- 3.53 MB
- 2024-06-02 发布
绝密★启用前
安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知抛物线,则焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将抛物线方程化成标准形式后再求出焦点坐标．
【详解】
由题意抛物线的标准方程为，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，
因此焦点坐标为．
故选D．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为标准形式后再求解，属于简单题．
2．已知复数，满足（为虚数单位），在复平面内复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
求出复数的代数形式后得到其对应点的坐标，进而可得结论．
【详解】
由题意得，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故选B．
【点睛】
本题考查复数的乘法运算和复数的几何意义，考查数形结合的应用，属于基础题．
3．已知命题，则是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据含有一个量词的命题的否定求解即可得到答案．
【详解】
∵命题，
∴是：．
故选D．
【点睛】
(1)全称命题“”的否定为“”；特称命题“”的否定为“”．
(2)对含有存在(全称)量词的命题进行否定时需要两步操作：①将存在(全称)量词改成全称(存在)量词；②将结论加以否定．
4．下列命题不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归方程必过样本点中心
B．相关指数用来刻画回归效果，的值越大，说明模型的拟合效果越好
C．归纳推理和类比推理都是合情推理，合情推理的结论是可靠的，是正确的结论
D．演绎推理是由一般到特殊的推理
【答案】C
【解析】
【分析】
根据涉及的知识对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得结果．
【详解】
对于A，由线性回归分析可得回归直线一定经过样本中心，所以A正确．
对于B，当相关指数的值越大时，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以B正确．
对于C，合情推理的结论是不可靠的，需要进行证明后才能判断是否正确，所以C不正确．
对于D，由演绎推理的定义可得结论正确．
故选C．
【点睛】
本题考查对基本知识的理解和掌握程度，解答类似问题的关键是熟知相关知识，然后再对每个命题的真假作出判断，属于基础题．
5．已知，则下列选项中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导函数，判断出函数的单调性，然后对函数值的大小作出判断即可得到答案．
【详解】
∵，
∴，
∴当时，单调递减．
又，
∴，即．
故选A．
【点睛】
本题考查根据函数的单调性比较函数值的大小，解题时关键是判断出函数在给定区间上的单调性，体现了导数在研究函数中的作用，属于基础题．
6．已知双曲线过点，渐近线方程为，则曲线的标准方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
分析：根据题意，由双曲线的渐近线方程可以设其方程为：﹣x2=λ，将点（2，3）代入方程中，计算可得λ的值，即可得双曲线的方程，将其方程变形为标准方程即可得答案．
详解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x2=λ，（λ≠0），
又由双曲线过点（2，3），
则有3﹣22=λ，
解可得λ=﹣1，
则其方程为：﹣x2=﹣1．即x2﹣=1，
故选：C．
点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是由渐近线方程设出双曲线的方程．一般已知双曲线的渐近线方程为，则可以设双曲线方程为，再代入一个已知点即可求得方程.
7．已知椭圆，直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出点的坐标，利用“点差法”求出直线的斜率，进而可得直线的方程．
【详解】
设两点的坐标分别为，
则有，两式相减得，
∴．
又，
∴，即直线的斜率为，
∴直线的方程为，即．
故选B．
【点睛】
（1）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
（2）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤：
①设点，设出弦的两端点的坐标；②代入：将两端点的坐标代入曲线方程；③作差：将两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率和中点坐标的关系式，然后求解．
8．若函数在处取得极小值，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出，然后根据可求得的值．
【详解】
由，
得．
∵函数在处取得极小值，
∴，解得或．
①当时，，
则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，
所以当时函数取得极小值．
所以符合题意．
②当时，，
则当或时函数单调递增，当时函数单调递减，
所以当时函数取得极大值，不合题意．
综上可得选B．
【点睛】
由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，所以在根据求得参数的值后需要进行验证，排除掉不和题意的参数，这点在解题中容易忽视．
9．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，，则的周长最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得的周长为，然后将转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到的最小值，进而可得周长的最小值．
【详解】
由题意得抛物线的准线方程为，焦点坐标为．
过点作于，根据抛物线的定义可得．
又的周长为，且，
结合图形可得，当三点共线时，最小，且最小值为，
所以的最小值为，
即的周长最小值为．
故选D．
【点睛】
高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，然后得到在上恒成立，分离参数后求出函数的最值可得所求范围．
【详解】
∵，
∴．
∵函数在上单调递减，
∴在上恒成立，即在上恒成立．
令，
则，
∴当时，单调递减；当时，单调递增，
∴，
∴，
∴实数的取值范围为．
故选A．
【点睛】
可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围．
11．已知双曲线的右焦点为，其渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，再根据渐近线与圆有公共点得到圆心到渐近线的距离小于等于半径，进而得到关于的关系式，于是可得离心率的范围．
【详解】
由得，即为双曲线的渐近线的方程，不妨取，
∵渐近线与圆有公共点，
∴，整理得，
∴，
又，
∴ ，
∴双曲线的离心率范围为．
故选C．
【点睛】
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
12．若在区间内任取实数，均使得不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意不妨设，则由得，于是可得函数在区间上为增函数，然后求出函数的单调增区间，再根据是增区间的子集可得的取值范围，进而得到的最大值．
【详解】
由题意不妨设，
∵，
∴，
∴，
设，则可得函数在区间上为增函数．
又，
∴函数的单调增区间为，
∴，
∴，
∴实数的最大值是．
故选A．
【点睛】
若已知在区间上的单调性，区间中含有参数时，可先求出的单调区间，令是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围，本题考查转化能力和计算能力，属于中档题．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知复数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得．
【详解】
由题意得，
所以．
故答案为：．
【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数模的求法，属于基础题．
14．已知曲线在点处的切线平行于直线,则此切线方程为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出的值，进而得到切点的坐标，然后可求出切线的方程．
【详解】
∵，
∴．
∵曲线在点处的切线平行于直线，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∴切线方程为，即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，解题的关键是明确时曲线在点的切线的斜率，考查计算能力，属于基础题．
15．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得方程在上有两个实数根，令，然后利用导数判断出函数的单调性，进而得到函数的大体图象，结合图象可得所求范围．
【详解】
由题意得方程在上有两个实数根，
∴方程在上有两个实数根．
令，则，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴，
又当时，；，
画出函数的大体图象如图所示．
结合图象可得若方程在上有两个实数根，则．
∴实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的整体展现，考查数形结合及转化思想方法的运用．
16．已知抛物线的焦点为,点是直线与轴的交点，若直线与抛物线在第四象限的交点为，与抛物线的准线交于点,若，则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
过点作于点，则，由可得，于是得到，所以可得，求出参数后可得抛物线的方程，然后由直线的方程和抛物线方程可得点的坐标．
【详解】
由题意得，点．
过点作于点，则．
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
∴抛物线的方程为，直线的方程为，
由，解得或，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，根据定义可将曲线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，为题目的解决创造了条件，考查转化能力和计算能力，属于基础题．
评卷人
得分
三、解答题
17．设命题：对恒成立，命题：，.
(1)若为真，求实数的取值范围；
(2)若为真，为假，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
先求出命题均为真命题时实数的取值范围．（1）由为真可得均为真命题，取交集可得所求范围；（2）由题意得一真一假，分类讨论可得所求范围．
【详解】
若命题为真命题，则有，解得．
若命题为真命题，则，解得或．
（1）∵为真命题，
∴命题均为真命题．
由，解得，
∴实数的取值范围为．
（2）∵为真，为假，
∴命题一真一假，
①当命题为真命题、命题为假命题时，
则有，解得；
②当命题为假命题、命题为真命题时，
则有，解得．
综上可得或．
∴实数的取值范围为．
【点睛】
根据命题的真假求参数的取值范围的方法
(1)求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；
(2)判断命题的真假性；
(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．
18．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)为椭圆上一点，且,求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意设椭圆的标准方程为，结合题意可得，于是可得所求方程．（2）在中，由椭圆的定义和余弦定理可得，然后根据三角形的面积公式可得所求．
【详解】
（1）由题意设椭圆的标准方程为，
∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为．
（2）在中，由余弦定理得
，
又由椭圆的定义得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值时，可利用定义和余弦定理可求得，再结合进行转化，进而求得焦点三角形的周长和面积．
19．已知函数.
(1)若函数在和处取得极值，求的值；
(2)在(1)的条件下，当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意得，然后再根据题意得到和是方程的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求．（2）利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得所求范围．
【详解】
（1）∵，
∴．
又函数在和处取得极值，
∴和是方程的两根，
∴，解得．
经检验得符合题意，
∴．
（2）由（1）得，
∴当或时，单调递增；
当时，单调递减．
又，
∴ ．
∵当时，恒成立，
∴，解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】
求函数在区间上的最值的方法：
(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间内有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；
(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
20．某企业开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名技术人员，将他们随机分成两组，每组20人，第一组技术人员用第一种生产方式，第二组技术人员用第二种生产方式．根据他们完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
(1)求40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的人数填入下面的列联表：
超过
不超过
合计
第一种生产方式
第二种生产方式
合计
(2)根据(1)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【答案】（1）详见解析；（2）有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图中的数据可得中位数的值，然后分析图中的数据可完成列联表．（2）由列联表中的数据求出，然后结合所给数据得到结论．
【详解】
（1）由茎叶图知，
即40名技术人员完成生产任务所需时间的中位数为80．
由题意可得列联表如下：
超过
不超过
合计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
合计
20
20
40
（2）由列联表中的数据可得，
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点睛】
独立性检验的方法：①构造2×2列联表；②计算；③查表确定有多大的把握判定两个变量有关联．
注意：查表时不是查最大允许值，而是先根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较．另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为．
21．已知抛物线,直线经过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为4.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知，过的直线与抛物线相交于两点，设直线与的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线中过焦点且与对称轴垂直的弦长为4可得的值，进而得到抛物线的方程．（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，与抛物线方程联立后求出两点的坐标，结合根与系数的关系及斜率公式求出和，然后求出可证明为定值．
【详解】
（1）由题意得抛物线的焦点为，
∴过焦点与对称轴垂直的直线为，
∴直线与抛物线的两个交点为，
由题意得，
∴抛物线的方程为．
（2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，
由消去y整理得，
∵直线与抛物线交于两点，
∴，解得或．
设，
则．
∴．
∴为定值，且定值为．
【点睛】
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．求定值问题常见的方法为：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．已知函数.
(1)设函数,讨论函数的单调性；
(2)当 时，求证：.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的解析式，进而得到其导数，然后根据的取值进行分类讨论可得函数的单调性；（2）由题意即证不等式成立，设 ，结合导数可得 ，
然后再证明即可得到结论成立．
【详解】
（1）由题意得，
所以，
令，得或．
①当时，
则当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．
②当时，
则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
③当时，恒成立，函数在上单调递增．
④当时，
则当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．
综上可得，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意得即证不等式成立．
设，
则，
又，
∴当时，单调递减；当时，单调递增．
∴．
又，
∴在上单调递减，
∴，
∴，即．
【点睛】
（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响，若有影响，则必须分类讨论．
（2）利用导数证明不等式时，可根据题意构造函数，然后根据函数的单调性求出函数的最值，然后借助最值证明不等式成立．