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- 2024-06-04 发布
2012-2013学年度四校12月联考
理科数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1、设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2、若向量，，满足∥，且，则等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
3、命题，使；，都有．给出下列结论：
①命题“”为真； ② 命题“”为假；
③ 命题“”为真； ④ 命题“”为假．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②④ B．②③ C．③④ D． ①②③
4、以双曲线的右焦点为圆心，且与渐近线相切的圆的方程为（ ）
A． B．
开始
z=z·z0
n=n+1
n= 1
结束
n>2013
Y
输出z
N
C． D．
5、设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6、设等比数列{an}的前n项和为Sn． 若，
则a4=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7、执行如图所示的程序框图，则输出的复数是（ ）
A． B． C．1 D．
8、函数的图象大致是
A
B
C
D
9、已知实数x，y满足，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10、已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（ ）
A．当时，有4个零点；当时，有1个零点；
B．当时，有3个零点；当时，有2个零点；
C．无论a为何值，均有2个零点；
D．无论a为何值，均有4个零点．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在答题卷相应位置上．
11、若的展开式中的第5项为常数，
则________．
12、某班有50名学生，一次数学考试的成绩
，且，
估计该班学生这次数学成绩在110分以上的人数
为__________ ．
13、一个几何体的三视图及其有关数据如右图所示，
则这个几何体的体积是____________ ．
14、直三棱柱中，若，，则异面直线与[来源:学#科#网]
所成角的大小为________ ．
15、设的定义域是．给出下列几个命题：
①在处取得小值；②是的一个单调递减区间；
③的最大值为2；
④使得取得最大值的点仅有一个
其中正确命题的序号是___________．（将你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本小题满分12分）
函数的部分图象如图所示．
（I）求的值；
（II）在中，，求的值．
17、（本小题满分12分）
甲、乙两只鸽子随机地飞入并排放置的6个小笼中的两个笼子（如图，其中数字代表笼子的序号）．
1
2
3
4
5
6
（I）求甲、乙所在笼子的序号至少有一个为奇数的概率；
（II）记X=“甲、乙之间的笼子个数”，求X的分布列与期望．
18、（本小题满分12分）
如图所示的多面体中，，面，，、分别是所在线段的中点，为矩形．
（I）求证：∥面；
（II）求平面与平面所成锐二面角大小．
19、（本小题满分12分）
数列中，，；数列满足
．
（I）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）求中最大项与最小项．
20、（本小题满分13分）
过抛物线上异于原点的任意两点A、B所作的两条切线交于点P，且交轴于M、N（如图），F为抛物线的焦点．
(Ⅰ) 求点P的坐标(用A、B的横坐标和表示)；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）设，试求的值．
21、（本小题满分14分）
已知函数．
（I）当时，求的单调区间；
（II）若，求证：函数只有一个零点x0，且；
（III）当时，记函数的零点为x0，若对任意且，都有成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：，，）
2012-2013学年度四校第一次联考
理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
A
B
A
B
C
A[来源:Z+xx+k.Com]
二、填空题
11、12 12、 10 13、 14、 15、②③④
三、解答题
16、解：（I）由 ； ……………………4分
（II）由（I）知
……………①
，而，∴
从而 ……………②
由①②
由 ……………………12分
17、解：（I）； ……………………4分
（II）X所有可能的取值为：0，1，2，3，4．
，
，
∴的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
[来源:学科网]
． ……………………12分
18、解：以A为原点，分别以AB、AC、AP为x、y、z轴建立空间右手直角坐标系，则
，，
…………………… 2分
（I）∵，∴，
而为面PAC的一个法向量， ∴ MN//面PAC； …………………… 6分
（II），设面MNC的一个法向量为，
由 ，可取，则．
取面PAC的一个法向量，则，∴．
…………………… 12分
19、解：（I），
∴是公差为1的等差数列； …………………… 4分
又， ， ∴可求出 ，
∴． ∴ ； …………………… 8分
（II）令，则 ，∴在及均递减，
∴，，
又当时，；当时，，
∴ 最大项为，最小项为． …………………… 12分
20、解：（Ⅰ）由已知可得两条切线的方程分别为：
AP：， BP：，
联立上述两个方程解得； ……………………………… 4分
（Ⅱ）设A、B的横坐标分别为和，由抛物线的定义可知：
，
∴ ；
另一方面，∵ F ，，
从而
∴ ；
………………………………8分[来源:学.科.网]
（Ⅲ）在（1）中所求得的两条切线方程中分别令即求出：，，
∴ ， 又，∴ ；
，
的方程为：，故 点O到的距离为：，
∴ ， 即 ，
∴ ． ………………………………13分
21、解：（I）的定义域为．
． 令或．
当时，，函数与随x的变化情况如下表：
x
0
―
0
+
0
―
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和．
…………………… 4分
（II）证明：当时，
由（I）知，的极小值为，极大值为．
因为，
，
且在上是减函数，所以至多有一个零点．
又因为，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
所以函数只有一个零点x0，且 …………………… 9分
（III）因为，
所以任意且，
由（II）可知，且．
因为函数在上是增函数，在上是减函数，
所以 ．
当时，
所以
所以的最小值为
所以使得恒成立的m的最大值为 …………………… 14分