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- 2024-06-02 发布
集宁一中（西校区）2018—2019年高二年级第二学期
期末考试数学理科试卷
第Ⅰ卷 客观题 (共60分)
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．在的展开式中，的系数为 （ ）
A． B． C． D．
0
1
P
2.已知的分布列为：
设则的值为 （ ）
A. B. C. D. 5
3.设，，，则n,p的值分别为 （ ）
A.18 ， B. 36 , C. 36 ， D. 18，
4．已知点M的极坐标为，下列坐标中能表示点M的坐标是( )
A. B. C. D.
5．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′
C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′
6．圆的圆心为( )
A. B. C. D.
7.把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ）
A. B. C. D.
8．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A.μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
9.在区域内任意取一点，则的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
10．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200 C．300 D．400
12． 甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这
个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率（ ）
A、0.48 B、0.52 C、0.8 D、0.92
第Ⅱ卷 主观题 (共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.在某项测量中，测量结果ξ～N(1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
14．设，则 .
15．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是
＝－0.7x＋a，则a等于______．
16.设，若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是 ．
三、 解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明）
17．（12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，求随机变量X的分布列与均值.
18．（12分）“蛟龙号”从海底中带回某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成
活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该次试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
(1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
(2)若甲乙两小组各进行2次试验，求两个小组试验成功至少3次的概率．
19.假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：
使用年限
2
3
4
5
6
维修费用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)求关于的线性回归方程；
(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?
参考公式：
20.按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．
质量指标值
[95,100）
[100，105）
[105，110）
[110，115）
[115，120）
[120，125]
频数
1
4
19
20
5
1
表1：甲套设备的样本频数分布表
（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？
（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
不合格品
合计
k2=
P（Х2≥k）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
21．（12分）设函数f(x)＝exsinx
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的最大值与最小值．
22．(10分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2： 交于不同的两点A，B.求：
(1)|AB|的值；
(2)过点C(1，0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
参考答案
一、选择题：DAADA DBACC BD
二、填空题：13. 0.8 14. 1023 15. 16. a<-1
17．（12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，求随机变量X的分布列与均值.
X
0
1
2
3
P
(2)
18．解：(1)设“甲小组做了三次实验，至少两次试验成功”为事件A，则其概率为P(A)＝C×2×＋C3＝.
(2)设“甲乙两小组试验成功3次”为事件B，则
P(B)＝C20·C2＋C11·C2＝，
设“甲乙两小组试验成功4次”为事件C，则P(C)＝C20·C2＝，
故两个小组试验成功至少3次的概率为P(B)＋P(C)＝＋＝.
19（1）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系.
由题表数据可得，，
由公式可得，，
即回归方程是.
（2）由（1）可得，
当时，；
即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是.
20.【详解】（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022）×5=0.16；
∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为5000×0.16=800（件）；
（2）由表1和图得到列联表：
甲套设备
乙套设备
合计
合格品
48
42
90
不合格品
2
8
10
合计
50
50
100
将列联表中的数据代入公式计算得K2==4＞3.841；
∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；
（3）由表1和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为=0.96，
乙套设备生产的合格品的概率约为1-0.16=0.84，
且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，
乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；
因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，
所以甲套设备优于乙套设备．
21. (1)f′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝exsin(x＋)．
f′(x)≥0，所以sin(x＋)≥0，
所以2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，即2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
f(x)的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋π]，k∈Z.
(2)由(1)知当x∈[0，π]时，[0，π]是单调增区间，[π，π]是单调减区间．
f(0)＝0，f(π)＝0，f(π)＝eπ，
所以f(x)max＝f()＝eπ，
f(x)min＝f(0)＝f(π)＝0.
22．解：(1)因为ρ＝2，
所以x2＋y2＝4.
又因为ρsin＝，
所以y＝x＋2，
所以|AB|＝2＝2＝2.
(2)因为曲线C2的斜率为1，
所以过点(1，0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
所以直线l的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，
故ρcos＝.