图是解决数学问题的思维过程的流程图：图中①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法相匹配是(　　)‎ A．①—分析法，②—综合法 B．①—综合法，②—分析法 C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法 ‎5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第二步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为(　　)‎ A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)‎ B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)‎ C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)‎ D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)‎ ‎6．在△ABC中，sinAsinCb>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ ‎9．[2020·长春测试]设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)‎ A．都大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ 二、填空题 ‎10．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是____________．‎ ‎11．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝‎1”‎时应假设__________________．‎ ‎12．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是______________．‎ ‎[能力提升]‎ ‎13．[2020·河北邯郸测试]设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 ‎14．用反证法证明命题：“a，b∈N，若ab不能被5整除，则a与b都不能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b不都能被5整除 C．a，b至少有一个能被5整除 D．a，b至多有一个能被5整除 ‎15．设a，b∈R，给出下列条件：‎ ‎①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；‎ ‎⑤ab>1.‎ 其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是________(填序号)．‎ ‎16．设a，b是互不相等的正数，给出下列不等式：‎ ‎①(a＋3)2>‎2a2＋‎6a＋11；‎ ‎②a2＋≥a＋；‎ ‎③|a－b|＋≥2.‎ 其中恒成立的是________．‎ 专练38　证明 ‎1．B　∵a2－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab　①，又ab－b2＝b(a－b)>0，‎ ‎∴ab>b2　②，由①②得，a2>ab>b2.‎ ‎2．B　由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．‎ ‎3．A　“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.‎ ‎4．B　根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为：①—综合法，②—分析法，故选B.‎ ‎5．D　∵用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时，当n＝1时左边所得的项是1＋2；假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)，∴从“k→k＋‎1”‎需增添的项是2k＋1＋2(k＋1)，∴1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故选D.‎ ‎6．C　sinAsinC0⇒cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)<0⇒B为钝角⇒△ABC一定是钝角三角形．‎ ‎7．C　当n＝k＋1时，左边为1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，增加了＋＋…＋，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选C.‎ ‎8．C　由a>b>c，且a＋b＋c＝0可得b＝－a－c，a>0，c<0.要证 0，即证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，即证a(a－c)－b(a－c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.故求证“<”索的因应是(a－c)(a－b)>0，故选C.‎ ‎9．D　假设a＋，b＋，c＋都小于2，则有a＋＋b＋＋c＋<6.‎ 又∵a>0，b>0，c>0，‎ ‎∴a＋＋b＋＋c＋＝＋＋≥2 ＋2 ＋2 ＝6，‎ 这与假设矛盾．‎ ‎∴a＋，b＋，c＋三个数至少有一个不小于2.‎ ‎10．a≥0，b≥0且a≠b 解析：a＋b>a＋b，即：(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ ‎11．x≠－1且x≠1‎ 解析：“x＝－1或x＝‎1”‎的否定是“x≠－1且x≠‎1”‎．‎ ‎12．P>Q 解析：P2－Q2＝2－2>0，‎ ‎∴P2>Q2，∴P>Q.‎ ‎13．A　由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)在R上单调递减，∵x1＋x2>0，∴x1>－x2，∴f(x1)1，而a2，ab＝6>1，而a<0，b<0，∴④⑤推不出．对于③可用反证法证明：假设a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾，故a，b中至少有一个大于1.‎ ‎16．②‎ 解析：对于①，(a＋3)2－(‎2a2＋‎6a＋11)＝－a2－2<0，∴(a＋3)2<‎2a2＋‎6a＋11，∴①不成立；对于②，∵a≠0，a2＋≥a＋，等价于a4＋1≥a3＋a.而(a4＋1)－(a3＋a)＝a3(a－1)－(a－1)＝(a－1)(a3－1)＝(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，∴a4＋1≥a3＋a恒成立，即②恒成立；对于③，当a>b时，恒成立，当a

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